模型的自适应控制教学课件.pdf
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1、料成型过程控制 材 数学模型数学模型 自适应控制自适应控制 内容提要 料成型过程控制 材 5.1 自适应控制的必要性 5.2 渐消记忆递推回归 5.3 指数平滑法 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 不论是用理论方法还是统计方法建立的数学模型, 当用于预报时,总会存在残差。 其原因可归纳为以下三点: (1)模型本身的误差 (2)测量误差 (3)过程状态的变化 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 (1)模型本身的误差 理论模型(如BlandFord压力模型、前滑模型等) 在推导过程中总要接受某些假设与近似,不可能非 常完善,在用于预报时,必然导致误差。而统计模 型(如变形
2、抗力、能耗等模型)是根据实测数据用 回归的方法得到的。既然实测数据是一些遵从正态 分布的随机变量,因此回归方程也必然存在着误差。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 (2)测量误差 用数学模型预报因变量y,必须用仪表对各自变量 进行检测。而检测仪表总存在着系统误差与随机 误差,当然会导致因变量预报值Y的误差。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 (3)过程状态的变化 轧制过程中许多条件在不断地变化着。如随着轧制过程 的进行,轧辊表面的光洁度会因磨损而不断降低,从而 使摩擦系数f升高,而轧辊直径D也在逐渐减小。与此相 反,金属的变形和摩擦所产生的热量会使轧辊直径D逐 渐增
3、大。但是摩擦系数无法直接测量,轧辊直径也不可 能在轧制过程中测量,因此常常作为常数处理。这样, 数学模型就不可能反映轧制过程状态的变化,从而导致 预报的误差。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 多变量多变量 强耦合强耦合 快过程快过程 非线性非线性 连轧过程特点连轧过程特点 轧制过程自动控制的特点 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 在上述引起模型误差的原因中,模型本身的误差,不 论是理论的还是统计的,都已经是确定了的,不作根 本性的变动(如改变理论推导的假设条件,提高检测 仪表的精度并重新收集子样进行回归等)是不可能改 变的。量测误差涉及到检测仪表的精度,数学模型是
4、 无法加以修正的。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 而在有计算机控制的条件下,却有可能通过对过程信息的不 断检测和某种统计算法,在线、实时地修改数学模型中的系 数,使之能自动跟踪过程状态的变化,以正确反映过程各参 数间的关系,从而减小过程状态变化所带来的误差。这种统 计算法就称作数学模型的自适应修正算法。自适应控制是计 算机控制系统中的一项重要功能。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 自适应控制的原理示于图4-1。自适应控制系统由三部 分组成: (1)实际的生产过程 当输入为x,输出为y时,检测仪 表对y值进行检测,得到实测值y*,其中包括测量误差 y。y*作为实
5、测信息输入自适应控制系统。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 图4-1自适应控制框图 x、y一输入与输出量的真值,x、y一量测误差,x*、y*一实 测值,Y一预报值 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 (2)描述生产过程的 数学模型 模型中的自 变量x采用实测值x*, 其中包含量测误差x。 而预报值y 一方面作 为设定计算结果输给生 产过程的控制系统。另 一方面则作为预报信息 输入自适应控制系统。 (3)自适应算法 根据y与y*进行 相应的自适应修正计算,得到模型系 数的修正值,并用于下次预报计算。 自适应算法有很多种,它们都能对数 学模型的系数进行实时、在线的修正,
6、 以跟踪过程的变化,使数学模型适应 改变了的状态。因此,自适应控制本 质上是在线的模型参数估计。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 5.2 几种主要的自适应控制算法 5.2.1增长记忆递推回归 设变量y与x1、x2xm,之间有线性相关关系,由n组实测数据 (yi、x1i;、x2ixmi,i=1n),可以构造m元回归的正规方 程,并解得回归系数Bn Bn=(b1(n) 、b2(n) bm(n)T 则回归方程为 y(n) = b1(n)x1 + b2(n)x2 +bm(n)xm 上标(n)表示因归方程是由n组实测数据建立的。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 把回归方程
7、用于预报或 控制的同时,可以不断地 在线收集新的实测数据。 如在第一次使用该方程时, 可以获得一组新的实测数 据 ( yn+1,x1,n+1、x2, n+2+xm,n+1)。新的数 据中包含着过程状态变化 的信息。 为了使该方程能跟踪系统状态的 变化,可以把这组数据与原有的n 组数据合并,用n+1组数据建立 新的回归方程,其系数为Bn+1。 在第二次使用后,再用n+2组数 据建立新的回归方程,其系数为 Bn+2。这样不断进行下去,回归 系数不断被修正,过程状态也就 得到了反映。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 这种作法的基本思想是对的,但无 法在线使用。因为每次得到新的一 组数
