三值逻辑函数的基本表式及其 Karnaugh 图分析.doc
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1、精品论文大全三值逻辑函数的基本表式及其 Karnaugh 图分析李裕信 湖南省长沙市邮政局,湖南长沙 (410001) E-mail:摘要:本文穷举了单变量三值逻辑函数的 27 种表示式,设计了它的“正八面形”形式的Karnaugh 图;明确了由它可衍生出三种二值逻辑变量;提出了独立的 m 元三值逻辑函数个 数的计算公式;特别指出二变量三值逻辑函数的数目是 19683 个,它的 Karnaugh 图十分复杂,其主要框架是多个 6 顶点完全图及正八面形按三层嵌套与交叉的图形。关键词:三值逻辑,m 变量的三值逻辑函数,Karnaugh 图,衍生的二值逻辑变量, 中图分类号: O1,110。14文献
2、标识码: A引论:一个三值逻辑变量 A,除了可取“0”和“1”(也可写为 F假和 T真)两个值之外,还可 取一个乏晰值。按照 J. Lukasiewicz 和 E. L. Post 的规定,可用“0、1、2”三个值 分别表示“假、 乏晰、真”(或顺序反过来)三个逻辑状态;还可以用“0”“”“1” 三个值 分别表示“假、乏晰、真”。本文采用最后一种表示码,以使其最接近二值 Bool 代数的习惯1 2 。对“”这个逻辑 值的理解应是“非 0 非 1”和“亦 0 亦 1”它是“0”与“1”之间的过渡逻辑状态值。对于这样的三值 逻辑变量 A 与 B,可和 Bool 代数一样定义“逻辑加”(“或”)A+
3、B(即 AUB),和“逻辑乘”(“与”)AB即 AB ,按下面真值表定义:表 0-1: A+B 的真值表表 0-2: AB 的真值表A+BAB01ABAB010010000101111101但是,对于一个独立的三值逻辑变量,如果不附加任何条件,则不存在 Bool 代数中的“逻辑非”运算。然而,却可以定义一种“转移”运算,它的定义是:三值逻辑变量 A 的“逻 辑转移 量记为A, 而且:0 = 1,1 = , = 0.(当然也可反过来定义:0 = , = 0,. 1 = )。 即有下面真值表:表 0-3“转移”逻辑真值表A01A10三值逻辑变量 A 的函数 P(A)可视为一种变换,:当 A 依次取
4、 0、1 时,P(A)依次取、 ,(、是可取0、.1.的常数 )故 P(A)可用向量(、 )表 示。-9-.根据定义可知(,、)=( 、 、);.(、 ) = ( 、 、);.而.(、 ) =(、)。. .(1).即矢量的“转移”运算可等价地分配到各个分量上去。下面的定理将指出 , 只要定义了“或”“与 关系作完备的描述。”“转”,就可对任意的三值逻辑变量的设 A 为任意三值逻辑变量,由于它是一种类似于 Bool 代数的“格”,下列基本恒等式成立1.30.1、并项律.:.A. 1 = A;A. A = A; A. 0 = 0;A +1 = 1;A + A = A;.A+ 0 = A;A + A
5、 + A = 1;A + A + A = ;.A + A + A = 1;.A + A + A = ;. (2).A + A = ;.A + A = 1;.A + A = 1;.AA + AA + AA = 1;0.2、转移律:A = A.;.A.A.A = 0;.A A = A + A;.A + A = A.A + AA.(3)上述所有的恒等式都可通过“与”“或”“转”的真值表得到验证。1. 单变量三值逻辑函数表示式“总表”分析:13 .定理 1:三值逻辑代数中,变量 A 的函数 P(A)可写成三个基底 . A 、. A 、. A的线性组合表式:P(A)= . . A+ . A + . A
6、(4)其中、是可取0、.1.的常数.。可将三个基底依次记为 P1、P2、P3 。将 P1、 P2、 P3 用P4、P5、P. 6 表示。则所有不恒为0的单变量函数,都可以 通过P1、P2、P3、P4、P5、P6 这六个函数中的 1 - -3个函数迭加得到。证明:由于三值逻辑变量 A 可取 0、 、.1.三个值中的任一个值,那么能够写出的A 的函数 P ( A )的个数应等于从0、 、.1.三个元素中任取三个(允许取相同的)的排列数 3 3 ,即 27 个。在这里,可以穷举这 27 个函数的形式及真值表表 1.1 三值逻辑变量 A 的函数 P(A)的表达式总表AP(A)01函数表示式备注P110
7、0P1 = A .三项之和等于 1P2010P2 . = AP3 .001P = A3P 400P 4 = . A = A . A = P1三项之和等于 P500P5 . = A = A A = P 2P 600P 6 . = A = A A = P 3P 71P7 = .A = A.A = P1 + P2 . + P3 .1P 81P8 . = . A = A. A = P1 + P2 . + P3P 91P9 . = . A = A. A = P1 + P2 . + P3P10011P10 = . A . = A . A . = P2 + P3三项之和等于P 11101P11 = .A =
