2011年高考数学总复习精品课件(苏教版):第五单元第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt
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1、第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1. 角的概念的推广 (1)任意角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角;按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角;一条射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做 零角. (3)角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是 第几象限角. (4)一般地,与角终边相同的角的集合为 |=k360+,kZ.,2. 弧度制 (1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角;用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做 弧度制
2、.在弧度制下1弧度记作1 rad. 2 rad=360, (2)设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成的角为(为任意角,单位为弧度),旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角所对的弧,设弧长为l,则有 ,即l=|r.特别地,若取r=1,则有l=|,若|2,则有圆心角为的扇形的面积为 .,3. 任意角的三角函数定义 设是一个任意角,的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为 那么,5. 三角函数值在各象限的符号,+,+,-,-,sin,-,+,-,+,cos,-,+,+,-,tan,4. 单位圆与三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图).,sin = MP ,cos = OM
3、 ,tan = AT.,分析 由于是第二象限的角,可以利用终边相同的角的表达式表示出的范围,进而求得 , ,2的范围,判定其所在的象限. 解 由是第二象限的角,得 k360+90k360+180(kZ). (1)k180+45 k180+90(kZ). 当k=2n(nZ)时,n360+45 n360+90(nZ),则 是第一象限角;,典例分析,题型一 象限角问题 【例1】若是第二象限的角,则 是第几象限的角? 是第几象限的角? 2是第几象限的角.,当k=2n+1(nZ)时,n360+225 n360+270(nZ),则 是第三象限角. 综合,可知, 是第一或第三象限角. (2) 360+30
4、360+60,kZ. 当k=3n,nZ时,n360+30 n360+60,nZ, 则 是第一象限角; 当k=3n+1,nZ时,n360+150 n360+180,nZ, 则 是第二象限角; 当k=3n+2,nZ时,n360+270 n360+300,nZ,则 是第四象限角. 综合,可知, 是第一、第二或第四象限的角. (3)2k360+18022k360+360,kZ. 故2是第三、第四象限角或是终边落在y轴的非负半轴上.,学后反思 知道所在的象限, 所在的象限也可由象限等分法得到.下面以 为例说明, 如图所示:将每一个象限二等分(若是 则三等分,),从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数
5、字1,2,3,4,1,2,3,4,若是第一象限角,则 在标有数字1的区域内,若是第二象限角,则 在标有数字2的区域内,依次类推,则很容易确定 所在的象限.,举一反三,1. 若=60+k360(kZ),则 为第象限角.,解析: =30+k180(kZ). 当k=2n(nZ)时, 为第一象限的角; 当k=2n+1(nZ)时, 为第三象限的角. 答案: 一或三,题型二 扇形弧长、面积公式应用 【例2】 一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求出这个扇形的最大面积. 分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系,运用函数的性质来解决最值问题. 解 设扇形的半
6、径为r,则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积为 当r=5时,l=10,=2(弧度),S取到最大值,此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角等于2弧度时,这个扇形的面积最大,最大面积是25 cm2.,学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式,将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式,进而求解.除此之外,也可直接设出两个参数,利用均值不等式求最值.,举一反三 2. 已知一扇形的中心角是,所在圆的半径为r. (1)若=60,r=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?,解析: (1)设弧长为l,弓形面积
7、为S弓.,(2)方法一:扇形周长C=2r+l=2r+r, 当且仅当= ,即=2(=-2舍去)时,扇形面积有最大值.,方法二:由已知得2r+l=C, (lC), 当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.,题型三 三角函数的定义 【例3】(14分)已知角的终边经过点3x+4y=0上,求sin、cos、tan的值. 分析 本题求的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),求出r,由定义得出结论.,解 角的终边在直线3x+4y=0上, 在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),2 则x=4t,y=-3t, r= =5|t|,4 当t0时,r=5t, 8
8、当t0时,r=-5t, 12 综上可知,t0时,sin=- ,cos= ,tan=- ; t0时,sin= ,cos=- ,tan=- . 14,学后反思 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关,当终边确定时三角函数值就相应确定.但当终边落在某条直线上时,这时终边实际上有两个,因此对应的函数值有两组要分别求解.,举一反三,3. 已知角的终边在直线y= x上,求sin,tan的值.,解析: 设点P(a, a)(a0)是角终边y=3x上一点,则tan = . 若a0,则是第一象限角,r=2a,sin= 若a0,则是第三象限角,r=-2a,sin=,题型四 求函数的定义域 【例4】求下列函数的定义
9、域. 分析 首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.,解 (1)如图1,(2)如图2,3-4sin2x0,sin2x - sin x,学后反思 求定义域的问题,其实质是解不等式,当不等式中含有三角函数时,可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解.,举一反三 4. 当x取什么值时, 有意义? 解析:由题意知,tan x0,xk(kZ). 又xk+ (kZ),x k(kZ), 当xx|x k,kZ时, 有意义.,【例】已知 则2-的范围为. 错解 由 所以- -0, 即02, 由+,得- - ,易错警示,由+,得- 2-,错解分析 上述解题过程分别求出、的
10、范围,所采用的做法是不等价的,扩大了范围. 正解 设2-=A(+)+B(-)(A,B为待定系数), 则2-=(A+B)+(A-B). 比较两边系数,得 ,解得 所以2-= (+)+ (-).,10. 若点P从(1,0)出发,沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点,求Q点的坐标.,考点演练,11. 已知是第二象限角,试判断sin(cos )cos(sin )的符号.,解析: xQ=1cos =- ,yQ=1sin = . Q点的坐标为,解析: 在第二象限,-1cos 0,0sin 1, cos 作为角在第四象限,sin 作为角在第一象限, sin(cos )0,cos(sin )0, sin(c
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