CATIA有关bezier等类型的曲线、曲面理论书.pdf
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1、 Chapter1 內插法與Lagrange多項式 n i i P 0= 為 n+1 個數據點,其座標法() n i ii yx 0 , = ,今欲求一最高為 n 之 內插多項式 n Q 使得 ()nixQy ini , 1 , 0,?= 亦即( )xQy n =圖形通過 n i Pi 0=。 若 ( ) = = n k k kn xaxQ 0 則 ()niyxQ iin , 1 , 0,?= 即為 niyxa i n k k k , 1 , 0, 0 ?= = 展開為 () =+ =+ =+ n n nnn n n yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa 1 2 110 111
2、 2 11110 001 2 01010 1 . ? ? ? ? (1.1)為一線性聯立方程式,可進一步改寫成 () 2 . 1 1 1 1 0 1 0 2 1 2 11 0 2 00 nn n nnn n n y y y a a a xxx xxx xxx ? ? ? ? ? 稱為 Xa=y (1.2)可由高斯消去法解出 n i i a 0= 如此可求出( )xQn ,數學尚可証明0)(Xdel,亦即(1.2)有一解,但 是,數值方法與分析上,)(Xdel雖不為 0 但當n越大時)(Xdel越靠 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P n P 近 0,亦即 X 為 ill-condition
3、ed,此時以高斯消去法解(1.2)時,易產生 大的誤差,當n越大,)(Xdel越靠近 0 的原因如下: 若ni n i xi, 1 , 0,?= 將 X 每行之值標出來 故( ) = = n k k kn xaxQ 0 此一表達內插多項式方式不佳,一般用來表達內插 函數多為下列型式: ( )( ) = = n k k k xqyxf 0 使得 ()()nixqyxf n k i k ki , 1 , 0, 0 ?= = 上式有很多種解,吾人只考慮最方便之一種 () = = ki ki xq kiik ,0 ,1 , 合乎以上條件之( ) n k k xq 0= 有無窮多組解,吾人試造出數組(
4、) n k k xq 0= 以內插多項式( )xQn 為例,吾人希望 ( )( )() 3 . 0 , = = n k knkn xqyxQ ( )xqy k = 其中( )xq kn, 為次數最高為n次之多項式,且 () = = ki ki xq kiiki ,0 ,1 , 由觀察法 ( ) ()()()()() ()()()()() nkkkkkkk nkk kn xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xq = + + ? ? 1110 1110 , () () = = = n ki i ik n ki i i xx xx 0 0 Example: 求內插多項式( )xQ 3 ( )
5、( ) = = 3 0 ,33 k kk xLyxQ ( )( )( )( )xLyxLyxLyxLy 3 ,332,321 , 310,30 += 其中 ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() 231303 210 3, 3 321202 310 2, 3 312101 320 1 , 3 302010 321 0, 3 xxxxxx xxxxxx L xxxxxx xxxxxx L xxxxxx xxxxxx L xxxxxx xxxxxx L = = = = 但 Lagrange 內插多項式計算效率太差,故實際時亦不
6、用, 只用於推導公式。 1 P 2 P 3 P 0 P 回本頁 下一章 Chapter2 Hermit Polynomial 已知() n iiii yxP 0 , = 與n i Pi dx dy 0= ,吾人欲求出一多項式( )xQ使得, () , 1 , 0 ,niyxQ ii ?= (2.1) ni dx dy dx dQ i i P x , 1 , 0 , ?= (2.2) 由(2.1)與(2.2)共有 2n+2 個條件可解 2n+3 個未知係數,故可以找到一次數 最高為 2n+1 次之多項式 12 +n Q滿足(2.1)與(2.2) 。為了方便起見,將(2.1)與 (2.2)重寫為:
7、 ()niyxQ iin , 1 , 0 , 12 ?= + (2.3) ()niyxQ iin , 1 , 0 , 12 ?= + (2.4) 仿照 chap1 Lagrange 多項式之型式,吾人可令 ( )( )( )xHyxHyxQ n n i in n i in12 0 12 0 12 + = + = + +=, (2.5) 在進一步設法求出 in H , 12 + 與 in H , 12 + ,將(2.5)代入(2.3) ()( ) jjin n i ijin n i i yxHyxHy=+ + = + = ,12 0 ,12 0 , j=0,1,n 滿足上式中, in H , 1
