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1、哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 II Abstract In the real project, the demands for structure are different due to different demands for architecture, as a result, there are many restrictive conditions, like displacement and stress, for structure. The stress restrictive conditions always require some bars have equal s
2、tress which is done by changing bar area in previous research and by changing truss shape in this paper. The matrix which we use are singular or rectangle, so we use general inverse matrix. This paper will study the truss in restrictive conditions of stress. The methods of this paper is elaborating
3、mechanical equation, then using general inverse matrix in Fortran language to obtain optimal structure. The aim of this paper is to construct reasonable shape by making the number of equal stress bars as much as possible, that is, construct reasonable shape of truss in restrictive conditions of stre
4、ss. This paper discuss both plane truss and space truss in three kinds of conditions. The conditions are: except the supporting notes, all nodes can move; the upper nodes can move; except the supporting notes, all under nodes can move. In the specific projects, we can move random nodes using Fortran
5、 language to obtain optimal structure. In discuss of plane truss we study the influencing factors of morphogenesis, the factors are: supporting conditions, stress restrictive conditions, load conditions and the initial shape. We can use stress restrictive conditions and the initial shape to get vari
6、ous kinds of structures. This paper prove the possibility of morphopoiesis by the use of many examples. The characteristics of this papers method are: the theory is easy, the evolution speed is fast and the parameters change is clear. Keywords: truss, restrictive conditions of stress, general invers
