基于小波的信号LIPSCHITZ指数分析和应用.pdf
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1、第2 8 卷第6 期 南京邮电大学学报( 自然科学版J V 0 1 2 8N o 6 2 0 0 8 年1 2 月J o u r n a lo fN a n j i n gU n i v e r s i t yo fP o s t sa n dT e l e c o m m u n i c a t i o n s ( N a t u r a lS c i e n c e ) D e c 2 0 0 8 文章编号:1 6 7 3 - 5 4 3 9 ( 2 0 0 8 ) 0 6 - 0 0 6 9 - 0 5 基于小波的信号L i p s c h i t z 指数分析和应用 戴建新,郦志新,宋
2、洪雪 ( 南京邮电大学数理学院,江苏南京2 1 0 0 0 3 ) 摘要:奇异信号往往带有一些重要信息,一般用L i p s c h i t z 指数来描述信号的奇异性。在M a l l a t 等人的 基础上讨论了奇异信号L i p s c h i t z 指数定义扣相关理论基础,同时研究了小波变换与信号奇异性关 系和L i p s e h i t z 指数的计算。利用信号和噪声奇异指数不同的特点应用于去噪声,文中提出了一种 对噪声模极大值对应点周围的小波系数进行非线性压缩后重构信号新方法,仿真实验结果表明,这 种方法有着较好的去噪效果。 关键词:奇异信号;L i p s c h i t z
3、 指数;极大模;小波去噪 中图分类号:T N 9 1 1 7文献标识码:A T h eA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o no fS i g n a l SL i p s c h i t zE x p o n e n t B a s e do nW a v e l e t D A IJ i a n x i n ,L IZ h i - x i n ,S O N GH o n g - x u e ( C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s 。N a n i i n gU n i v
4、e r s i t yo fP o s t sa n dT e l e c o m m u n i e a d o n s 。N a n j i n g2 1 0 0 0 3 C h i n a ) A b s t r a c t :T h es i n g u l a rs i g n a la l w a y sb e a r ss o m ei m p o r t a n ti n f o r m a t i o n L i p s c h i t ze x p o n e n tc a nb eu s e dt od e - s c r i b es i g n a ls i n g
5、u l a r i t i e si ng e n e r a l T h i sp a p e rd i s c u s s e st h ed e f i n i t i o na n dt h er e l a t e dt h e o r e mo fL i p s c h i t ze x p o - n e n to nt h eb a s i so fM a l l a t Sw o r k T h er e l a t i o no ft h el i p s c h i t ze x p o n e n ta n dw a v e l e t ,t h ec a l c u
6、l a t i o no fl i p s e h i t ze x - p o n e n ta r ei n v e s t i g a t e d I na d d i t i o n ,w ed i s c u s st h em e t h o do fd e n o i s i n gb a s e do nt h ed i f f e r e n t i a lo ft h eL i p s c h i t ze x - p o n e n t An e wm e t h o da b o u tr e c o n s t r u c t i n gs i g n a l su
7、s i n gt h em o d u l a rm a x i m u md e n o i s i n gi sp r o p o s e d ,w h e r et h eC O - e f f i c i e n t sb e l o n g i n gt ot h en o i s ea r ec o m p r e s s e dn o u l i n e a r l y S i m u l a t i o nr e s u l ts h o w st h a tt h ei m p r o v e dm e t h o di se f - f e c t i v e K e yw
8、 o r d s :S i n g u l a rs i g n a l ;L i p s c h i t ze x p o n e n t ;M o d u l u sm a x i m u m ;W a v e l e td e n o i s i n g 0 引言 函数在某处间断或某阶导数不连续,称函数在 此点有奇异性。信号的奇异性及不规则结构通常携 带信号的许多重要信息,例如在一副图像里,灰度的 突变形成物体的轮廓;在机械故障诊断领域,信号 的突变点往往反映了由故障引起的撞击、振荡、转速 收稿日期:2 0 0 7 1 l 1 2 ;修回日期:2 0 0 8 - 0 9 - 0 8 基金
