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1、二元函数列的收敛性研究【专题研讨】二元函数列的收敛性研究陈清江,王玉英,李明(西安建筑科技大学理学院数学系,陕西西安710055)摘要:函数列的一致收敛性概念在微分方程求解,控制理论,近似计算与误差估计等方面有重要应用.本文给出二元函数列的定义.引进了二元函数列一致收敛,局部一致收敛与次一致收敛的概念.研究了它们之间的蕴含关系.讨论了二元函数列的性质,给出了相应的例子.给出了二元函数列一致收敛的判别法和极限函数连续,可导及可积的充分条件.关键词:二元函数列;一致收敛;次一致收敛;局部一致收敛;收敛性判别法一元函数列收敛性理论,是数学分析的基本理论之一.用函数列的极限函数表示函数是函数表达的一种
2、重要手段,这是表达非初等函数的一种手段.函数列的收敛性也是讨论函数项级数收敛的重要方法.函数列的一致收敛性通常应用在微分方程求解理论研究,经济控制理论,人口控制理论,函数项级数的收敛性研究,含参变量积分计算,近似计算与误差估计等方面.本文研究二元函数列的收敛性.1.首先,综述了一元函数列相关定义和定理.然后,给出二元函数列的定义.通过类比方法讨论了二元函数列的性质,给出了相应的一些例子.引进了二元函数列一致收敛,局部一致收敛与次一致收敛的概念.讨论了它们之间的蕴含关系.给出了判定二元函数列一致收敛的柯西准则和二元函数列的极限函数连续,可导及可积的充分条件.2.二元函数列的基本概念以及它的几种收
3、敛性的蕴含关系定义2.1设函数列ffn(x,Y)与f(x,Y)定义在区域D上,若对每一固定的p(x,Y)D,对任意给定的s>0,总存在着正整数N(N值与,x,v的值有关),当n>N时,总有IL(x,Y)一f(x,Y)1<,则称(x,Y)l在D上逐点收敛于f(X,Y).例1.设fn(X,Y)=(x+y),n=l,2,3为定义在R上的二元函数列,证明它的收敛域为D=(x,Y)lx+y1j,且有极限函数f(x,y0,x2+y2<证明任给>0,当0<x+y<1时,由于If.(x,Y)一f(x,Y)I_I(x2+y)I,只要取N(8,x,y)=(Ins)/In(
4、X2+y),当n>N(8,x,Y),就有IL(x,Y)一f(x,Y)I<8,当x+y:0和x2+y2-1时,则对任给正整数n,都有1fn(0,0)一01=0<,或者If.(x,y)一f(x,Y)I=11-1I=0<,当x+y>1时,则有(x+v)一+(Fl-),所以这个二元函数列在区域I(x,Y)Ix2+y>1)是发散的.所以命题得证.定义2.2设fn(x,Y)与二次函数f(x,Y)定义在同一区域DcR上,若对V8>0,总存在N>0(N值只与s的值有关),使得当n>N时,对一切p(x,Y)D都有IL(x,y)f(x,y)l<,则称fn
5、(x,y)在DcR上一致收敛于f(x,v).86定义2_3设fn(x,y)与f(x,y)定义在区域DcR上,ffn(x,y)收敛于f(x,Y).若对V>0,VPo(xo,Yo)D,Vm>N都存在8>0及no>m,使得对V(X,Y)U(P.,8),都有I(x,y)一f(x,Y)I<8,则称(fn(x,y)l在DcRz上局部一致收敛于f(x,Y)(1).定义2.4二元函数列(x,Y)与二元函数f(x,Y)定义在区域DcR上,fn(x,Y)收敛于f(X,Y).如果对Ve>0,Vm>N,区域DcR总可以用有限个开区域n,n,n覆盖,并且有相应的一组大于m的自然
6、数n1,i12,11k,使得对V(x,Y)n叵有lfn1x,Y)一f(x,y)l<(i=l,2,k)则称L(x,Y)在D上次一致收敛于f(x,Y)(1).定理1.设二元函数列(x,y)在DcR上连续.且在DcR上limf(x,Y):f(x,Y),则fn(x,Y)在DcR上连II续的充要条件是:fn(X,Y)在DcR上局部一致收敛于f(X,y)(1).定理2.若(x,Y)在DR上一致收敛于二元函数f(x,Y),则L(x,Y)在DcR上次一致收敛于f(x,v),进而fn(x,y)在DcR上局部一致收敛于f(x,Y)3.定理3.如果D是有界闭区域,则(x,Y)在D上次一致收敛于f(x,y)的充
7、要条件是f(x,Y)在D上局部一致收敛于f(x,Y)(4).二元函数列的收敛性不能保证它的极限函数的连续性例2.(x,Y)=(x+y),当x+y<1时,f(x,Y)=0,而当x+y=1时,f(x,Y)=1,在x+v=1处不连续;此函数列收敛域为一1<x+v1.例3.L(X,Y)=1/(1+n(x+v),当(X,Y)(0,O)时,f(x,Y)=0,而0,0)=1,在点(0,0)处不连续,此函数列收敛域为DcR.3.二元函数列一致收敛判别法与一致收敛的二元函数列的性质定理4.函数列fn(X,Y)在区域DcR.上一致收敛的充要条件是:对任给正数e,总存在正数N,使得当n,m>N时,
