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1、2019/9/5,1,第2章 信号,教学课型:理论课 目的要求:使学生掌握信号处理和随机过程等基本通信数学知识(在概率论的基础上)。 重点难点: (1)平稳随机过程的定义 (2)高斯随机信号的数字特征 (3)信号通过线性系统 教学方法:多媒体讲解,结合板书,2019/9/5,2,2.1 信号的类型,2.2 确知信号的性质,2.3 随机信号的性质,2.4 常见随机变量分布,2.5 随机变量的数字特征,2.6 随机过程,2.7 高斯过程(正态随机过程),2. 8 窄带随机过程,2.9 正弦波加窄带高斯过程,2.10 信号通过线性系统,2019/9/5,3,2.1 信号的类型,一、确知信号和随机信号
2、 (1)确知信号和随机信号,又叫做“确定性过程”和“随机过程”。 (2)确定性过程:其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。 随机过程:其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。(stomatic/random process)比如电阻上的噪声电压。在任何时刻,它的幅值都有一个与之相应的随机变量,具有一定的统计特性。 【详见P35 2.6】 二、能量信号和功率信号 (1)能量信号的能量有限,但平均功率为0。 (2)功率信号的平均功率有限,但能量为无穷大。 周期信号是典型的功率信号,非周期信号一般是 能量信号。,2019/9/5,4,2.2 确知信号的性质,一、频域性质 1、
3、功率信号的频谱 定义:,思考: (1)与傅立叶变换定义表达式比较(上式多除以了个To,傅立叶变换的积分是从负无穷到正无穷) (2)对于典型的功率信号周期信号来说,它的频谱是其指数形式傅立叶级数中的傅立叶 系数。其频谱是离散的, 如典型的周期方波的频谱 (见右图),2019/9/5,5,2.能量信号的频谱密度 定义:设一能量信号为s(t),则其频谱密度为: S()的逆变换为原信号: 如典型的矩形脉冲(门函数)的频谱密度。,思考:为什么能量信号只有频谱密度而功率信号有频谱呢? (1)从物理的角度去理解:能量信号的能量有限,并连续分布在频率轴上,所以在每个频率点f上信号的幅度是无穷小,只有在一段频率
4、间隔df上才有非0振幅。 而功率信号则是能量无限,在无限多离散频率点上有非0幅度,即频谱。 (2)信号与系统:4.3和4.4节有专门的论述。,2019/9/5,6,2019/9/5,7,3.能量信号的能量谱密度 G(f)|S(f)|2 (J / Hz或Js) 为能量谱密度 4.功率信号的功率谱密度 先转换为非周期信号,求出该非周期信号的能量,然 后除以周期T,即可得到功率。 一般,令s(t)的截短信号为sT(t),-T/2 t T/2,则定义功率谱密度为P(f) 。(W / Hz或Ws) 二、时域性质 1.自相关函数 能量信号s(t)的自相关函数:,2019/9/5,8,功率信号的自相关函数定
5、义: 性质: R()只和 有关,和 t 无关 当 = 0时,能量信号的R()等于信号的能量; 功率信号的R()等于信号的平均功率 一般记住能量信号的自相关函数。 2. 互相关函数定义: 能量信号的互相关函数定义:,2019/9/5,9,2.3 随机信号的性质,一、随机变量的概率分布 随机变量的概念:若某种试验A的随机结果用X表示,则称此X为一个随机变量,并设它的取值为x。例如,在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 随机变量的分布函数: 定义:FX(x) = P(X x) , FX(x)为一连续单调递增函数。,2019/9/5,10,二、随机变量的概率密度 连续随机变量的概率密度
6、pX (x) pX (x)的定义: pX (x)的意义: pX (x)是FX (x)的导数,是FX (x)曲线的斜率 能够从pX (x)求出P(a X b): pX (x)的性质:,pX(x) 0,2019/9/5,11,2.4 常见随机变量分布,1.正态分布(高斯分布) 定义:概率密度 式中, 0, a = 常数 概率密度曲线:,2019/9/5,12,2.均匀分布 定义:概率密度 式中,a,b为常数 概率密度曲线:,1/(b-a),2019/9/5,13,3.瑞利(Rayleigh)分布 定义:概率密度为 式中,a 0,为常数。 概率密度曲线: 4.莱斯(Rice)分布:(略,另见教材2.