7、e matrix, structural morphogenesis 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 III 目 录 摘 要 . I Abstract II 第 1 章 绪论 . 1 1.1 课题背景 1 1.2 课题研究现状 . 5 1.3 课题研究的目的和意义 . 7 1.4 课题研究内容 . 8 第 2 章 理论基础 . 9 2.1 广义逆矩阵 . 9 2.1.1 广义逆矩阵的概念 9 2.1.2 广义逆矩阵的微分 10 2.1.3 一次方程式的解 11 2.2 广义逆矩阵的求解方法 . 12 2.2.1 计算广义逆矩阵的基本原则 12 2.2.2 特异值分解法 13 2.3 本章小结
8、17 第 3 章 有应力制约条件的结构形态创构 18 3.1 基本思想 18 3.2 基本方程的建立 . 18 3.3 基本方程的解法 . 21 3.4 有应力制约条件的结构形态创构方法的特点 22 3.5 有应力制约条件的结构形态创构的意义 24 第 4 章 平面桁架形态创构 26 4.1 所有非支座节点均可移动的平面桁架结构形态创构 26 4.1.1 不同支座条件情况 26 4.1.2 不同应力约束条件情况 30 4.1.3 不同荷载作用情况 35 4.1.4 考虑初始形状的情况 39 4.2 上部节点可移动的平面桁架结构形态创构 43 4.3 下部非支座节点可移动的平面桁架结构形态创构
9、45 4.4 本章小结 48 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 IV 第 5 章 空间桁架形态创构 49 5.1 所有非支座节点均可移动的空间桁架结构形态创构 49 5.1.1 两跨空间桁架 49 5.1.2 四跨空间桁架 53 5.2 上部节点可移动的空间桁架结构形态创构 56 5.2.1 两跨空间桁架 56 5.2.2 四跨空间桁架 59 5.3 下部非支座节点可移动的空间桁架结构形态创构 62 5.3.1 两跨空间桁架 62 5.3.2 四跨空间桁架 63 5.4 本章小结 64 结论 . 65 参考文献 . 67 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 . 70 致 谢 . 71
10、 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 1 第1章 绪论 1.1 课题背景 作为人类生存的四大基本要素之一, “住”一直以来备受关注,其发展也 经历了漫长的过程。从原始人类的穴居到自主修建房屋,人们对于“住” ,也 即建筑物的认识也发生了巨大的变化,最初人们认为建筑物的功能只是用来遮 风避雨,保暖安全,因而当时的房屋基本没有任何美观可言,只是简单的建 筑。后来随着时代及人们审美观点的发展,房屋被赋予了更多内涵,人们研究 各种材料,建筑形态以及结构受力情况,随之越来越多形态各异、结构合理、 时代气息浓厚的建筑物不断出现。建筑的发展可以大致归纳为以下几个阶段: 远古时代,人类文明处于初级阶段,对于建筑的
11、认识只停留于遮风雨御寒 暑,因而人们利用树木建造巢穴或挖掘洞穴以居住,这种巢穴或洞穴并不是真 正意义上的建筑,所以外表不美观,结构也不合理。 随着人类文明的发展及可用建筑材料的增加,人们开始建造真正意义上的 房屋,即用土、石、木材及竹子搭建简单的住所,这时的房屋已经可以称之为 建筑,而且相较于远古时代的洞穴更加美观合理了。但土石结构建筑外观厚 重,跨度有限,木材建筑虽然体态轻盈但不耐火防虫,因而这类建筑很快就被 其他形式建筑所取代。 16 世纪前建筑的结构形式主要是梁板结构、拱结构及悬索结构,其中梁 板结构最为常见,是大多数民用住宅的主要建筑形式。然而梁板结构房屋的造 型比较单一,不能满足人们