8、2 + 與 in H , 12 + 最方便的情形為 ( ), 0 1 , 12 = = + ji ji xH ijjin (2.6) ( )0 , 12 = +jin xH (2.7) 將(2.5)代入(24) ( )( )( ) ( )( )njyxHyxHy xHyxHyxQ jjn n i ijin n i i in n i i n i inin , 1 , 0 , 12 0 , 12 0 , 12 00 , 1212 ?=+ += + = + = + = + 滿足上式中 in H , 12 + 與 in H , 12 + 最方便的情形為, 1 P 2 P 3 P 4 P n P ( )
9、njxH jin ., 1 , 0 , 0 , 12 ?= + (2.8) ( ) = = + ji ji xH ijjin 0 1 , 12 (2.9) 根據(2.62.9)找出( )xH in, 12 + 與( )xH in, 12 + 。由於(2.62.9)與之前 Lagrang多項 式( )xL in, 所滿足的( ) = = ji ji xL ijjin 0 1 , 有類似之處,故吾人假設 ( )()( )xLbaxxH inin 2 , 12 += + (2.10) ( )()( )xLdcxxH inin 2 , 12 += + (2.11) 將(2.10)與(2.11)代入(2
10、.62.7) ()()njxLbax ijjinj , 1 , 0 , 2 , ?=+ (2.12) ()( )njxLdcx jinj , 1 , 0 , 0 2 , ?=+ (2.13) 由(2.12), 1=+ baxi 由(2.13), 0=+ dcxi 將(2.10)與(2.11)代入(2.82.9) ( )( )()( )( )xLxLbaxxaLxH inininin, 2 , 12 2+= + ( )( )()( )( )xLxLdcxxcLxH inininin, 2 , 12 2 += + ( )( )()( )( )njxLxLbaxxaLxH jinjinjjjnjin
11、 , 1 , 0 , 02 , 2 , 12 ?=+= + (2.16) ( )( )()()()njxLxLdcxxcLxH ijjinjinjjinjin , 1 , 0 , 2 , 2 , 12 ?=+= + (2.17) 由(2.16) ,()()02 , =+ iini xLbaxa (2.18) 由(2.17) ,()()12 , =+ iini xLdcxc (2.19) 由(2.14) , (2.15) , (2.18) , (2.19)4 個代數線性方程式可解 4 個未知數dcba, 其結果為 ( )()()( )xLxLxxxH iniiniin 2 , 12 21= +
12、(2.20) ( )()( )xLxxxH iniin 2 , 12 = + (2.21) 1=+ baxi (214) ()()02 , =+ iini xLbaxa (2.18) (2.20)與(2.21)在實際計算上,計算量仍太大,計算時不用(2.20)與(2.21) 與 Lagrange 多項式一樣,實際計算皆利用 divided difference 來做。 上一章 回本頁 下一章 Chapter 3 參數曲線(Parametric curve) 有很多的曲線無法以單純的 y=f(x) 或 x=g(y) 來表示 例如上圖曲線至少需以三個 y對 x之函數來表示,十分不便。 若採用參數曲
13、線,亦即 x=f(u), y=g(u), aub, 則表達上相對容易許多!例如平面 上圓的方程式為 x2+y2=r2,其參數式為 x=r cos(u), y=r sin(u), 0u2. 又在電腦 繪圖中,曲線皆以參數式表達. P(u)= (x(u),y(u), ou1; x(u),y(u)通常為 u的多項式! 回顧之前的 LaGrange 內插與 Hermit 內插,首先: 1. Lagrange 內插: 內插Pii=0n,首先引進i=i/n, i=0,1,n 再分別求出通過(xi,i)i=0n和(yi,i)i=0n的 Lagrange 多項式 x(u) = i=0n xiLn,i(u),
14、y(u) = i=0n yiLn,i(u) 或寫成 P(u) = i=0n PiLn,i(u) 同理 2. Hermit 參數曲線亦可以求出,但在微分的處理上需稍加注意. 以下圖 Hermit 參數曲線作為例子說明: ( )xfy 1 = ( )xfy 2 = ( )xfy 3 = 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P n P 6 P 0 P 1 P 已知 Pii=0 , x,0 與x,1 , 則其 Hermit 多項式最多為三次, 今欲以參數是表示: x = d/d = d/d/d/d = u/u 所以x,i =u,i/u,i 則題目變成已知Pii=0 ,Pu,ii=0 , 求其 Herm
