第二章线性系统的状态空间描述6.ppt
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1、线性系统理论 (Linear System Theory),第二章 线性系统状态空间描述,2,系统模型是对现实世界中的系统或其部分属性的一个简化描述,系统模型的作用:仿真、预测预报、综合和设计控制器 模型类型的多样性:用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 数学模型的基本性:着重研究可用数学模型描述的一类系统 建立数学模型的途径:解析、辨识 系统建模的准则:在系统模型的简单性和分析结果的准确性之间作出适当的折衷。,线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统,不是物理系统。,系统建模即对系统建立模型, 在系统控制理论中具有基本的重要性。建模的目的在于深入和定量地揭示系统行为的规律性或
2、因果关系性。建模的实质是对系统的动态过程即各个变量和参量间的关系按照研究需要的角度进行描述。,3,线性系统的数学模型主要有两种形式:即时间域模型和频率域模型。 对应于系统的这两种模型,发展和形成了线性系统理论的两类不同方法。 建立系统的数学模型的基本途径是解析法和实验法。 建模问题是系统研究中的一项非常基本和重要的问题,已经构成系统理论中的一个独立的分支。,时间域模型表现为微分方程组或差分方程组,可同时适用于常系数系统和变系数系统。 频率域模型表现为传递函数和频率响应,只是用于常系数系统。,解析法是通过分析系统的机制直接运用物理原理来建立表征系统动态过程的数学描述。 实验法是在通过试验区的数据
3、和按照相应准则处理数据的基础上来导出最接近系统实际情况的简化数学描述。 系统辨识。,4,本章主要内容,2.1 状态空间的基本概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 控制系统的实现 2.4 状态方程的规范形式 2.5 由状态空间描述导出系统输入-输出描述 2.6 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵 2.7 离散系统的状态空间模型,第二章 线性系统的状态空间描述,状态空间方法是基于状态空间模型对自动控制系统进行分析与设计的一种方法。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系,比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。 本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法,然后介绍系
4、统状态空间模型的实现,为系统分析与设计奠定基础。,5,系统的 p 维控制输入变量,系统的 n 维状态变量,系统的 q 维测量输出变量,符号说明:一个动态系统, 它是由相互制约和相互作用的一些部分所组成的一个整体, 习惯地采用如下图所示的一个方块来表征。方块以外的部分称为系统环境。,环境对系统的作用称为系统输入,属于外部变量,系统对环境的作用称为系统输出,属于外部变量,用以刻画系统在每个时刻所处态势的变量称为系统状态,属于内部变量,系统的方块图表示及其变量,6,状态:是描述系统运动行为的一些信息集合,在已知未来外部输入的情况下,这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。包含了系统的过去、现在
5、和将来的状况。,2.1 状态空间的基本概念,状态变量:能够完全表征系统运动状态的最小变量组。 表示为,最小变量组:意味着这组变量是互相独立的。减少变量,描述不完整,增加则一定存在线性相关的变量,毫无必要。在数学上又称最大线性无关变量组。,系统的状态由描述系统内部动态行为特征的变量表示。随着时间的推移,系统会不断演化。导致系统状态和演化进程发生变化的主要因素,包括外部环境的影响,内部组成的相互作用,以及人为的控制作用等。,该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。,7,状态变量的特点:,(1) 独立性:状态变量之间线性独立; (2) 多样性:系统中线性无关的变量数总小于系统的变量个数,使状态变
6、量的选取并不唯一,实际上存在着无穷多种方案;即可用某一组,也可用另一组数目最少的变量。 (3) 等价性:任意选取的两个状态变量组之间只差一个非奇异变换; (4) 现实性:状态变量通常取为含义明确的物理量; (5) 抽象性: 状态变量可以没有直观的物理意义。,非奇异矩阵:n 阶方阵 A 的行列式 |A| 是否等于0,若等于0,称矩阵 A 为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵 A 为非奇异矩阵。 线性非奇异变换:即当前的矩阵或者向量乘以一个非奇异矩阵。 (相当于坐标变换),线性相关:一个向量组 ,存在一组不全为零的数 ,使得 成立,则称这组向量线性相关。 即这组向量中至少有一个向量可以用其余向量表示。