12、审美上的要求,因而出现了拱及悬索结构。且通过 受力分析,人们了解到拱结构的内力分布状态以受压为主,由此砖石砌体抗压 不抗拉的材料性能可以被充分利用,因而可以建造大跨度结构。而悬索结构能 充分利用高强材料的抗拉性能,可以做到大跨度、自重小、省材料、易施工。 人们对于结构理论的分析逐步深入 ,随之钢结构、索膜结构不断涌现。 其中钢结构被广泛应用是因其具备如下优点:1、钢材的材质均匀,质量稳 定,可靠度高;2、钢材的强度高,塑性和韧性好,抗冲击和抗震动能力强; 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 2 3、钢结构工业化程度高,工厂制造,工地安装,加工精度高,制造周期短, 生产效率高,建造速度快;4、钢结构
13、抗震性能好。而索膜结构是利用其它材 料对高强度柔性薄膜材料进行拉压而形成的稳定曲面,因而是能够承受一定外 荷载的空间结构形式。其造型轻盈、自由、柔美、制作简易、安装快捷、节 能、有良好的阻燃性,因此得到世界各国的广泛应用。 近代以来,更多新颖的结构形式不断涌现。其中较为常用的有网架结构、 网壳结构、组合结构等。网架结构是通过节点连接多根杆件,杆件再按照一定 的网格形式而构成大跨度覆盖的空间结构,具有空间受力、刚度大、自重轻、 抗震性能良好等优点,通常可用作体育馆、影剧院、展览馆、飞机库、候车大 厅、体育场看台、大柱距车间等建筑的屋盖。而根据外形不同网架结构又可分 为双层的板型网架结构、单层和双
14、层的壳型网架结构。板型网架和双层壳型网 架的杆件分为上下弦杆和腹杆,这些杆件主要承受拉压力;单层壳型网架的杆 件除承受拉压力外还承受弯矩和剪力。网壳是一种空间杆系结构,与平板网架 类似,作为基础部分的杆件按一定规律组成网格,网格再按壳体结构布置而形 成空间桁架,它不仅具有杆系结构性质且具有壳体性质。其传力特点是通过壳 内两个方向的拉压力或剪力来逐点传力。网壳结构又包括单层网壳结构、板锥 网壳结构、预应力网壳结构、肋环型索承网壳结构、单层叉筒网壳结构等,是 很有发展前景的一种空间结构。组合结构是指同一个截面或同一结构的各杆件 由两种或两种以上材料制作的结构,包括钢与混凝土组合结构、组合砌体结 构
15、。钢与混凝土组合结构是用钢板或型钢焊接或冷压成钢截面,再将混凝土浇 筑到钢截面四周或内部,最终使得混凝土与型钢形成整体从而共同受力,国内 外常用的有:钢管混凝土结构、型钢混凝土结构、压型钢板与混凝土组合楼 板、钢与混凝土组合梁以及外包钢混凝土结构。组合砌体结构是由钢筋混凝土 面层和砖砌体或钢筋砂浆面层和砖砌体而组成的组合砖砌体构件。 从建筑发展史我们可以看出建筑和结构是并行发展的,在人们追求美的同 时结构也在不断发展。古罗马时期的维特鲁威曾概括建筑的三要素为坚固、适 用和美观1。三要素中适用和美观属于建筑范畴,建筑师在设计建筑物时首先 要考虑其适用性,进而要满足人们审美要求及具有社会历史特性。
16、坚固属于结 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 3 构范畴,结构工程师在对建筑物的结构进行计算分析时必须要保证其安全耐 用,这就要求他们必须具备深厚的力学功底及丰富的设计经验。从建筑三要素 我们可以看出要想建造合理美观的建筑物必须要求建筑师和结构工程师相互配 合工作,也要求建筑和结构一同发展。如果结构发展落后于建筑,那必将建造 出外表美观却不坚固的建筑物。长野奥林匹克纪念体育馆2就是一个例子,见 图 1-1,体育馆的外观像连绵起伏的山脉,可以使人联想到日本著名山脉富士 山,体育馆内部空间也布局合理,然而构造上部的内收使得结构受力状态恶 化,由此导致混凝土支撑悬臂及基础十分厚重。反之,如果建筑发展落
17、后于结 构,那所建造的建筑物必将是结构合理外表平庸。英国格林威治千年穹顶1就 是一个例子,见图 1-2,其巨大建筑体量是由结构形态所决定的,可以给人一 种超乎自然的感觉,然而它的外观却被福布斯杂志评为世界最丑十大建筑 之一。 图 1-1 长野奥林匹克纪念体育馆 图 1-2 英国格林威治千年穹顶 纵观历史上的优秀建筑,无一不是集建筑新颖及结构合理于一体的完美作 品。图 1-3 所示的巴伦西亚科学城就是这样一个典型建筑,此科学城由天文 馆、科学馆及歌剧院组成,图中右侧的天文馆运作过程很独特,位于罩的一侧 有一个巨大的门,运作时此门上下开启与闭合,开启时可以露出里面的球形天 文馆,整体看起来就像眼帘