9、项目:南京邮电大学青蓝计划( N Y 2 0 7 0 9 4 ) 资助项目 通讯作者:藏建新电话:( 0 2 5 ) 8 5 8 6 6 1 7 4 E - m a i l :d a i j x n j u p t e d u c n 的突变或结构的变形和断裂,如切削的切削力信号 的突变往往预示着刀具的破损,因此对信号奇异性 检测就具有特别重要的意义。奇异性检测就是要将 信号奇异点检测出来并判断奇异性程度。傅里叶变 换一直是研究函数奇异性的基本工具,由一个函数 的傅氏变换趋于零的速度可以推断该函数是否有奇 异性及奇异性的程度,但是,由于傅里叶变换缺乏空 间局部性,难以确定局部的奇异性以及奇异点
10、的分 布情况。而小波变换所具有的时频局部性及变焦 性,特别是对信号的奇异性,如过零点、极值点等,更 能刻画信号的细节,为信号进行有效的区分提供了 万方数据 南京邮电大学学报( 自然科学版)2 0 0 8 年 重要手段。用小波变换对信号奇异性检测的检测, 就是通过小波变化的多尺度功能将信号的突变或瞬 态特征提取,提取出奇异点,从而对信号进行很好的 描述。L i p s c h i t z 指数在对信号奇异性的描述具有独 特性,一般用L i p s c h i t z 指数来描述信号的奇异 性,它对信号奇异性有比连续和可微更精细的描述。 信号去噪处理的方法主要有相关去噪、对称相 关去噪、滤波器去噪
11、、自适应消噪和小波变换去噪 等 2 “】。其中,相关去噪、自适应消噪法对白噪声有 比较好的降噪效果;滤波器去噪对通信信号频带外 的噪声有较好的降噪效果;小波变换的阈值去噪法、 基于尺度间相关性去噪法和模极大值降噪法等对白 噪声有比较好的降噪效果。但是当信噪比较低时, 上述的方法都出现了性能降低的现象。本文针对这 个问题,将带噪信号进行多分辨率分解之后,利用信 号和噪声奇异指数不同的特点,提出了一种对噪声 模极大值对应的小波系数进行非线性压缩后重构信 号新方法。 1 信号奇异性分析 设八t ) L 2 ( 月) ,称八t ) 在点处有L i p s c h i t z 指数( I t ,如果存在
12、常数K 0 和h 。 0 以及n = L a j ( 表示不超过a 的最大整数) 次多项式P 。( h ) ,使得 VI h l 0 使得式( 1 ) 对所有t 。 口,b 成立, 那么称八t ) 在区间 口,b 上有一致L i p s c h s t z 指数a 。 易知,若八t ) 在点t o 处连续且一阶可导,那么 其L i p s e h i t z 指数n = 1 ;若八t ) 在点t o 处连续但不可 导,则其L i p s c h i t z 指数为0 o ) ,则八t ) 在点处是1 , 阶可导的,且多项式 P 。( h ) 为八t ) 在点t o 处展开的泰勒级数的前t l
13、, - I - 1 项,即 4 n ) ,t 、 P 。( ) = 以t 。) + 厂( ) + + L 半”( 2 ) ,: 证明不妨设h 0 ,由式( 1 ) 得 l i m 塑鱼垒! :型坐l i m 掣坚:A 卅 I h I “ ml h I 。 所以以+ h ) = P 。( ) + D ( h 8 ) 。 令t o + h = t ,h = t t o ,则八t ) = P 。( t t o ) + 0 ( ( t t o ) 4 ) 。 ( 1 ) 当k = 1 时,a 1 以t ) = 口o + a I ( t b ) + 0 ( ( t t o ) 。) 令t = t o 得
14、口o = 八t o ) ,那么八t ) - f ( t o ) = o l ( t t o ) + o ( ( t t o ) 4 ) 口l_婪m掣:厂(to)tt 口,2 n 一2 ,“J l 咄一o 7 可知当n 1 时,结论成立。 ( 2 ) 当k = n ,a n 时结论也成立,即 八t ) = P 。( t 一) + D ( ( t 一) “) 锁t o ) 啪o ) ( o ) + 掣( 4 + o ( ( t t o ) 4 ) 贝当k = ,l + l ,a n + 1 时 八t ) = a o + a 1 ( t t o ) + + 口。( t t o ) “+ 口+ l (
15、 t t o ) “+ 1 + O ( ( t t o ) “) 因为a n + 1 n ,由归纳假设得 a o = f ( t o h 。训t o ) 口:= 掣,以= 掣, 用八) = a o + a t ( t t o ) + + a 。( t t o ) 4 + a 。+ 。( f t o ) ”1 + O ( ( t 一岛) 4 ) 对t 求n 阶导数得 曲( t ) = 曲( t o ) + ( n + 1 ) ! 口。+ l ( t t o ) + o ( ( t t o ) ”“) 所以 一南l 啪i m 盥甚塑= 耐”( t 。) 由数学归纳法得结论成立。 同理也可证明h o
16、 为 伸缩尺度因子。 小波变换对变量t 的傅里叶变换为:w f ( s ,) = 夕( ) 蛾( ) 式中:啦( ) = 妒( S O ) ) 。小波变换 l r f ( , ,t 。) 的值强烈地依赖于信号八t ) 在点t 。处邻域 附近的值,并且lsI 越小,t 。处邻域半径也越小, 瞅s ,t 。) 将提供所需要的信号在t o 附近的局部信 息。M a l l a t 等人建立了小波变换与信号奇异性的 L i p s c h i t z 指数之间的密切关系,从而可以通过小波 变换来确定信号的奇异点位置。 一般来讲,函数在某一点的L i p s c h i t z 指数a 刻 画了该点的奇
17、异性大小。a 越大,该点的光滑度越 高;而a 越小,该点的奇异性越大。 下面定理2 给出了利用小波系数幅值估计函数 以t ) 在点b 。处L i p s c h i t z 正则性的充要条件。假设 小波砂( t ) L 2 ( 尺) 具有 阶消失矩,且其,l 阶导数 是快速衰减的,即对任意的0 _ | ,l 及mEN ,存在 常数C 。,使得 r V f 尺,I ( t ) I 奇斋 ( 4 ) 定理2 【7 1 设函数以t ) L 2 ( R ) 在b 。点的L i p s - c h i t z 指数a ,l ,则存在常数A 和a 使得 V ( a ,6 ) ER + R ,Ir e f
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