2011年高考数学总复习精品课件(苏教版):第五单元第三节 三角函数的图象与性质(Ⅰ).ppt
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1、第三节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 周期函数 (1)周期函数的定义 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个 最小的正数,那么这个 最小的正数 就叫做f(x)的 最小正周期.,2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,y|-1y1,y|-1y1,典例分析,题型一 三角函数的定义域,【例1】 求函数y= +lg(2sinx-1)的定义域.,分析 (1)需注意对数的真数大
2、于零,然后利用正、余弦函数的图象求解.(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零,然后利用函数的图象或三角函数线求解.,解 由题意,得 解得 即 kZ.,学后反思 求三角函数的定义域时,转化为三角不等式组求解,常常借助于三角函数的图象和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可.本题中因为y=sinx,y=cosx的周期都是2k,所以先在区间0,2)内求出交集3,56后,再加上2k.,举一反三,1. 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cos x);(2)y= .,解析: (1)要使函数有意义, 必须使sin(cos x)0. -1cos x1,0
3、cos x1. 利用余弦函数的简图得知定义域为,(2)要使函数有意义,必须使sin x-cos x0. 方法一:利用图象,在同一坐标系中画出0,2上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. 在0,2内,满足sin x=cos x的x为 ,再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为 . 方法二:sin x-cos x= 0, 将 视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kx-42k,解得 .所以定义域为 .,题型二 三角函数的单调性 【例2】求 的单调区间. 分析 先化为 ,再求单调区间. 解 单调递增, 在 上单调递减.,由,学后反思 对于y=Atan(x+)(A、为
4、常数),单调区间利用 解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v=(x),其单调性判定方法是:若y=f(v)和v=(x)同为增(减)函数时,y=f (x) 为增函数;若y=f(v)和v=(x)一增一减时,y=f (x) 为减函数.,举一反三 2. 求函数 的单调区间.,解析: 由已知函数为y= ,欲求函数的 单调递减区间,只需求y= 的单调递增区间.,题型三 三角函数的奇偶性 【例3】若函数f(x)=sin(2x+)是偶函数,则的值为_. 分析 由题意“f(x)=sin(2x+)是偶函数”知,可利用诱导公式将sin(2x+)化成cos 2x的形式,因为cos 2x是偶函数,
5、所以=k+ (kZ).,由 (kZ), 解得 (kZ). 原函数的单调递减区间为 (kZ).,解 因为cos 2x是偶函数,则当f(x)=sin(2x+)=cos 2x时,f(x)为偶函数,此时=k+ (kZ). 学后反思 (1)由此题可得到一个一般性结论,函数f(x)=sin(x+)若为奇函数,则=k;若为偶函数,则=k+2.函数f(x)=cos(x+)若为奇函数,则=k+2; 若为偶函数,则=k,其中k为整数. (2)判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,然后再判断f(-x)与f(x)的关系.,3. 已知函数f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数,求常数的值.,举一
6、反三,解析: 依题意,f(-x)=f(x)恒成立. sin(-x+)+ cos(-x-)=sin(x+)+ cos(x-), 即sin(-x+)-sin(x+)= cos(x-)- cos(-x-). 2cos sin x+2 sin xsin =0对任意x恒成立, cos + sin =0,tan = , =k- (kZ).,题型四 三角函数的最值,【例4】(14分)求y= -cos x+2的最值.,分析 解析式中有 ,cos x,可以考虑转化为关于cos x的二次函数形式.,解 y= -cos x+2=1- -cos x+2 2 =- -cos x+3= .6,-1cos x1,8 且-1
7、- 0,12 1y .14,学后反思 此例题中函数形式的特点是可以转化为关于sin x或cos x的一元二次函数的形式,利用配方法求最值,也可以利用换元法.另外也可以把函数化成y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式,利用正、余弦函数的有界性来求最值也是一种常用方法.,举一反三 4. 求y=sin2x-sin xcos x+2的值域. 解析:,【例】已知sin x+sin y= ,求sin y-cos2x的最大值. 错解 由已知得sin y= -sin x, 故sin y-cos2x=sin2x-sin x- (-1sin x1). 令t=sin x,故有f(t)=t2-t- (-1t
8、1), 配方得,当t= -1时,原式取得最大值,易错警示,错解分析 上述错解极为普遍,虽然考生注意到了换元前后的等价性(但有考生易忽视已知中约束条件也是解答过程中易错的一个方面),却忽视了已知等式sin x+sin y= 中两个变量是相互约束的,即由于-1sin y1,故sin x必需满足 -1 -sin x1这个约束条件.在遇到上述情况时,考生一定要特别警惕,注意两个变元间的相互约束条件. 正解 由已知条件,有sin y= -sin x且sin y= sin x -1,1 (结合sin y,sin x -1,1 ),得 sin x1,而 sin y-cos2x= -sin x-cos2x=s
9、in2x-sin x , 令t=sin x( t1),则原式=t2-t ( t1),根据二次函数配方得:当t= ,即sin x= 时,原式取得最大值,考点演练,10. (2009全国改编) 如果函数y=3cos(2x+)的图象关于 中心对称,求|的最小值. 解析:由题意得 则 取k=0,得|的最小值为,11. 已知函数f(x)=asin xcos x+b ,且f(0)=2,f( )=3. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的最大值、最小值及取得最大值、最小值时的x值.,解析:(1)由f(0)=2,得b=2,由f( )=3,得 =3,即a= . f(x)= sin xcos
10、 x+2 = sin 2x+cos 2x+1 =2sin +1,T= =. (2)当2x+ =2k+ ,即x=k+ ,kZ时,f(x)max=3; 当2x+ =2k- ,即x=k- ,kZ时,f(x)min=-1.,12. (2009山东)设函数f(x)= (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)设A,B,C为ABC的三个内角,若cos B= , ,且C为锐角,求sin A.,解析: (1)f(x)=cos 2xcos -sin 2xsin + = . 所以,当2x=- +2k,即x=- +k(kZ)时, f(x)取得最大值,f(x)最大值= , f(x)的最小正周期T= =, 故函
11、数f(x)的最大值为 ,最小正周期为.,(2)由 ,即 ,解得sin C= . 又因为C为锐角,所以C= . 由cos B= ,求得sin B= . 因此,sin A=sin-(B+C)=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C= .,第四节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 作y=Asin(x+)的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图. 用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取 来求出相应的x,通过列表计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象.有
12、两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一:先平移后伸缩 y=sin x 向左(0)或向右(0) y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍,平移|个单位,纵坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,y=Asin(x+).,y=sin(x+).,方法二:先伸缩后平移 y=sin x y=sin x,横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,向左(0)或向右(0),平移 个单位,y=sin(x+).,纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,y=Asin(x+).,2. y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A叫 振幅, 叫 周期, 叫 频率,x+叫 相位,x=0时的相位
13、称为 初相 .上述概念是在A0且0的 前提下的定义,否则当A0或0,则就不能称为初相.,题型一 三角函数y=Asin(x+)的图象 【例1】 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,典例分析,分析 (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决. (2)五点法作图,关键是找出与x相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可.,解 (1) 的振幅A=2,周期T=,初相 (2)令,(3)方法一:把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 的图象,再把 的图象上的点的横坐标缩短
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