18、一张一合,而通过浅水池观看这种运动时,人们可 以更加强烈的想象到人的眼睛。结构方面天文馆的主梁是巨大的混凝土弧形拱 顶,此拱顶跨度长达 90 米,主顶梁的两边则是互相平行的弓形结构,设计师 将许多透明玻璃天窗安装到弓形结构上,在玻璃天窗底下安装了钢铁翼肋,这 些看起来像骨架的翼肋通过充满空气的压杆来控制,因而可以像眼帘一样自由 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 4 开合。再如图 1-4 的赫斯特大厦,此大厦的独特外观是由结构带来的。结构选 型上采用了斜肋架构,因其具有明显的三角特征。这种构筑方式与传统钢框架 结构相比能够节约 20%的钢材。大厦抵抗重力、地震和大风等负荷方面的稳 定性是由结构的强
19、度和横向刚性提供的。在立面构图中,设计师将三角形体块 相交处向内翻转,这一翻转创造出了独特的多刻面效果,这种做法不仅勾勒了 轮廓线也强调了建筑的垂直体量感。 我国有句古话“文为道之饰,道为文之本” 3,用此话来形容建筑与结 构的关系再好不过,该话中的“文”可以指建筑,而“道”指结构,因而可以 解释为:建筑是结构的装饰,而结构是建筑的根基。建筑与结构相辅相成的关 系要求现在的建筑师与结构师要加深合作,共同创造出优秀的建筑作品。然 而,现在很多设计机构中结构师的工作总是辅助建筑师,建筑师根据自己的设 计灵感设计出新颖美观的建筑,而完全不考虑这一形式是否符合结构受力合理 性,而将这一难题留给结构师,
20、这样导致结构总是受建筑的牵制。而结构通常 不会独立发展,常常要出现新的建筑形式才会推动结构的发展,因而结构的发 展总是落后于建筑,基于此种状况及人们对于建筑与结构共同发展的美好愿 望,结构形态创构被提出并得到广泛应用。 图 1-3 巴伦西亚科学城 图 1-4 赫斯特大厦 结构形态创构法最早是由日本半谷教授提出的,在提出此方法前,半谷教 授曾于 20 世纪 80 年代总结了“广义逆矩阵”理论,并将此理论用于解决悬垂 线(面)结构等形状的问题。结构形态创构法提出于 20 世纪 90 年代,在这种 方法的指导下人们完成了很多实际工程,这些工程都兼具外形优美、结构合理 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文
21、5 的特性。因而结构形态创构法越来越引起各国建筑结构师的重视,他们在采用 前人方法的同时也在不停的创造新方法。 1.2 课题研究现状 结构形态创构的定义是运用分析的方法来寻求多种“良好形态”的行为, 其目的是实现建筑形状与结构受力性能协调统一。结构形态创构不受结构或建 筑的制约,它综合考虑了建筑的外观及受力,因而此方法常常能设计出出人意 料的外形及结构形式。这种方法有很强的实用性,所以近年来此方法被很多结 构工程师采纳并改进。 在探索这一方法的过程中产生两类方法实验方法和理论方法。实验方 法中最具代表性的是西班牙建筑师高迪的“逆吊实验法” 4,他利用这一方 法设计出了许多砖石结构的教堂建筑,如
22、位于巴塞罗那的萨哥拉达伐米利亚 教堂(如图 1-6)5。该结构的实验模型如图 1-5,该模型是一个用细线做成 的三向锁状模型,在细线上系上一些小重量物体来模拟荷载。用此方法得到的 结构在自重下只受压力,不受弯矩。在此之后瑞士结构工程师 H.Isler 继续发 扬“逆吊实验法” ,并利用其设计出许多诸如戴丁根加油站的只存在均匀分布 面内压应力的实际工程。理论方法方面最早开始于日本半谷教授,之后又出现 了许多改进方法。其中比较具代表性的有: “均质化设计方法” 6,7, “适应成 长法” 8,9, “Bubble 方法” 10, “GA 方法” 11-18及“ESO 方法” 19-22等。 其中“
23、均质化设计方法”由于计算时间长,应用范围小等缺点,现在只停留于 平面问题的研究。 “ESO 法”的概念是通过模拟生物界的进化现象,来剔除结 构中没有被有效利用的部分,该方法的基本原理在于先建立一种标准,优化过 程中符合这一标准的结构单元,也即低效率承载单元不断被剔除,而这一标准 本身在优化过程中也不断演化,迭代停止的条件是所有单元都不符合这个不断 更新的标准。 “ESO 法”可以选择多种标准,例如强度,刚度,失稳荷载,自 然频率等,工程中常用的是强度标准。 “ESO 法”具有通用性好、优化效率高 的优点,但仍存在一些缺点,其中最显著的缺点是一旦单元被删除后将不能恢 复。 2002 年出现了两种
