2011年高考数学总复习精品课件(苏教版):第十四单元第三节 离散型随机变量的均值与方差.ppt
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1、第十四单元 随机变量及其分布,知识体系,第三节 离散型随机变量的均值与方差,基础梳理,均值,数学期望,1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称 为随机变量X的 或 ,记为E(X)或,即E(X)= ,其中 是随机变量X的可能取值, 是概率, 0,i=1,2,n, 它反映了离散型随机变量取值的 .,平均水平,(2)方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示, 则 (=E(X)描述了 (i=1,2,n)相对于均值的偏离程度,故 (其中 0,i=1,2,n, )刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度,我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为 或 ,也可
2、用公式V(X)= 计算,其算术平方根称为X的标准差,即 . 2. 均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b; (2)V(aX+b)=a2V(X)(a、b为实数).,V(X),=V(X),3. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)= ,V(X)= . (2)若XB(n,p),则E(X)= ,V(X)= .,典例分析,题型一 求随机变量的均值 【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点,原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学;乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学,后由于某种原因,甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数的分布列及期望.
3、,p,p(1-p),np,np(1-p),分析 所有可能的取值为1,2,3.,解 设甲景点内A班同学数为,则 P(=1)= ,P(=2)= P(=3)= 故的分布列为 E()=,学后反思 求离散型随机变量X的期望的步骤为: (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)计算出X取每一个值时的概率; (3)写出X的分布列; (4)利用公式E(X)= 求出期望.,举一反三 1. (2009安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定了D受A、B和C感
4、染的概率都是 .在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).,解析: 随机变量X的分布列是 X的均值E(X)=,题型二 求随机变量的方差 【例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生人数是X. (1)求随机变量X的概率分布列; (2)求随机变量X的期望与方差.,分析 (1)随机变量X的意义是对号入座的学生个数,所有取值为0,1,3.若有两人对号入座,则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列; (2)直接利用数学期望与方差公式求解.,
5、解 (1)P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=3)= , 故X的概率分布列为 (2)E(X)= V(X)=,学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤: (1)写出X的所有取值; (2)计算P(X=xi); (3)写出分布列,并求出期望E(X); (4)由方差的定义求出V(X). 说明: 若XB(n,p),则E(X)=np,V(X)=np(1-p);若XH(n,M,N),则E(X)= ,V(X)=,举一反三 2. 设在15个同类型的零件中有2个次品,每次任取1个,共取3次,并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数. (1)求X的分布列; (2)求X的均值E(X)和方差V(X).
6、,解析: (1)P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差V(X)分别为 E(X)= ; V(X)=,题型三 期望与方差性质的应用 【例3】有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设项目,为了对重点建设项目负责,政府到两个建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下: 其中X和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两建材厂的材料哪一种稳定性较好.,分析 首先看两建材厂的材料的抗拉强度的均值,然后再比较它们的方差.,解 E(X)=1100.1+1200.2+12
7、50.4+1300.1+1350.2=125. E()=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125. V(X)= V()= 由于E(X)=E(),而V(X)V(),故甲建材厂的材料稳定性较好.,学后反思 离散型随机变量的均值和方差都是随机变量的特征数,均值反映了随机变量的平均取值,方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.在进行决策时,一般先根据均值的大小来决定,当均值相同或相差不大时,再去利用方差来决策.,举一反三 3. 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数. (1)求方差V(X)的
8、最大值; (2)求 的最大值.,解析: (1)随机变量X的所有可能取值为0、1, 并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 从而E(X)=0(1-p)+1p=p. V(X)= 当p= 时,V(X)取得最大值14. (2) 0p1,当且仅当 ,即 时取等号, 故当 时, 取得最大值 .,题型四 期望与方差的综合应用 【例4】(14分)(2008广东)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为. (1)求的分布列
9、; (2)求1件产品的平均利润(即的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?,分析 求的分布列时,要先求取各值时的概率.,解 (1)的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)= =0.63,2 P(=2)= =0.25,3 P(=1)= =0.1,4 P(=-2)= 5 故的分布列为 7,(2)E()=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34 9 (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.
