2011年高考数学总复习精品课件(苏教版):第五单元第七节 正弦定理和余弦定理.ppt
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1、第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,1. 设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是ABC的外接圆半径. (1)正弦定理 三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等,即 (2)正弦定理的三种形式 a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换); (角到边的转换);,abc=sin Asin Bsin C.,2. 三角形常用面积公式 (1) (h表示三角形长为a的边上的高). (2) (3) (r为三角形的内切圆半径).,3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 ,即 a2= b2+c2-2b
2、ccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C.,余弦定理也可以写成如下形式:,4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中,分别令A、B、C为90,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2 , b2=a2+c2 , c2=a2+b2.,典例分析,题型一正弦定理和余弦定理的应用 【例1】 在ABC中,已知 ,B=45,求A、C和c.,分析 已知两边和其中一边的对角解三角形问题,可运用正弦定理来求解,但应注意解的情况.或借助余弦定理,先求出边c后,再求出角C与角A.,解 方法一:B=4590,且ba,此题有两解. 由正弦定理,得 A=60
3、或A=120. (1)当A=60时,C=180-A-B=75,所以 (2)当A=120时,C=180-A-B=15, 所以,故A=60,C=75, 或A=120,C=15,方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B, 即 整理得 ,解得, .,当 时,由可得 ,故A=120; 当 时, 由可得 ,故A=60, 故A=60,C=75, 或A=120,C=15,学后反思 对于解三角形,若已知两边和其中一边的对角,要注意解的个数,往往需要分类讨论.用正弦定理,则对角进行分类讨论;用余弦定理,则对边进行分类讨论.,举一反三 1. 已知在ABC中,a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角
4、及角C的正弦值. 解析: acb,角A为最大角. 由余弦定理,得 ,A=120 sin A= ,再根据正弦定理,得 ,题型二 三角形的面积问题,【例2】(2008辽宁)在ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C= .若ABC的面积等于3,求a,b.,分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程,然后解方程组得a,b.,解 由余弦定理及已知条件得 -ab=4. ABC的面积等于3, absin C= ,ab=4. 联立方程组 -ab=4, ab=4, 解得 a=2, b=2.,学后反思 在解决三角形问题中,面积公式S= absin C= bcsin A= acs
5、in B最常用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.,举一反三,2. (2010江阳模拟)在ABC中,a=4,A=30,b= ,则SABC= .,解析: 根据 -2bccos A得c=4或c=8. S= bcsin A,SABC=8 或4 . 答案: 8 或4,题型三 判断三角形的形状,【例3】在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定ABC的形状.,分析 判定三角形的类型,一般是从题设条件出发,根据正弦定理、余弦定理及面积公式,运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系,从而判定三角形的类型.,解 (
6、a+b+c)(a+b-c)=3ab, =ab, cos C= , 0C, C= . 又A+B+C=, A+B= . 2cos Asin B=sin C, 2cos Asin B=sin(-A-B), 2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, sin(A-B)=0, A=B= , A=B=C= . 三角形ABC为等边三角形.,学后反思 (1)判断三角形的形状,主要有两条思路:一是化角为边,二是化边为角. (2)若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式,则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C .,举一反三 3. 在
7、ABC中,a2tan B=b2tan A,则三角形的形状是_. 解析: 由正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,即sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.A,B(0,),A=B或A+B=90. 答案: 等腰三角形或直角三角形,题型四 正、余弦定理的综合应用 例4. (14分) (2008哈尔滨模拟)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小; (2)若a=3,求bc的最大值; (3)求 的值.,分析 (1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想余弦定理,求出cos A,进而求出A的
8、值. (2)由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化角的功能,从而达到化简求值的目的.,解 (1) A=1202 (2)由a= ,得b2+c2=3-bc,3 b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号), 3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号),4 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为16,(3)由正弦定理,得 ,7,学后反思 (1)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化,在解题时一定要重视., 11 14,举一反三,4.在A
9、BC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.,解析:由已知条件,应用余弦定理得cos A= ,故A=60. 在ABC中,C=180-A-B=120-B. 由已知条件,应用正弦定理得 ,解得cot B=2,从而tan B= .,易错警示,【例】(2009济南高三统考改编)在锐角三角形ABC中,若C=2B,则 的取值范围是 .,错解 由正弦定理易得 =2cos B,由于三角形为锐角三角形,故0C=2B90,得B(0,45). 故 =2cos B(2,2).,错解分析 思维不严密导致错误.显然0C=2B90是三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还
10、应有B+C90.,正解 =2cos B.由锐角三角形ABC,C=2B两个条件可得 B , cos B ,2 2cos B . 即ABAC的取值范围是( , ).,考点演练,10. 在ABC中,sin A+cos A= ,AC=2,AB=3,求ABC的面积.,解析: sin A+cos A= cos(A-45)= , cos(A-45)= . 又0A180, A=105,sin A=sin 105=sin(45+60)= , SABC= ACABsin A= 23 = .,11. (2009北京)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= ,cos A= ,b= . (1)求sin C
11、的值; (2)求ABC的面积.,解析: (1)角A,B,C为ABC的内角,且B= ,cos A= , C= -A,sin A= , sin C=sin( -A)= cos A+ sin A= . (2)由(1)知sin A= ,sin C= . 又B= ,b= , 在ABC中,由正弦定理得a=bsin Asin B= . ABC的面积为 S= .,12. (2009浙江)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos ,ABAC=3. (1)求ABC的面积; (2)若b+c=6,求a的值.,解析: (1)cos , cos A= ,sin A= . 又由ABAC=3,得bcco
12、s A=3,bc=5, SABC= bcsin A=2. (2)由(1)知,bc=5,又b+c=6, b=5,c=1或b=1,c=5. 由余弦定理,得 -2bccos A=20,a=2 .,第四节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 作y=Asin(x+)的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图. 用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取 来求出相应的x,通过列表计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象.有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一:先平移后
13、伸缩 y=sin x 向左(0)或向右(0) y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍,平移|个单位,纵坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,y=Asin(x+).,y=sin(x+).,方法二:先伸缩后平移 y=sin x y=sin x,横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,向左(0)或向右(0),平移 个单位,y=sin(x+).,纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,y=Asin(x+).,2. y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A叫 振幅, 叫 周期, 叫 频率,x+叫 相位,x=0时的相位称为 初相 .上述概念是在A0且0的 前提下的定义,否则当A0或0,
14、则就不能称为初相.,题型一 三角函数y=Asin(x+)的图象 【例1】 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,典例分析,分析 (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决. (2)五点法作图,关键是找出与x相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可.,解 (1) 的振幅A=2,周期T=,初相 (2)令,(3)方法一:把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 的图象,再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),得到 的图象,最后把 上所有点的纵坐标伸
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