24、新方法“改进进化论方法”及“高度调整法” 。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 6 “改进进化论方法”是模仿自然界进化现象,即适应环境的部分被保留,不适 应环境的部分被淘汰,基于此原理将结构体划分为承受荷载效率较高的区域及 效率较低的区域。之后将效率较低区域消除,效率较高区域保留及补充,从而 实现承载均匀又高效的结构形态23。 “高度调整法”的基本思想是利用有限 元方法计算出有关于曲面高度的应变能微分,通过调整曲面的高度使得最终得 出应变能最小的合理曲面结构。利用此方法不仅可以得出单纯的凸型或凹形曲 面结构,还可以得到凹凸混合型曲面结构24。这两种方法已经被应用于许多 实际工程,如图 1-7 的
25、上海喜马拉雅中心是应用改进进化论方法的杰作,图 1-8 的日本北方生涯学习中心则是采用高度调整法得到的结构。 图 1-5 三向锁状模型 图 1-6 伐米利亚教堂 图 1-7 上海喜马拉雅中心 图 1-8 日本北方生涯学习中心 本文所用到的广义逆矩阵方法最初由日本半谷教授提出,20 世纪 90 年代 半谷教授把此方法应用于索膜结构的形状确定问题上,并解决了机动体系的形 状创构问题。后来国内学者也对此方法进行了深入的研究,并取得了一定的成 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 7 果。 1.3 课题研究的目的和意义 本文所研究的有应力制约条件的结构形态创构方法主要针对平面桁架结构 及空间桁架结构。实际工
26、程及研究中常常先确定桁架形状再求解内力,这样所 得的结构只为满足建筑要求,却没有考虑到结构合理性,且在桁架设计中,由 于荷载,支座等条件的约束各杆件应力不可能完全相同,而且经常相差很大, 这与人们一直以来期盼的结构受力均匀相违背。因而本文的研究目的是使得桁 架中尽可能多的杆件应力相同,并在这一应力约束条件下反推桁架形状。如图 1-9 为常规桁架结构,桁架顶部节点均受 100N 竖直向下力,各杆件应力如图 所示。运用本文方法优化后的桁架结构见图 1-10,各杆件应力如图所示,由 图可知桁架中的 17 根杆件有 10 根应力相同。通过对比知常规桁架结构不仅外 形普通,且各杆件应力分布不均匀,而优化
27、后的结构外形美观,杆件受力均 匀。 图 1-9 常规桁架结构 图 1-10 优化后桁架 本文也是对广义逆矩阵理论应用于结构形态创构的一个推广,以往的研究 有对机动体系应用广义逆矩阵理论进行形态创构,也有对有位移制约条件的结 构体系应用广义逆矩阵理论进行形态创构,而本文将继续以往的研究,对有应 力制约条件的结构体系进行形态创构。 考虑到实际工程的复杂多样性,本文在进行形态创构时综合考虑了几项影 响最终形态的因素,这些因素有支座条件、应力约束条件、荷载及初始形状。 因而在分析时可以通过改变各影响因素得到满意的结构形式。并且考虑到实际 工程的约束,分三种情况进行桁架结构形态创构,这三种情况分别是:除
28、支座 节点外所有节点均可移动的桁架结构形态创构、上部节点可移动的桁架结构形 态创构、除支座节点外所有下部节点可移动的桁架结构形态创构。而且还可以 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 8 通过程序设定任意点可动的情况,所以本文的方法在工程中应用比较灵活,有 一定的实用意义。 1.4 课题研究内容 本文的主要研究内容是有应力制约条件的结构形态创构,在形态创构过程 中应用广义逆矩阵理论进行求解,具体工作如下: (1)建立应力制约条件下的基本方程,创建有应力制约条件的结构形态 创构问题的数学模型,进而将有应力约束问题转化为无约束问题。 (2)编写程序,运用广义逆矩阵理论及数值解析法得出最终优化形态。 在此
29、过程中考虑了三种情况的形态创构,分别是:除支座节点外所有节点均可 移动的桁架结构形态创构、上部节点可移动的桁架结构形态创构、除支座节点 外所有下部节点可移动的桁架结构形态创构。 (3)在除支座节点外所有节点均可移动的桁架结构形态创构问题中考虑 了影响结构最终形态的四种因素,分别是:对称荷载及非对称荷载作用下的桁 架结构形态创构、不同支座条件下的桁架结构形态创构、不同应力约束条件下 的桁架结构形态创构以及初始形状不同条件下的桁架结构形态创构。 (4)对于空间桁架,建立基本方程,利用广义逆矩阵理论及数值解析法 求解结构,分别考虑除支座节点外的所有节点均可移动条件下的形态创构、上 部节点可移动的桁架