7、线性无关:如果这个向量组中的任何向量都不能由其余向量线性表示,即它们之间不存在相互依赖的关系,称这个向量组线性无关。,8,当系统能用最少的n个状态变量 完全确定系统状态时,则把这n个状态变量看作列向量 的分量,则 称为状态向量,简称状态。记为 上标T为矩阵转置记号。 若状态向量由n个分量组成,则称n维状态向量。 一旦给定 时的初始状态向量 及 的输入向量 ,则 的状态由状态向量 唯一确定。,状态向量,9,(3) 初始时刻 的状态 在状态空间中为一初始点;随着时间推移,系统状态在变化, 便在状态空间中描绘出一条轨迹,称状态轨迹。,(2) 状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动
8、状态。因此,系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示,例如 二阶系统的状态可由 轴、 轴组成的状态平面(即相平面)中一点表示; 三阶系统的状态可由 轴、 轴、 轴组成的三维状态空间中一点来表示; n阶系统的状态则由 轴组成的n维状态空间中一点来表示。,状态空间:以状态变量 为坐标轴构成的n维正交空间。,(1) 状态空间的维数等同于状态变量的维数;以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。,说明:,10,状态方程,状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。 状态方程是用于描述系统中状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组或差分方程组。 状态方程也反映了每个状
9、态变量对时间的变化关系。 状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。 系统的状态方程具有非唯一性。 状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。,fi 是线性或非线性函数。,11,状态空间表达式,状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式,简称动态方程。用于表示线性系统的状态空间模型。 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用线性系统理论对系统进行分析和综合的基础。 状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入输出关系,提示了系统内部状态对系统性能的影响。,输出方程,系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程。,j 是线性或非线性函数。,
10、12,状态空间分析法,以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。 它具有下列优越之处: 便于在数字计算机上求解; 容易考虑初始条件; 能了解并利用处于系统内部的状态信息; 数学描述简化; 适于描述多输入-多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统,是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。,倒立摆控制系统,航天器控制系统,机器人控制系统,导弹控制系统,13,建立方法 :通过系统的物理模型建立动态方程 适用对象:系统结构和参数已知。 核心问题:合理选择系统的状态变量 状态变量的选择规则: 注意事项:,选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 选择系统的输出
11、及其各阶导数作为状态变量 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量,同一系统选择状态变量不同,则其空间表达式不同; 两个不同的系统,其状态空间表达式有可能相同。,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述(动态方程或运动方程),包括状态方程(描述输入和状态变量之间的关系)和输出方程(描述输出和输入、状态变量之间的关系)。,2.2 系统的状态空间模型,14,【例】求图示RLC回路的状态空间表达式,建立方法: 1、根据物理定律建立系统的物理模型。 2、选择系统中储能元件的输出作为状态变量,将物理模型转化为状态方程和输出方程。,15,2) 根据基尔霍夫定律,列写电路
12、原始回路方程,并转化为一阶微分方程:,整理方法:将状态变量的一次导数看成待定量,并运用按代数方程组的求解方法,通过求解上述连立方程可得,1) 选取状态变量:考虑到给定电路只含有电容 C 和电感 L 两个独立储能元件, 可知系统有且仅有两个线性无关的内部变量。基此, 不妨选取电路中独立储能元件的变量组即电容端电压 和流经电感的电流 作为电路状态变量组。显然, 和 必满足状态变量定义中所指出的线性无关极大组属性。,16,3) 导出状态方程和输出方程,状态方程,输出方程,则输出,令,17,【例】,18,19,20,A称系统矩阵(系数矩阵,状态阵),b称输入矩阵(在此为列矩阵)。,式中,可写成向量矩阵