8、 AA = P1 + P3三项之和等于 1P12110P12 = . A = A A = P1 + P 2P130P13 = A = P 2 . + P 3三项之和等于 P 14 .0P14 . = A = P1 . + P 3P15 .0P15 = A = P1 . + P 2P16 .11P = A . = P + P + P .16 1 2 3三项之和等于 1P1711P17 = A . = P1 + P2 + P3P18 .11 P18 = A. = P1 + P2 + P3P19 .01P19 = A = P2 + P3三项之和等于 1P 20 .10P20 = A = P1 + P
9、3P 21 .10P 21 = A = P1 + P 2P 22 .01 P22 = A.A = P2 + P3三项之和等于 1P 23 .10P23 = A.A = P1 + P2P 24 .01P24 = A.A = P1 + P3P 25 .P25 = = P1 + P2 + P.常量 P 26 .111P26 = 1 = P1 + P2 + P3常量 1P27.000P27 = 0 = 0P1 + 0P2 + 0P常量 0借助于“或”“与”“转”的真值表和恒等式(1)(2)(3),可以列出表 1.1。并由表 1.1 可知,所有 27 种函数都可写成P1、P2、P3 的线性组合,而 P1
10、、P2、P3 就是三个“基底”,即(4)式得证。由于、 中等于 1 的项就是 P1、P2、P3 中的项,而、 中等于 的项就是 P4、P5、P6 中的项。这 27 个函数中的所有不恒为 0 的单变量函数,都可通过P1、 P2、 P3、 P4、 P5、 P6中的1 - -3个函数迭加得到。 .因此,定理的后一断语 理 2全部得证。也成立。故定定理 1 列出了所有 27 个单变量三值逻辑函数表示式的总表,此表囊括了单变量三值逻辑函数所有的单项式和恒等变换关系。从定理 1 还可看出, (、 )就是函数 P(A)的向量表示。任一函数 P(A)除了可用“与”“或”“转”表示之外,还可用向量(、 )表 示
11、。因此三个基底各有三种写法:P1 = A = (100);.P2 = A = (010);.P3 = A = (001);.而其它函数也可写为P4 = P1 = A = ( 00 );.P5 = P2 = A = (0 0);.P6= P3 = A = (00 ).等等。可将 P1、P2、P3、P4、P5、P6 这六个函数项称为三值逻辑函数的“最小项” 。在本文设计的卡诺图(Karnaughmap)中“,最小项”用“点”表示,而二个最小项之和(或)用连接两点 形表示。的线段表示,三个最小项之和(或)则可用连接三点的三角2. 三值逻辑单变量函数的卡诺图的分析由定理 1 可以确定的是,三值逻辑的单
12、变量函数应是 6 个最小项中 1-3 个之和。同时要考虑,6个最小项是P1、P2、P3、P1、P2、P3,而且Pk + Pk = Pk (k = 1、2、3);Pj + Pk + Pk = Pj + Pk ;.Pj + Pk + Pk = Pj + Pk。即三个最小项(点)中若含有Pk 和Pk 则它们之和实际上是二个最小项(点)之和;二个最小项(点)之和6也可能实际上是一个最小项(点)。在6点中取3个的函数共有C 3 = 20个,但要除去实际上是退化为两个点之和的函数,这种需要除去的函数个数共有C1 C1 + C 2 C1 = 12,3 23 2即独立存在的三点函数(三角形面)的个数为C 3
13、(C1 C1 + C 2 C1)= 20 - 12 = 8个;在6点63 23 2中取2个的函数共有C 2 = 15个,需要减去“实际上是退化为一点的函数”的个数C1 = 363个,即独立存在的二点函数(线段)的个数为C 2 C1 = 15 3 = 12;独立存在的一点63函数(最小项)的个数是6。所以反映独立的单变量函数个数及它们之间关系的几何图 形具有8个三角形面、12条棱线、6个顶点,点、线、面总数是8 + 12 + 6 = 26正是不为0的单变量函数的总数。显然,它就是本文设计的三值逻辑单变量函数的卡诺图(Karnaugh map)。从它的点线面数量可知,它是一个正六角八面体。因此,有
14、下面的定理:定理 2:三值逻辑单变量函数的卡诺图(图 2.1)的点、线、面具有如下逻辑与数量关系:2.1 三值逻辑单变量函数的卡诺图有 6 个“点”,12 条“边”,8 个“三角形”。它们代表 26 个不 恒为 0 的函数。它形成一个“正八面体”。每条边就是它两个端点的逻辑函数(最小项)之和(或),每个三角形就是它三个端点的逻辑函数(最小项)之和(或),也等于它三条边或任 意两条边的逻辑函数(最小项)之和(或)。每个顶点的函数项等于汇交于此点的“边”所代 表函数之“积”(与)。2.2、26 个不恒为 0 的函数中有 2 个常量( P26 =1 和 P25 =);18 个衍生的二值逻辑函数(“1
15、、0”,“、0”,“1、”三种类型各 6 个)和 6 个真三值函数( P19-24 )。图 2.1 三值逻辑单变量函数的卡诺图2.3、以 P7、P8、P9为三顶点,以 P16、P17、P18为三边, 可组成满足 2.1的点线关系的三角形。它是“1、”类型的二值逻辑三角形。故共有三个二值逻辑三角形(见图 2.1)图 2.2 三值逻辑变量 A 衍生的(0、1)(0、)(、1)三种类型二值逻辑变量关系图证明:定理的 2.1 实际上是三值逻辑单函数卡诺图的定义规则,其合理性已经在前面证明,它是定理 1 的推论,可从卡诺图验证。2.2 也可从卡诺图和表 1.1 推出。实际上,在卡诺图 中,6 个点与 1
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