15、it 參數曲線, 吾人將不用第二章的 Hemite 多項公式,而另行推導 P(u) = au3+bu2+cu+d, -(3,1) 亦即 (u) = axu3+bxu2+cxu+dx, -(3,2) (u) = ayu3+byu2+cyu+dy, -(3,3) 又(3,2), (3,3)中有八個未知數待求,可由 P(0) = d -(3,4) P(1) = a+b+c+d-(3,5) Pu(0) = c-(3,6) Pu(1) = 3a+2b+c-(3,7) 求出, 其解為 a = 2 P(0) -2 P(1) + Pu(0) + Pu(1) -(3,8) b = -3P(0) +3 P(1)
16、-2 Pu(0) - Pu(1) -(3,9) c = Pu(0) -(3,10) d = P(0) -(3,11) 將(3,8)(3,11)代入(3,1)整理後可得 P(u) = (2u3-3u2+1)P(0) + (-2u3+3u2)P(1) + (u3-2u2+u)Pu(0) + (u3-u2)Pu(1) = F1P(0) + F2P(1) + F3Pu(0) + F4Pu(1) -(3,12) 與第二章的 Hermit 多項式 H3,i和 ?3,i相通, 但(3,12)比傳統的 Hermit polynomial (2,20), (2,21)較為節省運算量, (ps.當然若把 u2視為
17、 u*u , u3視為 u2 * u 來運算會比較省時) 通常在電腦繪圖(CG)或電腦輔助幾何(CAGD)上,皆好用(3,12)的形式表示, 其中 P(0), P(1), Pu(0) 和 Pu(1) 稱為控制點, 而 F1, F2, F3 和 F4 稱為基底函數(basis function)或摻和函數(blending function) 而(3,12)可寫成 P(u) = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t 矩陣相成的型態,簡寫成 P(u) = Ft B -(3,13) 其中 F = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u)
18、t ; B = P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t 對任何的 B, F 都不變. 習慣上, (3,1)稱為代數形式,可改寫為 P(u) = au3+bu2+cu+d = u3 u2 u 1 a b c d t =Ut A -(3,14) 其中 U=u3 u2 u 1 t ; A=a b c d t (3,13)稱為 P(u)之幾和形式, (3,14)稱為 P(u)之代數形式, P(u) = Ft B = Ut A 可進一步合併 P(u) = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t = u3 u2 u 1 2 -3 0 1 同理
19、 F2 F3 F4 亦可以此種形式表示, 故 Ft = F1 F2 F3 F4 =u3 u2 u 1 MF = Ut MF -(3,15) 其中 MF 稱為 Hermit Basis transform matrix. 將 (3,15) 代回 (3,13) ? P(u) = Ut MF B -(3,16) 而 Ft = Ut MF , A= MF B, 將(3,16)展開來為 P(u) = u3 u2 u 1 MF P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t , 0u1, 結論: 在電腦繪圖(CG)或電腦輔助幾何(CAGD)上,亦常以 (3,16)表示, 對不同的基底函數有不同的 MF 而
20、已 上一章 回本頁 下一章 Chapter 4 Cubic spline 有些中文書翻譯成 3 次仿樣曲線。Cubic spline 用途肇因於 Lagrange 或 Hermite 內插曲線,當內插點數一多時,則內插多項式次數易隨著 增高。高次多項式有容易桭動之現象,曲線較不平滑,以下圖說明: 紅色曲線為 7 次之內插 Lagrange 多項式曲線,振動劇烈,不符 CG 與 CAGD 所需,吾人希望是如圖 4.1 中黃色平滑內插曲線,而小時候 玩的連連看遊戲及如圖 4.1 中黑色曲線。其平滑度低,以可微分條件 言之屬於 C;吾人欲提高其平滑度,亦即選擇次數較高之 p i e c e w i
21、s e p o l y n o m i a l 來內插之,若在內差點接得好的話,以 n 次 p i e c e w i s e p o l y n o m i a l 而言 平滑度最高可屬於。在 CG 與 CA G D 上,最常用的為 n = 3此一 p i e c e w i s e 3次多項式,吾人稱為 Cu b i c s p l i n e 。 圖 4. 2中,欲造一 Cu b i c s p l i n e 內插 , 需 n 段 3次多項式,每個 3次多項式有4 個未知係數待決,故共有 4n 個未知係數,吾人虛列出 4n 個方程式求之。 加上在x0及xn額外的條件 (i ) c l
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