7、9节),2019/9/5,14,2.5 随机变量的数字特征,1. 数学期望(Expect) 定义:对于连续随机变量 实质上,数学期望就是统计平均值! 2 方差(Variance)、标准偏差(Standard Deviation) 表示随机变量偏离数学期望程度的数字特征。,2019/9/5,15,2.6 随机过程,1.随机过程的基本概念 数学期望: 方差: 自相关函数:,2019/9/5,16,核心提示:严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是,广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程,2.平稳随机过程 (1)严格平稳随机过程: 统计特性与时间起点无关 (2)广义平稳随机过程: 平均值、
8、方差和自相关函数等与时间起点无关 广义平稳随机过程的性质:,2019/9/5,17,3.各态历经性 (1)“各态历经”的含义: 平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 (2)各态历经过程的特点:可用时间平均值代替统计平均值! 各态历经过程的统计平均值mX:(时间平均值代替) 各态历经过程的自相关函数RX(): (时间平均值代替),核心提示:一个随机过程若具有各态历经性,则它必定是严格平稳随机过程。但是,严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,2019/9/5,18,4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 (1)自相关函数的性质-非常重要,常用于求功率谱密度! (2)功率频谱密度的
9、性质 复习:确知信号的功率谱密度: 类似地,平稳随机过程的功率谱密度为:,索引:P38 式2.6-15,2019/9/5,19,(3)重要结论 a.自相关函数 =功率谱密度 即PX(f )和R( )是一对傅里叶变换! 也称为维纳-辛钦定理 b.热噪声近似看作白噪声:前提是通信系统的带宽远远小于热噪声带宽(1THz=1012Hz,1太赫兹)! c.白噪声: 功率谱密度恒定! 类似于白色光的光谱,也是均匀分布的! 平均功率无穷大!原因是带宽无穷大,和恒定的功率谱密度相乘则也无穷大!,2019/9/5,20,2.7 高斯过程(正态随机过程),1.Gauss过程又叫正态过程。 热噪声就是典型的高斯白噪
10、声! 2.定义 一维高斯过程的概率密度: 式中,a = EX(t) 为均值 2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差 3.概率密度曲线 (1)在x=a处有拐点; (2)越大,曲线越平坦 4.(1)若两个随机变量的互相关函数等于零,则称为两者互不相关; (2)若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积,则称为两者互相独立。 两个重要性质: (1)互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。 (2)高斯过程的随机变量之间既互不相关,又互相独立。,2019/9/5,21,频率近似为fc,2.8 窄带随机过程,1.定义: 带宽f远远小于中心频率fc的
11、随机过程。 2. 功率谱密度和波形(频域时域):,3.表达式,式中,aX(t) 窄带随机过程的随机包络; X (t) 窄带随机过程的随机相位; 0 正弦波的角频率。,内涵:频率恒定,相位和包络是随机的。,2019/9/5,22,式中,, X(t)的同相分量, X(t)的正交分量,经过三角函数变换为:,4. 性质 (1)均值为0的平稳窄带高斯过程,则其Xc(t)和Xs(t)也是均值为0的平稳窄带高斯过程; (2)包络服从瑞利分布,相位服从均匀分布;,2019/9/5,23,2.9 正弦波加窄带高斯过程,1.定义: 通信系统中的已调波噪声,可近似为正弦波窄带高斯过程。 2.表达式: 式中, A 正
12、弦波的确知振幅; 0 正弦波的角频率; 正弦波的随机相位考虑信道的长距离引起的电容/电感性 n(t) 窄带高斯噪声。,3.性质 包络的概率密度为Rice(莱斯)分布; 相位的概率密度也为Rice(莱斯)分布;,2019/9/5,24,4.莱斯分布曲线的特殊情况 (1)当A/ = 0时,即只有噪声 包络瑞利分布 相位均匀分布 (2)当A/很大时,即没有噪声 包络正态分布 相位冲激函数,(a) 莱斯分布包络的概率密度,2019/9/5,25,1.确知信号通过线性系统信号与系统知识回顾 (1)时域分析法卷积 (2)频域分析法乘积 【例2.10】若有一个RC低通滤波器,如图2.10.4所示。试求出其冲
13、激响应,以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。 解:利用时域卷积来求:,2.10 信号通过线性系统,2019/9/5,26,(3)无失真传输条件 振幅特性与频率无关; 相位特性是通过原点的直线(实际中, 难测量,常用测量td代替),2. 随机信号通过线性系统四个重要结论!(前提:输入X(t) 为平稳随机过程) (1)输出Y(t)的数学期望EY(t),等于输入X(t)的数学期望k乘以H(0) (2)输出Y(t)的自相关函数RY(t1, t1+)= RY() (3)输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2 (4)高斯随机过程通过线性系统后输出仍为高斯随机过程,2019/9/5,27,【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。 解:因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成: 所以有 输出信号的功率谱密度为 输出信号的自相关函数 输出噪声功率:,2019/9/5,28,本章作业,
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