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1、2007年全国塑性加工理论与新技术学术研讨会 2007年5月 沈阳 454 板材轧制中的阻尼牛顿和布伦特法 * 刘静宜 1,宋叔尼1,李长生2,刘相华2 (1. 东北大学数学系 沈阳;2. 东北大学轧制技术及连轧自动化国家重点实验室 沈阳) 摘摘 要要: 本文联合使用基于下降思想的阻尼牛顿(DN)法和布伦特(Brent)法, 即阻尼牛顿和布伦特法(DN-Brent 法), 求解刚塑性有限元分析中的联立方程组. 并对该算法的迭代次数、CPU 计算时间、网格划分和计算轧制力进行 了检测. 同时将 DN-Brent 法与(改进)牛顿(N-R)法得到的实验数据模拟结果进行了比较, 计算结果表明前者能在
2、 更少的迭代次数和计算时间内达到精确解. 验证了 DN-Brent 法在求解板材轧制过程时的高效性和稳定性. 关键词关键词: 刚塑性有限元;阻尼牛顿法;一维布伦特法;板材轧制 A Combination of Damped Newton and Brent Method in Strip Rolling LIU Jingyi1,SONG Shuni1,LI Changsheng2,LIU Xianghua2 (1. Department of Mathematics, Northeastern University, Shenyang; 2. State Key Laboratory of R
3、olling and Automation, Northeastern University, Shenyang) Abstract: In this paper, a combination of step-down Damped Newton and one-dimensional Brent method, called the DN-Brent method, is proposed to solve the simultaneous equations arising in the rigid-plastic FEM. The performance of the proposed
4、algorithm has been analyzed in terms of the number of iterations, CPU time and mesh size. The computed rolling forces are also examined. The proposed DN-Brent method is compared with Newton-Raphson (N-R) method and numerical results show that the DN-Brent method can obtain the exact solution with le
5、ss iterations number and CPU time, which verify the validity and stability of the DN-Brent method in strip rolling problem. Key words: rigid-plastic FEM;Damped Newton method;one-dimensional Brent method;strip rolling. 1 1 前言 应用(改进)牛顿(N-R)法进行板材轧制过程的有限元(FEM)计算时,大部分计算时间耗 费在沿牛顿迭代方向应用精确一维搜索方法寻找最优步长因子(阻尼因
6、子)的过程中。因此,加 快一维搜索速度,提高一维搜索精度,对减少迭代次数及缩短求解时间有很大帮助。本研究将阻尼 牛顿(DN)和布伦特(Brent)法1,2联合应用于求解板材轧制过程的 FEM 计算中,省去了寻找最优 步长因子的大量计算时间,势必能提搞算法的收敛速度,减少 CPU 计算时间,使有限元方法应用 于在线分析成为可能。 Bertolazzi3等人将 DN 法应用于求解最优控制中的微分代数方程的边界值问题。针对土钉支护 系统中危险破坏面搜索问题,文献4使用了 Brent 法很好地实现了自动搜索功能。本研究在二维刚 塑性有限元方法5,6的基础上,通过引入 DN-Brent 法对板材轧制过程
7、进行了分析,并对该算法的迭 代次数、CPU 计算时间、网格数、计算轧制力进行了检测。研究了网格数目对计算精度和计算时间 的影响。为了进一步检验采用 DN-Brent 法进行刚塑性有限元计算的高效性和稳定性,本研究还将其 实验数据模拟结果与 N-R 得到的结果进行了比较。 *基金项目:国家自然科学基金重点项目,项目编号:50534020 2007年全国塑性加工理论与新技术学术研讨会 2007年5月 沈阳 455 2 2 阻尼牛顿和布伦特算法 在刚塑性有限元分析中,寻找总能耗率泛函极小值的过程需要求解下列的联立方程组 1 2 11 ; ()(), jjj jjj vvv vvv =+ = (1)