30、结构形态创构、除支座节点外所有下部节点可移动的桁架 结构形态创构。 (5)对所得结构进行力学分析,验证所得结构符合要求,从而验证可以 用广义逆矩阵理论进行有应力制约条件下的结构形态创构。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 9 第2章 理论基础 本文在求解有应力制约条件的桁架结构形态创构问题时要用的基本理论之一 是广义逆矩阵理论,广义逆矩阵理论是一门数学理论,随着人们对这一理论实用 性的不停探索及计算机技术的广泛应用,广义逆矩阵理论已经被应用于控制理 论、系统识别及优化理论等领域,将其应用到结构形态创构是由日本半谷教授提 出的,在此基础上半谷教授还证明了其可用性,之后我国学者对这一方法进行深 入研
31、究,使其使用范围更加广泛。本章将介绍广义逆矩阵的概念、微分及求解方 法,以便后续章节的理解与应用。 2.1 广义逆矩阵 2.1.1 广义逆矩阵的概念 由线性方程组的求解问题产生了广义逆矩阵理论,具体定义如下: 考虑线性方程组Axb,若A非奇异,则xA b ,此时方程组有唯一解。但 很多情况下A为奇异矩阵或者为长方形矩阵,这时用逆矩阵是无法求解的,因而 引出了广义逆矩阵。 设 nm CA ,若存在 mn CB ,满足下列 Penrose 方程: (1) AABA (2) BBAB (3) ABAB H )( (2-1) (4) BABA H )( 中的某几个或全部,则称B为A的 Penrose
32、广义逆矩阵。 满足上述全部四个方程的广义逆矩阵称为A的 Moore-Penrose 逆,记为 A。 在把 n 阶方阵的逆 1 A推广到奇异阵及长方形矩阵定义广义逆矩阵时,自然要遵 循下列原则: (1) 对于奇异矩阵或长方形矩阵的广义逆矩阵存在; (2) 保留 1 A的一些性质; (3) 当A非奇异时,广义逆矩阵应能够还原回通常的逆矩阵。 显然,如果A是非奇异矩阵, 1 AB满足 Penrose 方程。 设 nm CA ,若 mn CB 满足 Penrose 方程中的第 i,j,k 等方程,那么称 B为A的i,j,k逆,记为 ),j,(i,k A ,其全体记为 A i,j,k。其中 哈尔滨工业大
33、学工学硕士学位论文 10 1 )1( AAA 最 为 基 本 ,4 , 3 , 2 , 1 A与 1 A最 为 接 近 , 最 为 重 要 。 记 r AA )2, 1( ,称为自反广义逆, l AA )3 , 1( ,称为最小二乘广义逆, m AA )4, 1( 称 为极小范数广义逆。 2.1.2 广义逆矩阵的微分 在求广义逆矩阵的微分前先定义几个量: (1) AAP (2) AAQ (3) PIAAIG mm (2-2) (4) QIAAIH nn 通过变化得: (1) APA (2) APA (3) AQA (4) AAQ (2-3) (5) QQPP TT 、, (6) QQPP 22
34、 、, 式(2-2)的(3)和(4)满足: dx dP dx dG (2-4) dx dQ dx dH (2-5) 1、 n n AC A 的逆矩阵的微分: 1 11 dAdA AA dxdx (2-6) 2、 m n AC , 则: 111 () ()()() TT TTTT dAdAd AA AAAAAAA dxdxdx (2-7) () ()() T mm d AAdAdA IAAAIAAA dxdxdx (2-8) () ()() T nn d A AdAdA AIA AAIA A dxdxdx (2-9) 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 11 (2-8),(2-9)可以简化为: T
