2016高考数学大一轮复习 8.6立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直课件 理 苏教版.ppt
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1、,8.6 立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,第八章 立体几何,数学 苏(理),基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面内两不共线向量,n为平面的法向量,则求法向量的方程组为,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合) . (2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l . (3)设直线l的方向向量为v,平面
2、的法向量为u,则l或l . (4)设平面和的法向量分别为u1,u2,则 .,v1v2,存在两个实数x,y,使vxv1yv2,vu,u1 u2,3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2, 则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u, 则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2, 则 .,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( ) (4
3、)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( ) (5)若ab,则a所在直线与b所在直线平行.( ) (6)若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行.( ),l或l ,23(4),解析,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,证明线面平行,可以利用判定定理先证线线平行,也可利用平面的法向量.,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,A
4、D2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,证明 方法一 如图,取BD的中点O,以O为原点, OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系Oxyz.,设点C的坐标为(x0,y0,0).,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,
5、AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD. 方法二 在线段CD上取点F,使得DF3FC,连结OF, 同证法一建立空间直角坐标系, 写出点A、B、C的坐标,设点C坐标为(x0,y0,0).,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问
6、题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,又PQ平面BCD,OF平面BCD, PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,用向量证明线面平行的方法有 (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该
7、直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2 ,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上, 且AQ3QC. 证明:PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练1 (2014湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DPBQ(02).,(1)当1时,证明:直线BC1平面EFPQ; (2
8、)是否存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,方法一 (1)证明 如图(1), 连结AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体, 知BC1AD1. 当1时,P是DD1的中点, 又F是AD的中点,所以FPAD1. 所以BC1FP. 而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ, 故直线BC1平面EFPQ.,图(1),(2)解 如图(2),连结BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,,又DPBQ,DPBQ,,所以四边形PQBD是平行四边形, 故PQBD,且PQBD,,图(2),在RtEBQ和RtFDP中,因为BQDP,BEDF1,于是EQFP
9、,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形. 分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连结OH,OG, 则GOPQ,HOPQ,而GOHOO, 故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角. 若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则GOH90.,连结EM,FN,则由EFMN,且EFMN,知四边形EFNM是平行四边形. 连结GH,因为H,G分别是EF,MN的中点, 所以GHME2.,由OG2OH2GH2,,方法二 以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系Dxyz.,图(3),由已知得B(
10、2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,),M(2,1,2),N(1,0,2),,而FP平面EFPQ, 且BC1平面EFPQ, 故直线BC1平面EFPQ.,(2)解 设平面EFPQ的一个法向量为n(x,y,z),,于是可取n(,1). 同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2,1).,若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角, 则mn(2,2,1)(,1)0,,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,证明线面垂直可以利
11、用线面垂直的定义,即证线与平面内的任意一条直线垂直;也可以证线与面的法向量平行.,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.,并且|a|b|c|2,,abac0,bc2,以它们为空间的一个基底,,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都
12、为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,方法二 如图所示,取BC的中点O,连结AO. 因为ABC为正三角形, 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中, 平面ABC平面BCC1B1, 所以AO平面BCC1B1.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,取B1C1的中点O1,以O为原点,,y轴,z轴建立空间直角
13、坐标系,,设平面A1BD的法向量为n(x,y,z),,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,故AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,用向量证明垂直的方法: (1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.,
14、题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练2 如图所示,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四边形ABCD中,BC90,AB4,CD1,点M在PB上,PB4PM,PB与平面ABCD成30角. (1)求证:CM平面PAD;,证明 以C为
15、坐标原点,分别以CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz, PC平面ABCD, PBC为PB与平面ABCD所成的角, PBC30.,令n(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,,CM平面PAD.,(2)求证:平面PAB平面PAD.,PBAB,BEPA.,又PADAA,BE平面PAD, 又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.,题型三 解决探索性问题,例3 如图, 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60,平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证:BDAA1;,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3
16、 如图, 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60,平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证:BDAA1;,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3 如图, 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60,平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证:BDAA1;,解 设BD与AC交于点O, 则BDAC,连结A1O,在AA1O中, AA12,AO1,A1AO60,,A1OAO.,思维点拨,解析,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3 如图, 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60,
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