13、形式:,一般形式的状态方程(SISO线性系统):,式中常系数 与系统特性有关。,线性系统的状态空间模型的一般形式,线性系统的状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系,输出变量与状态变量,输入变量也是线性关系。,单输入 体现在?,21,式中常系数 与系统特性有关。 可写成向量矩阵形式:,式中 为输出矩阵(在此为行矩阵),d 为直接联系输入量、输出量的前向传递(前馈)系数,又称前馈系数。,单输出定常连续系统的输出方程一般形式为:,单输入单输出系统动态方程一般形式为:,式中 x 为 n 维状态向量,u 与 y 为标量,A为n阶方阵,b为 向量,c 为 向量,d 为标量。,单输出
14、体现在?,22,多输入线性定常连续系统的状态方程一般表达式为:,其向量矩阵形式为,式中u为p维列向量,B为 输入矩阵,或称控制系数矩阵,有,23,其向量矩阵形式为,式中,C 称为 输出矩阵,D 称为 前馈矩阵。,多输入多输出线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为:,24,多输入多输出系统动态方程一般形式为,式中:x为 状态向量,u为 输入向量,y为 输出向量。,简记为,A 为nn维系统状态矩阵,表征各状态变量间的关系; B 为np维系统的输入矩阵,表征输入对每个变量的作用; C 为qn维系统的输出矩阵,表征输出和每个状态变量的关系; D 为qp维系统的直接转移(传输、前馈)矩阵,表征输入对输
15、出的直接传递关系。,线性时不变系统模型,25,A 表征各状态变量间的关系; B 表征输入对每个变量的作用; C 表征输出和每个状态变量的关系; D 表征输入对输出的直接传递关系。,由于 完整地表征了系统动态特性,故有时把一个指定的动力学系统简称为系统 。,状态变量非唯一,导致矩阵A,B,C,D非唯一。状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。同一系统具有不同的状态空间模型,但是这些状态方程都描述了同一个系统,因此这些方程本质上是相同的,它们相互之间可以通过线性变换而得到,因此这些模型在相似意义下是等价的,又称等价变换(变换前后系统的特征值不变)。 可以通过线性变换将系统的一般模型变
16、换为简单规范的标准型,从而简化系统的分析和设计 ;,线性变换是一种交换基底的坐标变换,虽然改变了数学模型的形式,但状态方程的特征值不变,所以模型的固有性质不变。,(P为非奇异常量矩阵,即存在P-1。),26,动态方程的结构图表示见下图,各方块的输入输出关系规定为: 输出向量(方块所示矩阵)(输入向量) 注意:在向量、矩阵的乘法运算中,相乘顺序不允许任意颠倒。,线性系统的结构图表示,离散时间线性系统,连续时间线性系统,A 表征各状态变量间的关系; B 表征输入对每个变量的作用; C 表征输出和每个状态变量的关系; D 表征输入对输出的直接传递关系。,27,状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这
17、一过程,其中它考虑了被经典控制理论的输入-输出描述所忽略的状态,因此它揭示了问题的本质,即输入引起状态变化,而状态决定了输出。 输入引起的状态变化是一个运动过程,数学上表现为向量微分方程,即状态方程。状态决定输出是一个变换过程,数学上表现为变换方程,即代数方程。 对于给定的系统,状态变量的选择不唯一,因此状态方程也不唯一;通常选择可以测量的物理量作为状态变量;状态变量可以是有明显物理意义的量,也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量,也可以是不可测的量。 状态变量的个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数; 很多系统虽然具有不同的物理特性,但却具有相同形式的数学模型。 对于结构和参数
18、未知的系统通常只能通过辨识的途径建立状态方程。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法,特别适合于计算机计算。,状态空间描述特点:,28,2.3 控制系统的实现,实际物理系统动态方程的建立,通常是根据所含元件遵循的物理、化学定律,列写其微分方程,选择可以量测的物理量作为状态变量来导出的,它能反映系统的真实结构特性,故动态方程可由诸元件的微分方程组或传递函数结构图演化而来。不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。 由于系统微分方程或传递函数也是一种线性定常连续系统的通用数学模型,当其已知时,可按规定方法导出典型形式的动态方程,便于建立统一的研究理论,并揭示系统内部固有的重要结构特性,下面来分
19、别加以研究。 对于给定的系统微分方程或系统传递函数,寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性,称此动态方程是系统的一个状态空间实现。 由于所选状态变量不同,其动态方程也不同,故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性,导出标准形实现最有意义。 从传递函数组成上可看到存在与不存在零、极点对消两种情况,这里只研究不存在零、极点对消的情况,所求得的动态方程中,状态变量数目最少,各矩阵的维数最小,构造硬件系统时所需积分器个数最少,故有最小实现之称。,29,一、系统的实现问题 概念:由系统的外部数学模型确定等价内部数学模型。即化输入-输出描述为状态空间描述。 (微分方程、传递函数或矩阵)
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