2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案:2.1.1 指数与指数幂的运算 Word版含解析.pdf
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1、2.1.1 指数与指数幂的运算 课标要点 课标要点 学考要 求 高考要 求 1.根式的意义aa 2.分数指数幂的意义bb 3.无理数指数幂的意义aa 4.有理数指数幂的运算性质cc 知识导图 学法指导 1.弄清()n与的区别,掌握 n 次根式的运算 n a n an 2能够利用 a 进行根式与分数指数幂的互化 m n n am 3通过对根指数 n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法 4利用整体代换的思想求代数式的值. 知识点一 n 次方根及根式的概念 1a 的 n 次方根的定义 如果 xna,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n1,且 nN*. 根式的概念中要求 n1,且 nN*. 2a
2、 的 n 次方根的表示 (1)当 n 是奇数时,a 的 n 次方根表示为,aR. n a (2)当 n 是偶数时, a 的 n 次方根表示为, 其中表示 a 的负 n a n a 的 n 次方根,a0,) 3根式 式子叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数, n a 知识点二 根式的性质 (1)()na(nR,且 n1); n a (2)Error! n an ()n中当 n 为奇数时,aR R;n为偶数时,a0,而中aR R. n a n an 知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1分数指数幂的意义 正分数指数 幂 规定:a (a0,m,nN*,且 n1) m n
3、n am 负分数指数 幂 规定:a (a0,m,nN*,且 n1) m n 1 am n 1 n am 分 数 指 数 幂 性质0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)arasars; (2)(ar)sars; (3)(ab)rarbr. 3无理数指数幂 无理数指数幂 a(a0, 是无理数)是一个无理数有理数指数幂 的运算性质对于无理数指数幂同样适用 小试身手小试身手 1判断(正确的打“” ,错误的打“”) (1)任意实数的奇次方根只有一个( ) (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数( ) (3) 4.( ) 42 (4)分数指数幂 a可以理解
4、为 个 a 相乘( ) m n m n (5)0 的任何指数幂都等于 0.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) 2b43(b0),则 b 等于( ) A34 B3 C43 D35 1 4 解析:因为 b43(b0),b3 . 4 3 1 4 答案:B 3下列各式正确的是( ) A.3 B.a 32 4 a4 C()32 D.2 3 2 3 23 解析 : 由于3,|a|,2,故选项 A,B,D 32 4 a4 3 23 错误,故选 C. 答案:C 4. 的值是_ ( 81 625) 1 4 解析: . ( 81 625) 1 -4 ( 625 81 ) 1 4 4 625 81
5、 4 54 34 4 ( 5 3) 4 5 3 答案:5 3 ,类型一 利用根式的性质化简求值, 例 1 (1)下列各式正确的是( ) A.a Ba01 C. 4 D. 8 a8 4 44 5 5 55 (2)计算下列各式: _. 5 a5 _. 6 36 _. 61 4 3 33 8 3 0.125 【解析】 (1)由于Error!则选项 A,C 排除,D 正确,B 需 n an 要加条件 a0. (2) a. 5 a5 3. 6 36 6 36 . 61 4 3 33 8 3 0.125 5 2 2 3 3 2 3 3 1 2 3 5 2 3 2 1 2 1 2 【答案】 (1)D (2)
6、a 3 1 2 首先确定式子中 n 的奇偶,再看式子的正负,最后确定化简结 n an 果 方法归纳 根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是 偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值 (2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号 化简,化简时要结合条件或分类讨论 跟踪训练 1 求下列各式的值: (1) ; (2) ; 3 23 4 32 (3) ; (4) . 8 38x22xyy2 7 yx7 解析:(1) 2; 3 23 (2) ; 4 32 4 323 (3) |3|3; 8 38 (4)原式 yx|xy|yx. xy2 当 x
7、y 时,原式xyyx0; 当 x0)化为根式为_; 3 4 (2)化简:(a2)()_.(用分数指数幂表示); 5 a3a 10 a9 (3)将下列根式与分数指数幂进行互化 a3; (a0,b0) 3 a2a4b23ab2 【解析】 (1)a 3 4 1 a3 4 1 4 a3 (2)(a2)()(a2a )(a a )a a aa 5 a3a 10 a9 3 5 1 2 9 10 13 5 7 5 13 7 55 6 5 【答案】 (1) (2)a (3)a3a3a aa . 1 4 a3 6 5 3 a2 2 3 2 3+3 11 3 a4b2 3 ab2a4b2ab21 3 a4b2a1
8、 3b 2 3 a11 3 b8 3 ab . 11 6 4 3 利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂 方法归纳 根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法 : 根指数化为分数指数的分母,被开方数(式)的指数化为分 数指数的分子 (2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数幂的形式, 然后利用有理数指数幂的运算性质解题 提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出, 跟踪训练 2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A(x) (x0) B.y (y0) Dx(x0) 3 4 4 ( 1 x) 3 1 3 3 x 解析:x (x0);(y2) y (y0
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