8、式中 j v为速度修正量, 1 () j v 为能耗率泛函的一阶导数,即梯度, 2 1 () j v 为能耗率泛函的二 阶导数,即 Hessian 矩阵,为阻尼因子。 DN 法选择参数的原则是使之满足 11 ()()(1)() jjjj vvvv = + , (4) 这里(0,1)为某定数。 具体实施运算时,对选择的参数与,首先要检验是否满足(4),不然可以将减半直到(4)成 立。如果在第k步是用到的阻尼因子值较小,那么在下一次(第1k +步)不大可能用大的阻尼因子。 因此,我们在下一迭代步适合的阻尼因子可取为 ; min 1,2. = 若 在前一步中是减小的 其他情形 (5) 在算法迭代后期
9、使用一种精确的一维搜索方法,对计算结果进行修正,从而使目标函数值满足 最优性条件, 求解出高精度的总能耗率泛函的极小值。 这里我们采用的是不需计算导数的Brent方法。 一维Brent法是基于抛物线插值的思想。不妨设 1 ( , ) min ()min( ) jj xa c vvf x + =, 若( )f x在 ( , , )a b c上有一极小值点,用经过( ,( )a f a,( ,( )b f b,( ,( )c f c三点的抛物线来逼近( )f x可以得该抛 物线的极小值 22 1 () ( )( )() ( )( ), 2 () ( )( )() ( )( ) m baf bf c
10、bcf bf a xb baf bf cbcf bf a = (6) 这样,就可以将 m x作为( )f x的一个极值点。但在实际的优化算法中,仅仅采用这一种策略是远远 不够的。首先,当( )f x在( , )a c内不是单峰函数时,迭代过程中所获得的新区间将有可能不含最优 解;另外,当( ,( )a f a, ( ,( )b f b和( ,( )c f c三点共线(或近似共线)时,式(6)的分母将为零(或非常接 近零),这将使迭代过程变得不稳定。 为了解决这些问题,可将上述抛物线插值法与黄金分割法相结合,限定移动步长的大小并确保 新的区间包含最优解。一维 Brent 法联合使用反抛物内插法和
11、黄金分割法求解一维优化问题。适用 于函数有较好解析性质的情形,它仅需使用函数值进行比较,且兼有黄金分割和反二次插值的优点。 3 3 数值模拟条件 分别采用了两种不同的变形抗力模型,对板材轧制过程的进行了实验数据模拟计算。变形抗力 模型一如下: 1 2 ( )( )( )(1) 3 ( ) , 10 N CalLayPriLay j m Cal f KmiAkmjCntjAkmN Stri f = =+ 2007年全国塑性加工理论与新技术学术研讨会 2007年5月 沈阳 456 273, 1000 Cal t + = (1)0.41 0.95, (1)0.32 Pri d Pri Cnt t C
12、nt + = + () () () () Pr Pr Pr 0.019(1)0.126 0.0500.075(1) ; 0.081(1)0.154 0.027 0.2070.019(1); (1)0.320 Pri Prid i id i Cntt Cnttt m Cntt Cnttt Cnt + + + = + + 0.410.07(1), Pri nCnt= ( )( ) 1.30.3, 0.20.2 n CalCal StiSti f = () ()() 5.00.01 0.28 exp; (1)0.05 5.00.01 0.28(1),exp, (1)0.05 (1)0.49 (1),
13、30.0(1)0.900.95 d Pri f Prid dPri Pri PriPri tt tCnt g Cntttt tCnt Cnt g CnttCntt C + = + + =+ 2 (1)0.06 , (1)0.42(1)0.09 Pri PriPri Cnt ntCnt + + + 式中: Cal Km变形抗力,kg/mm2; Lay Akm化学成分对变形抗力的影响系数; Pri Cnt化学成分,%; ( ) Cal Stri平均变形速度,sec-1; ( ) Cal Sti真应变。 模拟计算中采用的轧制条件数据如表 1 所示:其中摩擦因子:tm=0.4, 摩擦系数:tf=0.5
14、, 可 压缩参数:f=100.0. 表 1 轧制条件数据 1 Table 1 Rolling date 1 轧辊半径 (mm) 轧辊线 速度 (mm/s) 轧件轧前 厚度之半 (mm) 轧件轧后 厚度之半 (mm) 轧件宽度 (mm) 轧制温度 (C o ) 后张力 (MPa) 前张力 (MPa) 419.00 2800 8.345 5.710 1240.0 923.00 7.00 9.00 419.00 2900 8.360 5.725 1240.0 909.00 7.00 9.00 419.00 2900 8.345 5.710 1240.0 911.00 7.00 9.00 319.62