8、据以后,都要进行一次包括全 部原有数据在内的m元回归。这要 花费较长的运算时间,而且数据组 数愈多,花费的时间也就愈长,这 不能满足在线、实时的要求。另外, 原始的和新的数据都要全部保留, 这就要占用愈来愈多的存储容量。 因此,这种方法要修改。 如果不保存实测数据,只 保存根据n组数据得到的 回归系数Bn,并根据第 n+1组数据和Bn推算新的 回归系数Bn+1,由于Bn包 含着历史数据的信息,所 以这种方法就保存了历史 数据的作用,但又不须要 保存历史数据。这就构成 一种递推算法。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 当然,仪表的量测误差也是引起偏差的原因,但这是自适应算法所无法修
9、 正的。 从Pn+1=Pn-PnMTn+1(1+Mn+1PnMTn+1)-1Mn+1Pn与Bn+1=Bn+Pn+1MTn+1 (yn+1- Mn+1Bn)可以看出,Pn包含着从第一组到第n组的全部实测数据的 信息。 在进行递推计算时,这些信息并未丢弃。所以,这种递推算法 具有增长记忆(无限记忆)的性质,故称作增长记忆递推回归。 它反映了自适应控制系统自动跟踪状态变化的原理。但是这种 算法也存在一些缺点。 5.1 自适应控制的必要性 料成型过程控制 材 随着生产过程的进行,数据组数不断增多,而最新一组数据 的影响在这种算法中则不断减小。这表现为增益矩阵PnMTn+1 愈来愈小;最后会越近于零。这
10、时,不论反映当前过程状态的 信息yn+1- Mn+1Bn有多大,回归系数也不再发生任何变化,算 法从而失去自适应的能力。这种现象称作“饱和”。 另外,这种算法对全部实测数据都是“一视同仁”的,结果使 得早已不能反映当前过程状态的陈旧数据仍然起着不应起的作 用。 上述缺点限制了这种方法作为在线自适应控制算法的应用。 内容提要 料成型过程控制 材 5.1 自适应控制的必要性 5.2 渐消记忆递推回归 5.3 指数平滑法 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 (1)加权线性回归 暂不考虑递推算法,只从多元回归的角度,讨论对各 组实测数据配以不同权重的方法。 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过
11、程控制 材 nn n n YY 2 1 设已建立m元回归方程,则n组数据的残差可记为 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 nnn BXY 式中 ,为n组因变量预报值。 残差平方和Q为: n n n i n i iii yyQ 2 1 11 21 22 )()( 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 加权回归是使参与回归的各组数据(或其残差或其残差平方) 带有不同的权重。例如,有y1=3,y2=4 和y3=5 三组数据, 它们分别是6组、2组和8组数据的平均值。 则原有的6+2+8=16组数据的平均值 y 为 y=(36+42+58)/(6+2+8) =3(6/16)+4(2/
12、16)+5(8/16) =30.375+40.125+50.5 在这个例子中,y1的权是1=0.375, y2的权是 2=0.125。y3 的权3=0.5。 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 在加权回归中,n组数据分别带有各自的权重。而且,第i组 数据的权愈大,它的残差i或残差平方i2的权也愈大。 因此, 为了得到加权回归的正规方程,只须在计算残差平方和Q时 考虑各组数据的权重i(i=1n)即可。 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 按照推导多元回归正规方程的方法,对Bn求偏 导并令其为零,可以得到加权回归的正规方程。 但为了避免矩陈求导的运算,可以写成下式 5.2 渐消
13、记忆递推回归 料成型过程控制 材 令 有 1 =0 Q b 同理,令 有 2 =0 m QQ bb 1 122 =1 =-2 n tttmmtt t Qy b xb xb x 1 1221 -=0 tttmmttt y bx b xb xx 1 2 112211 += t ttttttmtmttt xbx xbx xbx y 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 上述构成加权回归的正规方程,若令: 11 112 211 21 122 222 1 12 2 += += += mmy mmy mmmmmmy S bS bS bS S bS bS bS S bS bSbS 2 2112222
14、 2 1122 += += tttttttmtmttt tmtttmtttmtmtmtt x xbxbx xbx y x xbx xbxbx y = ijiitjiiyiiti Sx xSx y; 则正规方程可写成: 5.2 渐消记忆递推回归 料成型过程控制 材 写成矩阵形式,则正规方程系数矩阵S可记为: 而右端项Sy可记为: 最终,有矩阵形式的正规方程: 或: 若 可逆,则回归系数为: T nnn X R X = T nnn S X R X = T ynnn SX R Y = ny SBS = TT nnnnnnn X R XBX R Y -1 = TT nnnnnnn BX R XX R
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