2011年高考数学总复习精品课件(苏教版):第六单元第一节 平面向量的概念及其线性运算.ppt
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1、第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1. 向量的有关概念及表示法,大小,方向,长度,模,0,0,1,e,相同,相反,平行,ab,平行,相等,相同,a=b,相等,相反,-a,0,2. 向量的线性运算,b+a,a+(b+c).,三角形,平行四边,三角形,a+(-b),3. 向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .,b=a (a0),相同,相反,0,a+a,a+b,典例分析,题型一 平面向量的有关概念 【例1】给出下列五个命题 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|=|b|,则a=b; 在ABCD中,一定有 ; 若m=n,n=p,则m=p; 若
2、ab,bc,则ac. 其中正确的序号是_.,分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解 决本题的关键.,解 两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故不正确.正确. 学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面: 向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点. (2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况: 零向量与任何向量共线;单位向量的长度为1,方向不固定.,举一反三,1.已知下列
3、命题: 如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b 中的一个方向相同; 在ABC中,必有 若 ,则A,B,C为一个三角形的三个顶点; 若a与b均为非零向量,则 一定相等。 其中真命题的序号为 。,解析: 错误,a+b=0时,就不满足结论。正确, . 错误,A,B,C三点还 可以共线。错误,只有a与b同向时才相等。,答案: ,分析 在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即 用 来分别表示待求的向量.,题型二 平面向量的线性运算,证明 AD=AC+CD,AD=AB+BD, 2AD=AC+AB+CD+BD, 即2AD=AC+AB. 同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB
4、. 所以2(AD+BE+CF) =AC+AB+BA+BC+CA+CB=0. 故AD+BE+CF=0. 学后反思: 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意: (1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.,(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有 (其中O为任一点).,举一反三,2.已知ABCD, ,若 用a,表示,解析: 如图,题型三 向量的共线问题 【例3】 设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线. 分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,
5、得到BD=AB(或AD=AB等),BDAB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线. 证明 BC=2a+8b,CB=-2a-8b, BD=CD-CB=3a-3b+2a+8b=5(a+b), BD=5AB.,由向量共线定理得BDAB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.,学后反思 (1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
6、解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.,举一反三 3. 设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值. 解析: BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.若A、B、D三点共线,则ABBD;从而存在唯一实数,使AB=BD,即k的值为-8时,A、B、D三点共线.,即2e1+ke2=(e1-4e2),整理得(2-)e1=-(k+4)e2, e1、e2不共线,题型四 向量知识的综合应用 【例4】(14分) 已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2, 其中e
7、1,e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数,使向量d=a+b与c共线? 分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.,解 d=a+b=(2e1-3e2)+(2e1+3e2) =(2+2)e1+(3-3)e2 4 要使cd,则应存在实数k,使d=kc, 6 即(2+2)e1+(3-3)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2, 8 e1,e2不共线, 故存在这样的实数,只要满足=-2,就能使d与c共线14,学后反思 设 不共线,若 则有 ,本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.,举一反三 4. 已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0
8、,若实数满足AB+AC=AP,求的值. 解析: AB+AC=AP, PB-PA+PC-PA=AP, 即PB+PC-2PA=AP. 又PA+PB+PC=0, PB+PC=-PA, -3PA=AP=-PA, =3.,考点演练,10.已知直线x=x=a与圆 交与A,B两点,且 , 其中O为坐标原点,求实数a的值。,解析: 如图所示,以OA.OB为边作OABC,则由 得: OABC为矩形。 由图像得,直线y=-x+a在轴上的截距为2. a=2,11.在四边形ABCD中,E,F分别是AD和BC的中点,求证:,方法二:取BD的中点O,则,证明: 方法一:如图,连接EC,EB,则 而,12.(2009江苏模
9、拟)已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6), (1)求证:当时,不论为何实数,A,B,M三点共线; (2)若 ,求当 且ABM的面积为12时a的值,解析: (1) 当 时, A,M,B三点共线。,(2)当 时, 故 点M 到直线AB:x-y+2=0的距离为 解得a=2 ,故所求a的值为2.,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比,通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等
10、比数列an的通项公式,其中a1为首项,q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ,那么G叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= aman. (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn= a1+a1q+a1qn-1,即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则S
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