第一章质点运动学(改).ppt
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1、第一章 质点运动学,第二章 牛顿运动定律,第三章 功和能,第四章 动量和角动量,第五章 刚体的转动,第一篇 力 学,引 言,第一章 质点运动学,1. 掌握位矢(位置矢量)、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量的定义及其矢量性、相对性和瞬时性; 2. 能借助直角坐标系用微积分方法计算质点在平面内运动的速度、加速度和轨道方程; 3. 能计算质点作抛体运动和圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。,教学要求,物体运动是绝对的,对运动的描述是相对的。 一、参考系、坐标系 参考系:为了研究一个物体的运动,必须另选一物 体作参考,这个被选作参考的物体称为参考系
2、。 坐标系:定量地表示某一物体相对于参考系的位置。,物体的运动对不同的参考系有不同的描述。这个事实称为运动描述的相对性。,1-1 参考系 质点,例: 车厢在地面上向右匀速运动,甲在地面上,乙在车厢内,同时观察螺钉从车顶落下的过程。 甲:螺钉作平抛运动。 乙:螺钉作自由落体运动。 可见参考系不同对运动的描述也不同。即对运动的描述 是相对的。,甲,乙,二、质点(理想模型) 质点:具有质量而没有形状和大小的理想物体。 一个物体能否看作质点,要根据问题的性质来决定。 例如, 地球绕太阳运动, 而研究地球的自转时, 地球可以当作质点; 地球就不能当作质点。 两条原则: 1、物体的线度大大地小于它的运动空
3、间; 2、物体作平动。,平 动,三、时间和时刻 任何一个物理过程 包括机械运动 都必须经历一段时间。 人们常用一个物理过程来定义时间。例如,地球自转一周所经历的时间为一天,等于86400秒。 时间趋于无限小的时候,就是时刻。 时间对应于物理过程。 路程,位移 时刻对应于物理状态。 位置 ,一、质点的运动方程、轨道 1、质点的运动方程 一质点在空间中运动,任 意时刻 t 其P 可以由两个坐 标 x, y,z 来确定(如图)它们 是时间的函数: 上式称为质点的运动方程。 运动方程:描述质点的位置随时间变化的方程。 运动学的问题,归根结底就是求质点的运动方程。,1-2 质点的位移 速度和加速度,(1
4、-1),2、轨道 由运动方程消去时间 t 就得到质点的轨道方程。 轨道方程:描述质点运动路线的方程。(如直线运动、 曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等) 例如,平抛运动: 轨道为一抛物线:,又比如一个圆周运动,若运动方程为:,则轨道为一圆心在原点,半径为 A 的圆:,3、位置矢量: 从坐标原点到质点所在位置 P 的矢量 称为位置矢量。,(1-1)和(1-3)是等效的,也都称为质点的运动方程。 (为方便计,下面我们以讨论二维问题为例),i ,j ,k是 x, y,z 轴上的单位矢量。 是时间的函数。,(1-2),(1-3),(1-1)式也可以表示为:,二、位移: 质点沿轨道运动,t 时刻在 点,
5、时刻到达 点。则在 t 到 这段时间间隔内,质点从 位移到 点, 到 的矢量 称为质点在 时间内的位移。,而 到 的轨道的几何长度称为 时间内质点运动的路程:,注意:一般情况下,位移是矢量,路程是标量,且大小也不等。,1、平均速度: 位移 与发生这段位移所用时间 之比,称为质点在时间 内的平均速度:,大小为:,平均速度与所选取的时间段(或位移段)有关,故必须说明是哪一段时间间隔内的平均速度。,方向为: 的方向。,三、速度: 速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。,2、瞬时速度: 当 趋近于0时, 也趋近于0, 点无限接近 点, 此时的 平均速度就是在 t 时刻(或 位置)的瞬时速度,简
6、称速度。 从矢量代数可得: 的方向: 沿曲线在 点的切线方向,指向移动一方。,的方向: 该点切线方向,与X轴正方向间的夹角为:,的数值:,3、平均速率 速率 在 内的平均速率定义为:,平均速率与平均速度是不相同的。假如在 内质点绕圆运 动一周,则平均速度 ,而平均速率,瞬时速率定义为:平均速率在 0 时的极限:,平均速率、速率都是标量。,请判断下列式子的对错:,4、t 时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系,可见: 瞬时速率与瞬时速度的大小相同,尽管平均速率一般不等于平均速度的大小。,这就是轨道的正交坐标方程,上式表示质点的轨道是半径为R 的圆周,圆心在点 处。,例题 1-1 已知质点的运动方
7、程为:,其中R及 为常量,求质点的轨道及速度。,解:将(1-1)式改为:,将以上二式两边平方及相加得:,由此得速度的大小:,为一常量,所以质点的运动为匀速圆周运动。 速度v与X轴所成的角 由下式决定:,由(1-1)式求得的速度分量为:,四、加速度: 1平均加速度: 加速度是描述质点速度变化快慢的物理量,是矢量。 设质点 t 时刻时在P点,速度为v,经过 后,质点运动到 Q点,速度为 ,则在 时间内速度的增量为: 则 内的平均加速度为: 称为在 t 到 t+ 时间间隔内的平均 加速度。,2、瞬时加速度: 当 ,即 时,可以得到质点在P点时的瞬时加速度:,加速度的大小为: 加速度 与 X 轴所成的
8、角为 ,则: 加速度是速度对时间的变化率,所以无论速度的大小改变或方向改变,都有加速度。,书中例题 1-2 设质点的运动方程仍由例题1-1中(1-1)式表示,求加速度。 解:利用例题1-1的结果可得 由此得加速度的大小:,如果把加速度写成矢量式,则有: 令 表示从圆心 到质点(x,y)的矢径,得: 得到 可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。,已知质点的运动方程,用微分的方法可以求得质点运动的速度和加速度。 反之,已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分的方法求得速度和运动方程。,例:一质点作匀变速直线运动,加速度为 a(常数),已知 t=0 时,x = x0,v = v0 ,求质点的速度
9、及运动方程。,解:,两边积分得:,再由,得,两边积分得:,当 t = 0 时 x = x0 ,v = v0 可以求得 c1 = v0 ,c2 = x0,速 度:,运动方程:,位移公式:,匀变速直线运动公式,所以得:,例1、 设质点的运动方程为,()计算在t s到t s 这段时间间隔内的平均速度;,解:()由平均速度的定义式,在t s , t s 内的平均速度为:,其中,解():由题意知,速度的分量式为:,故t3 s 时速度分量为,故t3 s 时速度为,而在t3 s 时的速率为:,()求 t3 s 时的速度和速率;,由运动方程可分别作 x - t,y - t 和 y - x 图。,()作出质点运
10、动的轨迹图。,例2、一质点运动轨迹为抛物线,求:x = -4 时(t 0 ) 粒子的速度、速率、 加速度。,分析: 由 x = -4 , 得 t = 2,解:,速率:,则:,解:a 是t 的函数,由相应的公式得:,位置矢量为:,根据积分公式,得,例4、 已知质点运动方程为x=2t, y=192t2, 式中x, y以米计,t以秒计,试求:(1)轨道方程;(2)t=1s 时的速度和加速度;(3)何时质点位矢与速度矢量垂直?,(2)对运动方程求导,得到任意时刻的速度,对速度求导,得到任意时刻的加速度:,(1),(2),解:(1)运动方程联立,消去时间t得到轨道方程,将时间t=1s代入速度和加速度分量
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