高考数学总复习精品课件(苏教版):第十五单元第二节 直接证明与间接证明.ppt
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1、第二节 直接证明与间接证明,基础梳理,1. 直接证明 (1)定义:直接从原命题的条件 推得命题成立的证明方法. (2)一般形式: (3)综合法 定义:从 出发,以已知的 、 、 为依据,逐, 本题结论.,逐步,本题条件,已知定义,已知公理,已知定理,已知条件,定义,公理,定理,步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法. 推证过程 . (4)分析法 定义:从问题的 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步 ,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法. 推证过程 ,已知条件,结论,结论,已知条件,2. 间接证明 (1)常用的间接证明方法有 、 、 等. (
2、2)反证法的基本步骤,结论,上溯,反证法,同一法,枚举法, 假设命题的 不成立,即假定原结论的反面为真; 从反设和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; 由矛盾结果,断定 不真,从而肯定原结论成立.,典例分析,题型一 综合法的应用 【例1】已知ab0,求证: .,证明 ab0,b ,即2b ,进而- -2b, a- +ba+b-2b, 即0( )2a-b, ,分析 从已知条件和已知不等式入手,推出所要证明的结论.,反设,结论,归谬,已知条件,存真,反设,学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发,依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时,必须首先找
3、到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐渐引出结论.,证明:a+b=1, 当且仅当a=b= 时“=”成立.,举一反三,1. 设a0,b0,a+b=1,求证: .,题型二 分析法的应用 【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca. 试证:I24S.,分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论,宜采用分析法.,证明 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S, 故要证I24S, 只需证a2+b2+c2+2
4、S4S, 即a2+b2+c22S(这对于保证结论成立是充分必要的). 欲证上式,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0, 即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0, 只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb, 即ab+c,ba+c,ca+b, 它们显然成立,因为三角形任一边小于其他两边之和. 故I24S.,学后反思 (1) 应用分析法易于找到思路的起始点,可探求解题途径. (2) 应用分析法证明问题时要注意:严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.,2. 若sin +cos =1,求证:sin6+co
5、s6=1.,举一反三,证明: 由sin +cos =1 sin2+cos2+2sin cos =1 sin cos =0. 欲证sin6+cos6=1, 只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1, 即证sin4+cos4-sin2cos2=1, 即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0. 由式知,上式成立,故原式成立.,题型三 反证法的应用 【例3】(14分)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ , c=z2-2x+ . 求证:a,b,c中至少有一个大于0.,分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没
6、有”“至多”等指示性语句,在用直接方法很难证明时,可以采用反证法.,证明 假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0,2 则a+b+c0, .4 而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+ -3. .6 -30,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,8 a+b+c0, 10 这与a+b+c0矛盾. 12 因此a,b,c中至少有一个大于0. 14,学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者非A,即在同一讨论过程中,A和非A有一个且仅有一个是正确的,不
7、可能有第三种情况出现.,举一反三 3. 已知a,b,c是一组勾股数,且 . 求证:a,b,c不可能都是奇数.,证明: 假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数, 又a,b,c都是奇数, , , 也都是奇数, 是偶数, , 与已知 相矛盾, a,b,c不可能都是奇数.,易错警示,【例】设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立. 求证:对定义域内任意x都有f(x)0.,错解分析 反证法的关键是从假设出发,经过推理论证得出和已知、定义、定理、公理等相矛盾.错解中从这点上出现了错误.,错解 假设f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y), 与假设f(
8、x)0矛盾.结论成立.,正解 又f(x)0, f(x)0. 对定义域内任意x都有f(x)0.,考点演练,10. 函数y= (a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.,解析: A(-2,-1),A在直线mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1. mn0,m0,n0, 当且仅当 ,即当m= ,n= 时等号成立, 故 的最小值为8.,11.已知a,b,c是不等正数,且abc=1. 求证:,证明: a,b,c是不等正数,且abc=1, ,证明: 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A, 则 . 又由正弦定理,得 ,12. 在A
9、BC中,角A,B,C所对的边为a,b,c, 求证: .,第十三单元 统计、 概率,知识体系,第六节 几何概型,基础梳理,1. 几何概型的概念 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这里的区域可以是 、 、 等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.,2. 几何概型的特点 (1)无限性:即在一次试验中,基本事件的个数可以是 . (2)等可能性:即每个基本事件发生的可能性是 .,线段,平面图形,立体图,形,无限的,均等的,因此,用几何概型求解的概率问题和古典
10、概型的思路是相同的,同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(体积、长度)”之比来表示.,3. 几何概型的计算公式 一般地,在几何区域D中随机取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)= .,4. 几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点: . (2)不同点:基本事件的个数一个是无限的,一个是有限的. 基本事件可以抽象为点,对于几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域却是有限的,根据等可能性,这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比,而与该区域的位置和形状无关
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