8、对一切(x,Y)D,都有ff.(x,y)一fm(x,Y)<推论1.函数列fn(X,Y)在区域DcR上一致收敛的充要条件是:【专题研讨】题.均值不等式的应用刘艺(山西师范大学数计学院,山西临汾030012)摘要:本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于次多项式的不等式证明问关键词:均值不等式;n次多项式;基本元素设a1,a2,R+,nN且n>1,则旦二二二二IlV()(当且仅当a.=aIl,时,=成立)利用()式,能解决数学中许多诸如不等式,函数最值等问题.本文重在探究如何应用()式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.为研究问题方便,不妨称满足()式中的a
9、,a,为基本元素,由这些元素构成的和式al+a+a与lirasupIra(x,y)一x,Y)l_0n(x.v)D命题1.设二元函数列f(x,Y)在u.(Pn,6)上一致收敛于f(x,Y),且对每一n,limfn(x,y)=,lJlima和limPp0Pn(x,Y)均存在且相等(4).这个定理指出:在一致收敛的条件下,(x,Y)两个独立变量n和P(x,Y),在分别求极限时其求极限的顺序可以交换,lllimlimfn(x,Y)=limlimfn(x,Y)Pp0n_+np命题2.(连续性)若二元函数列fn(x,Y)在区域DcR上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f(x,Y)在DcR上也连续(4)
10、.命题3(可积性)若二元函数列fn(x,Y)在区域DcR上一致收敛,且每一项都连续,则limfn(x,y)d【=limfn(x,Y)d盯(1)一一D证明:设fo(x,Y)为二元函数列fn(x,Y)在区域D上的极限函数.由命题2,f(x,y)在区域D上连续,从而fn(x,Y)(n=1,2,3)与f(x,Y)在D上都可积.因为在区域D上fn(x,y)jf(x,Y)(n一),故对任意正数,存在N,当n>N时,对一切P(x,Y)D,都有Ifa(x,Y)一f(x,Y)I<再根据定积分的性质,当n>N时有Jfn(x,y)d盯一jf(x,y)dI=Ifn(x,y)一f(x,y)dorIII
11、fn(x,y)一x,Y)Id13SD,D(s.为区域D的面积).即等式(1)成立.命题4(可导性)设fn(x,Y)定义在区域DcR,若P0(Xo,Y)D为fn(x,Y)的收敛点,二元函数列fn(x,Y)的每一项在DcRz上有连续的偏导数,且二元函数列fn(x,Y)在DcRz上一致收敛,则87积式ala2称为基本式.一,所涉及的命题中,明显含有a1+a2+a和aaa等基本式,可选用a,a2.,a为基本元素,直接利用()式证明例1:设al,a2,aR+求证(a1+a2+a)(+)n2a分析:由于题目中明显含有和式(al+a+a)与(1im(x,Y)=limfn(x,y)(1)CtXI,LU证明:设
12、fo(xo,Y.)一A(n一),fn()【0,Yo)一致收敛于g(X,Y),P.x.,Y.)D要证明函数列(x,Y)在区域D上收敛,且其极限函数的偏导数存在且等于g(x,Yo由命题条件,对任一P.x.,Y.)D,总有rXf1(x,Y)=(x.,Y.)+l(t,Y)dt,X当n一时,右边第一项极限为A,第二项极限fgJ】0(t,Y)dt(命题3),则左边极限存在,记为f(x,Y),则有fx(x,y)=lim(x,Y)=f(xo,Y0)+fg(t,Y)dt,其中f(xo,yo)=A,由g(x,Y)的连续性及微积分学的基本定理,得(x,Y)/(Ox)=g(x,Y),故(2)式成立.该定理指出:在一致
13、收敛的条件下,极限运算与求偏导运算的顺序可以交换.参考文献:【11周春梅,陈影娟.二元函数列局部一致收敛与次一致收敛U1.嘉应大学1996(1):1517.【2】杨曼英.关于函数列收敛与一致收敛的一点思考U1.娄底师专2004.【3裴-L:-.数学分析中的典型问题和方法【M】.北京:高等教育出版社2002:7678.【4】华东师范大学数学系.数学分析(第三版)【M】.北京:高等教育出版社,2001.【5Harro.G.Heuser.FunctionalAnalysis.NewYork:WileySons,1982:113131.【6】周民强.实变函数.北京:北京大学出版社,1985:44-78.【7】胡适耕.现代分析引论M】.武汉:华中理工大学出版社,1989:123142.基金项目:受科技部项目(数学类)课题立项项目(2009IM010400101)基金资助
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