35、A dx dA GA dx dA G dx dP )( (2-10) ()T dQdAdA AHAH dxdxdx (2-11) () T T dAdA GAAG dxdx (2-12) () T T dAdA HHAA dxdx (2-13) AA dx dA HA dx dA AP dx dA T T )( (2-14) () T T dAdAdA QAAAAG dxdxdx (2-15) ()() TT TT dAdAdAdA AAHAAAAG dxdxdxdx (2-16) TT A dx dA GAAH dx dA AA dx dA A)()( (2-17) )( TT AAAA,
36、m IAA (2-18) 由 (2-2) 的 (3) 知 m IGP , 再 由 (2-18) 得 : m IAAP , 0PIG m ,将(2-18)代入(2-16),并由AAIH n 得: 11 )()( TTTT AAA dx dA AAA dx dA 111 )()()( TT T TT T TT n AAAAAA dx dA AAAAI (2-19) 式中: 11111 )()()()()( TTTTTT T TT AAAAAAAAAAAAAA (2-20) 将(2-20)代入(2-19),经过整理得: 111 )()()( T T TTTT T AA dx dA AA dx dA
37、AAAAA dx dA dx dA (2-21) 111 )( )( )()( T T TTT T AA dx AAd AAAAA dx dA (2-22) 2.1.3 一次方程式的解 1一次方程式 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 12 由n个未知量),.,2 , 1(nixi及m个约束条件可以建立一次方程式: mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa . . . 2 1 2 1 21 22221 11211 (2-23) 上式可简写为: Axb (2-24) 其中 m n AC , 1 n CX , 1 m Cb。 2解的存在条件 式(2-24)解存在的充要条件是
38、 bbAA (2-25) 当 nArank)( ,并且 nm 时,存在唯一解;当 nArank)( 时,存在多个 解。 若式(2-24)没有精确解,则取其近似解。当 nArank)( ,且 nm 时,取最 小二乘解作为其近似解。 3解的表达形式 当式(2-24)有多个解时,其解的表达形式为: 0 () n xA bIA A (2-26) 其中bA是方程的特解,AAIn 是方程的通解,为任意向量。 若 sArank)( ,则可以用矩阵AAIn 的一组最大的无关列向量 12 , s h hh 来表示方程的通解,即: 01 122 () nss xIA Ahhh (2-27) 2.2 广义逆矩阵的求
39、解方法 2.2.1 计算广义逆矩阵的基本原则 设 m n AC ,假设 mn,计算广义逆矩阵 A的一个基本原则就是利用满秩分 解 BCA (2-28) 式中 rm CB 且为列满秩矩阵, nr CC 且为行满秩矩阵,rank(A)=r。此时 A可记为: CBA (2-29) 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 13 由于 B 为列满秩矩阵,C 为行满秩矩阵,所以 B 和 C 的广义逆矩阵为: TT BBBB 1 )( , 1 )( TT CCCC (2-30) 式中BBT和 T CC均为 r r 阶对称正定方阵,因而 A可写为: TTTT BBBCCCA 11 )()( (2-31) 此时方程(2
40、-24)的极小范数最小二乘解为: bBBBCCCbAx TTTT11 )()( (2-32) 如果 A 为列满秩矩阵,也即 rank(A)=n,则 A可写为: TT AAAA 1 )( (2-33) 相应的极小范数最小二乘解为: bAAAx TT1 )( (2-34) 在选择矩阵A满秩分解方法时,综合考虑了计算工作量的大小,存储量和存 储方法的大小以及算法的稳定性后,决定采用特异值分解法来求矩阵A的广义逆 矩阵 A。 2.2.2 特异值分解法 特异值分解法分为两个阶段,第一阶段是利用 Householder 变换来把矩阵变 为双对角矩阵形式,第二阶段是利用 Givens 反射变换中的 QR 算
