算法合集之《平面图在信息学中的应用》.ppt
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1、平面图在信息学中的应用,海南省海南中学 刘才良,引言,平面图是图论中一类重要的图,在实际生产中应用非常广泛。比如集成电路的设计就用到平面图理论。在信息学中,虽然有关平面图的题目并不多见,但对于某些题目,如果通过建模转化,应用平面图的性质,将大大提高算法的效率。因此,掌握一些平面图理论会对我们有很大的帮助。,相关定义、定理及推论,平面图 一个无向图G=,如果能把它画在平面上,且除V中的节点外,任意两条边均不相交,则称该图G为平面图。,例如:图(a)经变动后成为(b),故图(a)为平面图。而图(c)无论如何变动,总出现边相交,图(c)为非平面图。,相关定义、定理及推论,面 设G为一平面图,若由G的
2、一条或多条边所界定的区域内不含图G的节点和边,这样的区域称为G的一个面,记为f。包围这个区域的各条边所构成的圈,称为该面f的边界,其圈的长度,称为该面f的度,记为d(f)。为强调平面图G中含有面这个元素,把平面图表示为G=,其中F是G中所有面的集合。,相关定义、定理及推论,定理1:若G=是连通平面图,则fFd(f)=2|E|. 定理2:若G=是连通平面图,则|V|-|E|+|F|=2.,证明: 首先假定G是树,则|E|=|V|-1,G只有一个无限面, 因此|V|-|E|+|F|=|V|-(|V|-1)+1=2. 现在假设G不是树,由于G是连通的,故G中至少存在一个基本圈C,于是G必有一个有限面
3、f,而f的边界是由基本圈C及可能连同计算两次的一些边组成.如果从G中删去基本圈C上的一条边后得到的平面图G1=,则|V1|=|V|,|E1|=|E|-1,|F1|=|F|-1,故|V1|-|E1|+|F1|=|V|-|E|+|F|,仿此做下去,最终得到G的一棵生成树T0=,于是|V|-|E|+|F|=|V0|-|E0|+|F0|=2.,相关定义、定理及推论,推论1:给定连通简单平面图G=,若|V|3,则|E|3|V|-6且|F|2|V|-4. 推论2:设G=是连通简单平面图,若|V|3,则存在vV,使得d(v)5.,邻接表、散列表结构O(|V|) VS 邻接矩阵结构O(|V|2),推论1:|E
4、|=O(|V|),应用-例1:水平可见线段(CEPC2001),平面上有N(N=8000)条互不相连的竖直线段。如果两条线段可以被一条不经过第三条竖直线段的水平线段连接,则这两条竖直线段被称为“水平可见”的。三条两两“水平可见”的线段构成一个“三元组”。求给定输入中“三元组”的数目。(坐标值为0到8000的整数),应用-例1:水平可见线段(CEPC2001),分析 把线段看成点 若两条线段水平可见,则在对应两点之间连一条边,建立无向图G 统计G中的三角形的数目,应用-例1:水平可见线段(CEPC2001),算法一 设数组CI(I=02Ymax),C2y表示覆盖y点的最后一条线段,C2y+1表示
5、覆盖区间(y,y+1)的最后一条线段 把线段按从左到右的顺序排序 依次检查每一条线段L(L=y,y) 检查L覆盖的所有整点和单位区间(Cu,u=2y2y) 若Cu0,则G.AddEdge(Cu,L) CuL,O(NlogN) O(N) O(Ymax) 总计:O(NYmax),时间性能分析,如何建立图G?,应用-例1:水平可见线段(CEPC2001),算法二 定义线段树T: 设节点N描述区间a,b的覆盖情况 0 (无线段覆盖a,b) 则N.Cover= L (线段L完全覆盖a,b) -1 (其他情形) 线段树的存储: 使用完全二叉树的数组结构,可以免去复杂的指针运算和不必要的空间浪费。,如何建立
6、图G?,时间性能分析 排序:O(NlogN) 检索:O(NlogYmax) 插入:O(NlogYmax) 总计:O(NlogYmax) 空间性能分析 线段:O(N) 线段树:O(Ymax) 边表:O(N),应用-例1:水平可见线段(CEPC2001),算法一 枚举所有的三元组,判断三个顶点是否两两相邻。由于总共有Cn3个三元组,因此时间复杂度为O(N3) 算法二 枚举一条边,再枚举第三个顶点,判断是否与边上的两个端点相邻。根据水平可见的定义可知G为平面图,G中的边数为O(N),故算法二的复杂度为O(N2) 算法一与算法二的比较 算法一只是单纯的枚举,没有注意到问题的实际情况,而实际上三角形的数
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