第四章傅里叶变换和系统的频域.ppt
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1、第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换 4.8 LTI系统的频域分析 4.9 取样定理 4.10 序列的傅里叶分析 4.11 离散傅里叶变换及其性质,第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,时域分析,以冲激函数为基本信号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数;而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号,任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦
2、信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义: 其内积为0。即,4.1 信号分解为正交函数,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集,如三维空间中,以矢量 vx=(2,0,0)、vy=(0,2,0)、vz=(0,0,2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。,例如对于一个三维空间的矢量A =(2,5,8),可以用一个三维正交矢量集 vx,vy,vz分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间,在信号空间找
3、到若干个相互正交的信号作为基本信号,使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,二、信号正交与正交函数集,1. 定义:,定义在(t1,t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1,t2)内正交。,2. 正交函数集:,若n个函数 1(t), 2(t), n(t)构成一个函数集,当这些函数在区间(t1,t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。,3. 完备正交函数集:,如果在正交函数集1(t), 2(t), n(t)之外,不存在函数(t)(0)满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如:三角函数集1,c
4、os(nt),sin(nt),n=1,2, 和虚指数函数集ejnt,n=0,1,2,是两组典型的在区间(t0,t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,( i =1,2,n),三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t), 2(t), n(t)在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似,可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为,为使上式最小,展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不为0,写为,即,所以系数,
5、代入,得最小均方误差(推导过程见教材),考虑到:,在用正交函数去近似f(t)时,所取得项数越多,即n越大,则均方误差越小。当n时(为完备正交函数集),均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)帕斯瓦尔公式,表明:在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,4.2 傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t),其周期为T,角频率=2/T,当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时,它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数,系数an , bn称为傅里叶系数,可见, an 是
6、n的偶函数, bn是n的奇函数。,式中,A0 = a0,上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中, A0/2为直流分量; A1cos(t+1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同; A2cos(2t+2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍; 一般而言,Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见An是n的偶函数, n是n的奇函数。 an = Ancosn, bn = Ansin n,n=1,2,将上式同频率项合并,可写为,二、波形的对称性与谐波特性,1 .f(t)为偶函数对称纵坐标,bn =0,展开为余弦级数。,2 .f(t)为奇函数对称于原点,an =0,展开为正弦级数。
7、,实际上,任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分,即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量,而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运算常感不便,因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出:利用 cosx=(ejx + ejx)/2,如果函数f(t)的前半周期波形移动T/2后,与后半周期波形相对于横轴对称,即
8、满足f(t)=-f(tT/2),则这种函数称为半波对称函数或称为奇谐波分量。,上式中第三项的n用n代换,A n=An, n= n, 则上式写为,令A0=A0ej0ej0t ,0=0,所以,令复数,称其为复傅里叶系数,简称傅里叶系数。,n = 0, 1, 2,,表明:任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。,四、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n0时, |Fn| = An/2。,周期信号一般是功率信号,其平均功率为,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱及特点,一、信号频谱的概念,从广
9、义上说,信号的某种特征量随信号频率变化的关系,称为信号的频谱,所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系,即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图,分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0,所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|和n的关系,称为双边谱。若Fn为实数,也可直接画Fn 。,例:周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T,基波角频率,画出它的单边频谱图,并求f(t) 的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式,即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的
10、周期T = 24,基波角频率=2/T = /12 根据帕斯瓦尔等式,其功率为 P=,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量;,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量;,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,二、周期信号频谱的特点,举例:有一幅度为1,脉冲宽度为的周期矩形脉冲,其周期为T,如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数), n = 0 ,1,2,,Fn为实数,可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,零点为,特点: (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍;(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,谱线的结构与波形参数的关系:,(a) T一
11、定,变小,此时(谱线间隔)不变。两零点之间的谱线数目:1/=(2/)/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定,T增大,间隔减小,频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长(这时就成为非周期信号),那么,谱线间隔将趋近于零,周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,4.4 傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时,谱线间隔趋近于无穷小,从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小,不过,这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性,
12、引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱),称F(j)为频谱密度函数。,考虑到:T,无穷小,记为d; n (由离散量变为连续量),而,同时, ,于是,,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数,简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,也可简记为,F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j),F(j)一般是复函数,写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明,函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2
13、)用下列关系还可方便计算一些积分,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t) = et(t), 0实数,2. 双边指数函数f(t) = et , 0,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数(t)、(t),5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件,如1,(t) 等,但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ,即,而fn(t)满足绝对可积条件,并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,构造 f(t)=e-t , 0,所以,又,因此,
14、12(),另一种求法: (t)1代入反变换定义式,有,将t,t-,再根据傅里叶变换定义式,得,6. 符号函数,7. 阶跃函数(t),归纳记忆:,1. F 变换对,2. 常用函数 F 变换对:,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),If f1(t) F1(j), f2(t) F2(j) then,Proof: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,For exa
15、mple F(j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),-,二、时移性质(Timeshifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,For example F(j) = ?,Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,三、对称性质(Symmetrical
16、Property),If f (t) F(j) then,Proof:,(1),in (1) t ,t then,(2),in (2) - then, F(j t) 2f () end,F( jt ) 2f (),For example, F(j) = ?,Ans:,if =1,四、频移性质(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ?,Ans: 1 2
17、() ej3t 1 2(-3),For example 2,f(t) = cos0t F(j) = ?,Ans:,F(j) = (+0)+ (-0),五、尺度变换性质(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a t ) ,That is ,f (a t ) ,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j),For example 1,
18、Given that f (t)F( j), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,For example 2,f(t) = F(j) = ?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that,六、卷积性质(Convolution Property),Convolution in time domain:,If f1(t) F1(j), f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j
19、),Convolution in frequency domain:,If f1(t) F1(j), f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),Proof:,F f1(t)*f2(t) =,Using timeshifting,So that,F f1(t)*f2(t) =,= F1(j)F2(j),For example,Ans:,Using symmetry,七、时域的微分和积分 (Differentiation and Integration in time domain),If f (t) F(j) then,Proof:,f(n)(t) = (
20、n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) ,f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,For example 2,Given that f (t) F1(j) Proof,f (t) F1(j) + f(-)+ f()(),Proof,So,Summary: if f (n)(t) Fn(j),and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,For example 3,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2
21、(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,Notice:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),八、频域的微分和积分 (Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)(j),where,For example 1,Determine f (t) = t(t) F (j)=?,Ans:,Notice: t(t) =(t) * (t) ,Its wrong. Because ()() and (1/j
22、)() is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,九、帕斯瓦尔关系 (Parsevals Relation for Aperiodic Signals),Proof,|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 单位频率上的频谱 (能量密度谱)Js,For example,Determine the energy of,Ans:,十、奇偶性(Parity),If f(t) is real, then,= R() + jX(),So that,R()= R() , X(
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