第5章傅立叶变换与频域图像增强.ppt
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1、1,第五章 傅立叶变换与频域彩色增强,2,变换是双向的。在图像处理中,将从图像空间向其他空间的变换称为正变换,而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换.,为了有效地对图像进行处理,常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间,并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工,最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法就是图像变换技术。,空间域,变换域,3,在图像处理中,二维正交变换有着广泛的应用。 利用某些正交变换可以从图像中提取出一些特征,如在Fourier变换后,直流分量正比于图像灰度值的平均值,高频分量则表明了图像中目标边缘的强度及方向。 另外,在正交变换的基
2、础上,可以完成图像的变换编码,进行信息压缩。 特点:变换后,信号的能量不变,但分布会有变化,使之集中到少数一些项上,舍弃一些小幅度的变换系数,可以实现数据压缩。,空间域,变换域,4,常用的图像变换,离散傅里叶变换 沃尔什变换 哈达马变换 离散余弦变换 Radon变换 小波变换,5,5.1 离散傅里叶变换DFT,傅里叶变换在信号处理和图像处理中得到广泛的使用。 设大小为M*N的图像,其傅里叶变换F(u,v),u,v均为频率分量。 F(u,v)失去了空间关系,只记录了频率关系。,空间域是由f(x,y)所张成的坐标系,x和y是变量。 频率域是由F(u,v)所张成的坐标系,u和v是变量。 u和v定义的
3、矩形区域称为频率矩形,其大小与图像f的大小相同。F(u,v)傅里叶系数。,6,其反变换定义如下:,注意: 并没有固定位置.,7,F(u,v)通常是复数。,8,直观的分析一个变换的方法就是计算它的频谱,并将它显示出为一幅图像。 谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度值显示出来。,幅度谱,频谱,相位谱,每一个频率分量所占能量情况,9,u=0,v=0时,,图像的平均值为,图像经傅里叶变换后,直流分流正比于图像的均值,高频分量则表明了图像中目标边缘的强度及方向。,F(0,0)的计算用到了所有的f(x,y) 对于其他的F(u,v)有同样的道理 F(u,v)失去了空间关系,表示的是图像所有点在u,v频率上的
4、分量.,10,图像经傅里叶变换后,直流分流正比于图像的均值,高频分量则表明了图像中目标边缘的强度及方向。 使用低通滤波器对图像的傅里叶变换进行滤波,可以做到平滑处理。 使用高通滤波器对图像的傅里叶变换进行滤波,可以做到锐化处理。 图像经傅里叶变换后,能量不变,但分布有变化,使之集中到少数项上,实现压缩。,11,对比,图像,傅里叶频谱图像,12,周期性N,关于原点的共轭对称性,关于原点的对称性,周期性是DFT及其逆变换的一个数学特性。,傅里叶频谱的周期性,先以一维为例,13,一维傅里叶变换产生的是两个紧邻的半周期。 希望观察一个完整周期的傅里叶频谱 f(x)变换前乘以(-1)x,一维傅里叶频谱,
5、14,为观察一个完整周期的傅里叶频谱 f(x,y)变换前乘以(-1)x+y,15,因为人的视觉可分辨的灰度有限,频谱的显示都要取个log。 D(u,v)=log( 1+k|F(u,v)| ),16,思考: 图像中心小方块长宽不等与频谱图像的对应关系,17,频谱中的垂直亮线是因为图像中比较多的水平边缘。,18,图像上有较规则的线状物,反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带,19,5.1.2 傅里叶变换定理,1.平移定理 f(x,y)在空间平移了,相当于把傅里叶变换与一个指数相乘。 f(x,y)在空间与一个指数项相乘相当于平移其傅里叶变换,20,2.旋转定理 对f(x,y)旋转一定角度,相当于
6、将其傅里叶变换F(u,v)旋转一定角度,21,3.尺度定理 幅度尺度 空间尺度 时域压缩,高频部分增多,频谱拉宽,又因为能量守恒,所以谱图像变暗。,22,剪切定理、组合剪切定理、仿射定理 卷积定理 相关定理,23,MATLAB中傅里叶变换的实现,(1)已知f(x,y),求F(u,v) fft2函数:快速傅里叶变换函数 F=fft2(f) f:M*N , F: M*N (2)求幅度频谱 abs函数:求实数的绝对值,复数的模 S=abs(F) imshow(S, ) %四个角上有亮点,24,(3)显示一个完整周期的频谱 fftshift函数:重排数据,将变换的原点移动到频率矩形的中心 F=fft2
7、(f); Fc=fftshift(F); S=abs(Fc); imshow(S, ) imshow(log(1+S), ),25,求傅里叶逆变换ifft2 F=ifftshift(Fc); f=ifft2(F) f=real(ifft2(F); %理论上逆变换的结果也是实数,但由于浮点计算的舍入误差,ifft2的输出实际上都会有很小的虚数分量,因此计算逆变换后提取结果的实部。,26,频谱图像|F(u,v)|特点: 低频部分集中了大部分能量;,高频部分对应边缘和噪声等细节内容。,27,复习,图像的傅里叶变换,F(0,0)的计算用到了所有的f(x,y), 对于其他的F(u,v)有同样的道理; F
8、(u,v)失去了空间关系,表示的是图像所有点在u,v频率上的分量.,28,想直观的看一下F(u,v),表示各频率分量的能量,|F(u,v)|周期为N,关于原点对称。,为观察一个完整周期,采用下述方法之一: 将|F(u,v)|四个象限作对角交换;,29,30,5.2 频域增强原理,在频域空间,图像的信息表现为不同频率分量的组合。,频谱图像|F(u,v)|特点: 低频部分集中了大部分能量;,高频部分对应边缘和噪声等细节内容。,频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。 频域滤波器:不同的滤波器滤除的频率和保留的频率不同,因而可获得不同的增强效果。,31,频域增强方法的三个步骤: 1.将图像从图
9、像空间转换到频域空间(如傅里叶变换); 计算图像的傅立叶变换 2.在频域空间对图像进行增强; 将其与频率滤波器相乘 3.将增强后的图像再从频域空间转换到图像空间。 进行傅立叶反变换,频率滤波: 低通滤波,高通滤波,带通和带阻滤波,同态滤波,32,f (x,y)、h (x,y)均补零扩充为PQ, P=2N-1; Q=2N-1.,图像进行傅立叶变换,需将其看作周期函数的一个周期; 周期函数进行卷积,为避免周期折叠误差,需对函数进行补零扩展。,33,5.3 低通滤波,图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶变换中的高频部分,所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分量。 需要选择一个合适的H(u
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- 傅立叶 变换 图像 增强
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