10、01-x)+1x+(-2)0.01 =4.76-x(0x0.29).12 依题意,E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313 所以三等品率最多为3%14,学后反思 本题主要考查学生运用知识,迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题,利用已学的知识进行处理,这也是今后高考的一大热点.,举一反三 4. (2009陕西)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示,据统计,随机变量的概率分布如下: (1)求a的值和的数学期望; (2)假设一月份与二月份被消费者设诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.,解析: (1)由概率分布的性质有0.1
11、+0.3+2a+a=1, 解得a=0.2.,的概率分布为 E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7. (2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”;事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”. 则由事件的独立性得 P( )= P(=2)P(=0)=20.40.1=0.08, P( )=P(=1) =0.3 =0.09, P(A)=P( )+P( )=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.,易错警示,【例】盒子里有大小相同的10个球,其中标号为1的有3个球,标号为2的有
12、4个球,标号为5的有3个球.第1次从盒子中任取1个球,放回后第2次再任取1个球(假设取到的每个球的可能性都相同).记第1次与第2次取得球的标号之和为X,求随机变量X的分布列.,错解 由题意可知X可取3,6,7; P(X=3)=C120.30.4=0.24; P(X=6)=C120.30.3=0.18; P(X=7)=C120.40.3=0.24. 故随机变量X的分布列为,错解分析 错解忽视两次取到的球的标号相同,因而随机变量X的取值为2,3,4,6,7,10.,正解 由题意可知,随机变量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09, P(X=3)=C120.30.
13、4=0.24, P(X=4)=0.40.4=0.16, P(X=6)=C120.30.3=0.18, P(X=7)=C120.40.3=0.24, P(X=10)=0.30.3=0.09. 故随机变量X的分布列为,考点演练,10. 刚上大学的甲进校时购买了一部新手机,他把手机号码抄给同学乙,第二天,同学乙在准备给他打电话时,发现号码的最后一个数字被撕掉了,于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字,且用过了的数字不再重复,求拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望.,解析: 由于第i次拨对甲的手机号码的概率均为 , 拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望 E(3)=,11. (2009
14、天津模拟)某箱中有红球和白球若干,有放回地抽取两次球,每次随机抽取1个球,假设事件A“取出的2个球中至多有1个是白球”的概率P(A)=0.91. (1)求从该箱中任取1个球是白球的概率p; (2)若该箱中共有100个球,从中任意抽取2个球,表示取出的2个球中红球的个数,求的分布列和期望.,解析: (1)记 表示事件“取出的2个球中无白球”, 表示事件“取出的2个球中恰有1个是白球”,则 、 互斥,且 , 故P(A)=P( )=P( )+P( ) = 于是0.91= ,解得 , (舍),所以p=0.3.,(2)的可能取值为0,1,2,若该箱共有100个球,由(1)知白球有1000.3=30个,红
15、球有70个. 故P(=0)= , P(=1)= , P(=2)= . 所以的分布列为 E()=,12. (2009江西)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令表示该公司的资助总额. (1)写出的分布列; (2)求数学期望E().,解析: (1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30. P(=0)= , P(=5)= , P(=10)= , P(=15)= , P(=2
16、0)= , P(=25)= ,P(30)= .,(2) E()=,第五节 古典概型,基础梳理,1. 基本事件 在一次试验中可能出现的每一个 称为基本事件.,2. 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型. (1)所有的基本事件 ; (2)每个基本事件的发生都是 的.,3. 古典概型的概率公式 P(A)= .,基本结果,只有有限个,等可能,典例分析,题型一 有关古典概型概念 【例1】判断下列命题正确与否. (1)先后抛掷两枚均匀硬币,有人说一共出现“两枚正面”,“两枚反面”,“一枚正面,一枚反面”三种结果,因此出现“一枚正面,一枚反面”的概率是 ; (2)射击运动员向一靶心进行射击.试验
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