41、法来求解 n 阶双 对角矩阵的奇异值。本文将详细介绍 Householder 变换,Givens 变换和 QR 算 法。 1、Householder 变换 为建立算法先引入一种结构较为简单的对称直角变换,设 U 是 Rm中长度为 1 的向量,令: 1T HIUU (2-35) 显然矩阵 H 对称,若要让其为直交阵,必须满足下式: 11 ()() TTTT HHIUUIUUI (2-36) 由此可得到: 1 2 将上式代入式(2-35)可得对称直交阵: 2 T HIUU (2-37) 上式即为 Householder 矩阵。 接下来做进一步讨论,对于长度相等的给定的两个 m 维向量 X 和 Y,
42、该怎 样选择向量 U 才可以使前面所得到的 Householder 矩阵 H 具有一下性质: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 14 YHX (2-38) 将(2-37)中的矩阵 H 代入式(2-38)可得如下关系: YXUXU T )( (2-39) 即向量 U 应该和向量 X-Y 平行,由于在矩阵 H 表达式中的 U 为单位长,故可 令: YX YX U (2-40) 由上式显而易见,要想得到矩阵 H 需假定 XY,所得 H 如下式: 2 )( )( 2 YX YXYX IH T (2-41) 我们现在来确定向量 U,从而让 H 具有下列性质: 1 1 1 1 p p p l x x x H
43、XY x ,1 (2-42) 由于向量 X 与向量 Y 长度相等,从而可知: 1 22 2 1 () m ppi i xx (2-43) 式中的 p 和 1 为事先给定的非负整数,也即 H 使 X 的后 m-l+1 个分量都化为 0, 保持前面的分量除第 p 个外都不变,故 Y 的第 p 个分量为: p 只需固定绝对值,符号可根据需要确定,在计算 Up 时为了避免减法,从而改善 稳定性,可令: 0 , 1 0 1 p p x x 若 若, (2-44) 对于向量 U 的分量计算如下: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 15 令 : 1 22 2 1 () m pi i sxx 0 i u , 1
44、-p, , 1 i pp uxs (2-45) 0 i u , 1-l , , 1pi m, 1,i , ii xu 令: p su 最后得所需 H 矩阵: 1T HIUU ,若 0 HI,若 0 (2-46) 2、Givens 变换和求特征值的 QR 分解法 同 Householder 变换,Givens 变换也是常用的一种初等直交变换法,Givens 反射变换定义为: COSI E SICO ,COCOS,SISIN. (2-47) 显而易见 E 是 Hermite 酋矩阵,满足 det(E)=-1,需选择 使得: 0 ii i xCOSIy ySICO (2-48) 式中: 22 iij
45、 ykxx 在计算中,如果 0 , max ji xx,则可令: i x CO k , j x SI k (2-49) 其中: kxsignk x x k i j i )(,)()( 22 类似地,Givens 旋转变换可以定义为: 10 01 COSICOSI E SICOSICO (2-50) 显而易见,如果初等 Givens 反射阵和初等 Givens 旋转阵可分别写为: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 16 1 1 CO SI- SI CO 1 1 1 1 CO- SI SI CO 1 1 (2-51) 则由上式知,最多用 n-1 次 Givens 变换去左乘 n 维向量 X 即可将其变成 1 ke 形式。 求矩阵 A 的奇异值问题,事实上就是求AA*的特征值问题。我们采用 QR 分 解法来求解。 令 A1=A,则按照下列准则构造序列 i A iii AQR , * * , 0* iii Q QI R (2-52) 111iiiii ARQQ R ,i=1,2, (2-53) 可得: * 1iiiiii ARQQ AQ (2-54) 上式表明 1i A 与 i A酋相似,因而他们有相同的特征值,设: 12ii PQQQ , 11iii
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