随机信号分析课件第6章.ppt
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1、随机过程,第六章:正态随机过程,第六章: 正态随机过程,6.1 随机变量特征函数的回顾 6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩 6.3 n 维正态随机变量的性质 6.4 正态随机过程的定义 6.5 正态随机过程的性质,如果对一个随机过程任意选取 n 个时刻,则得到 n 个相应的随机变量, 若此 n 个随机变量的联合分布是 n 维正态分布,则称随机过程 X(t) 是正态随机过程(高斯过程)。,正态随机过程定义:,随机变量的特征函数: 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系,这个关系就是 Fourier 变换对,因此在得知随机变量的特征函数后,就可以知道它的概率密度函数。,6.1
2、随机变量特征函数的回顾,设 为随机变量,称 的数学期望为随机变量 的特征函数。记为:,已知特征函数,求概率密度函数(Fourier反变换):,(1)特征函数的定义,连续型,离散型,解:,解答:,详细解答见教材P8例题1.2。,例题6-1:,结论:, 具有 X 的特征函数为 ,则 Y=aX+b 的特征函数为:,证明:,(2)特征函数的性质,证明:(归纳法证明),当n=1时:,证明省略。,即:,定义: 若,(3)多维随机变量的特征函数,特征函数:,多维随机变量的特征函数定义:,同一维随机变量一样,多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对fourier变换对:,特征函数:,概率密度函数:,若X1,
3、X2 统计独立,则: 推广到n个: 证明:,若独立,则,多维随机变量的特征函数性质:,边际特征函数: 推广到n个: 证明:,已知,证明:,比较:,一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为:,记为 特征函数为:,6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩,(1)一维正态随机变量,若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为:,则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量,其边际概率密度函数可表示为:,因此其边际分布为一维正态分布 : ,,(2)二维正态随机变量,二维正态分布的协方差矩阵可表示为:,二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质: 实对称矩阵; 正定
4、矩阵 其逆矩阵可表示为,二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为:,其中,二维正态随机变量的特征函数表示为:,其中:,二维正态随机变量的特征函数也表示为:,若n维随机变量的联合密度函数为:,则称 为 n 维正态随机变量,其中C为n维实对称正定矩阵,也是协方差矩阵。记为:,(3)n 维正态随机变量,若n维随机变量的特征函数为:,若 ,则存在 n 阶正交矩阵A,使得向量 中的分量Y1,Y2, ,Yn是独立的随机变量, 且 Yi 为一维正态分布 N(0,di)。,说明:,6.3 n 维正态随机变量的性质,的特征函数为,证明:,总存在正交矩阵A,通过变换 此时随机向量的协方差矩阵,且,由性质1可以知道
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