2016高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法课件 理 苏教版.ppt
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1、数学 苏 (理),13.3 数学归纳法,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取 (n0N*)时结论成立; (2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时结论成立,证明当 时结论也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,第一个值n0,nk1,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归
2、纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项.( ),(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n1时,左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n03.( ),1aa2,解析,例1 求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,n从k变到k1,左边增乘了2(2k1).,例1 求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳
3、法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,证明 当n1时,等式左边2,右边2,故等式成立;,假设当nk时等式成立,,即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1),,例1 求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,那么当nk1时,,思维点拨,解析,思维升华,左边(k11)(k12)(k1k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)2 2k1135(2k1)(2k1),,例1 求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,这就是说当nk
4、1时等式也成立.,由可知,对所有nN*等式成立.,例1 求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立. (2)由nk证明nk1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:因式分解;添拆项;配方法.,例1 求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1,左边右边,等式成立.,假设nk时,等式成立.,左边右边,等式成立.,即对所有nN*,
5、原式都成立.,题型二 用数学归纳法证明不等式,解析,思维点拨,利用题中条件分别确定a的范围进而求a;,题型二 用数学归纳法证明不等式,解析,思维点拨,所以a21.,题型二 用数学归纳法证明不等式,解析,思维点拨,题型二 用数学归纳法证明不等式,解得a1.,又因为a21,所以a1.,解析,思维点拨,思维点拨,解析,思维升华,利用数学归纳法证明.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,故n2时,原不等式也成立.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,所以当nk1时,原不等式也成立.,思维点拨,解析,思维升华,(1)当遇到与正整数n有关的不等式证
6、明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.,思维点拨,解析,思维升华,(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立,推证nk1时也成立,在归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练2 (2014陕西)设函数f(x)ln(1x),g(x)xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN*,求gn(x)的表达式;,解 由题设得,g(x) (x0).,下面用数学归纳法证明.,当n1时,g1(x) ,结论成立.,假设nk时结论成立,,由可知,结论对nN*成立.,(2
7、)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;,解 已知f(x)ag(x)恒成立,,当a1时,(x)0(仅当x0,a1时等号成立),,(x)在0,)上单调递增.,又(0)0, (x)0在0,)上恒成立,,a1时,ln(1x) 恒成立(仅当x0时等号成立).,当a1时,对x(0,a1有(x)0,,(x)在(0,a1上单调递减,,(a1)(0)0.,即a1时,存在x0,使(x)0,,(3)设nN*,比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小,并加以证明.,在(2)中取a1,可得ln(1x) ,x0.,下面用数学归纳法证明.,当n1时, ln 2,结论成立.,假设当nk时结论成立,,由可知,
8、结论对nN*成立.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,通过计算a1,a2,a3寻求规律猜想an的通项公式,然后用数学归纳法证明.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,解 当n1时,,a1 1(a10).,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;,题型三 归纳猜想
9、证明,思维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳猜想证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且a
10、n0,nN*. (2)证明通项公式的正确性.,通过计算a1,a2,a3寻求规律猜想an的通项公式,然后用数学归纳法证明.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,证明 由(1)知,当n1,2,3时,通项公式成立.,假设当nk(k3,kN*)时,通项公式成立,,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,即当nk1时,通项公式也成立.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思
11、维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn 1,且an0,nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 在数列an中,a12,an1ann1(2)2n(nN*,0). (1)求a2,a3,a4;,解 a2222(2)222, a3(222)3(2)222323, a4(2323)4(2)233424.,(2)猜想an 的通项公
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