15、 2440 9.135 5.830 1034.8 952.08 5.13 6.07 319.28 2420 8.205 4.650 1077.7 956.55 5.40 6.39 2007年全国塑性加工理论与新技术学术研讨会 2007年5月 沈阳 457 357.00 4200 5.725 4.085 1240.0 903.00 9.00 10.00 357.00 4200 5.710 4.075 1240.0 905.00 9.00 10.00 变形抗力模型二如下: ()0, gngm s gagcg=+ & 式中70.5,45.455,0.0,0.49,00.0.gagcgmgng= 模拟
16、计算中采用如下的轧制条件数据如表 2 所示:其中摩擦因子:tm=0.5, 摩擦系数:tf=0.35, 可压缩参数:f=100.0. 表 2 轧制条件数据 2 Table 2 Rolling date 2 轧辊半径 (mm) 轧辊线 速度 (mm/s) 轧件轧前 厚度之半 (mm) 轧件轧后 厚度之半 (mm) 轧件宽度 (mm) 后张力 (MPa) 前张力 (MPa) 150.0 200 1.0 0.8 50.0 0.0 0.0 表 3 N-R 法与 DN-Brent 法轧制力的计算结果与实测值的对比分析 Table 3 Comparisons of calculation rolling f
17、orces, iteration number and CPU time with measured ones for N-R and DN-Brent methods 轧制力(kN) 迭代次数 计算时间(s) 序号 实测值 N-R DN-Brent N-RDN-BrentN-R DN-Brent 1 16390 16943.57 16906.76 44 18 1.01145 0.45070 2 17180 17952.84 17834.88 39 12 0.98141 0.28040 3 17200 17806.92 17727.49 27 17 0.73090 0.26066 4 1345
18、0 13211.09 13209.63 34 25 2.49344 1.04221 5 15710 15507.29 15570.54 23 12 1.80244 0.68112 6 14130 14136.58 14119.26 32 16 0.74106 0.28040 7 14100 14015.83 14007.34 18 11 0.62083 0.29142 4 4 结果与分析 为了比较 N-R 法和 DN-Brent 法求解板材轧制过程中的计算精度和计算时间等算法性能,分别 应用满足变形抗力模型一的多组轧制条件数据(见表 1) ,进行了模拟计算,其计算结果如表 3 所示, 求解过程
19、中,取参数=0.3, 网格划分采用 126 形式。由表 3 可见,相同网格划分下多组实验数据 模拟结果表明, DN-Brent 法比 N-R 法的 CPU 计算时间提高 2-5 倍的同时, 轧制力计算偏差均在 4.5% 以内。DN-Brent 法在实现快速求解的同时,也能够满足 FEM 计算中对于算法精度的要求。 表 4 不同网格划分下 N-R 法与 DN-Brent 法计算结果的比较分析 Table 4 Comparison of computational results with experimental values of different mesh for N-R and the
20、DN-Brent methods 轧制力(kN) 迭代次数 计算时间(s) 网格 xy N-R DN-Brent N-R DN-BrentN-R DN-Brent 94 243.368 243.053 11 9 0.10937 0.06250 126 240.936 240.589 15 13 0.20312 0.10937 2010 237.103 237.458 25 18 0.92875 0.51562 3010 240.097 235.988 67 16 3.14062 0.31250 2007年全国塑性加工理论与新技术学术研讨会 2007年5月 沈阳 458 4010 236.185
21、 237.633 67 20 4.29687 1.05674 3015 235.401 239.419 71 16 10.12500 1.48437 4020 229.624 238.771 94 27 24.60938 5.93435 针对不同网格划分下 N-R 法与 DN-Brent 法,应用满足变形抗力模型二的轧制条件数据,进行 模拟计算。计算结果如表 4 所示。可以看出,随着网格划分的逐渐加细,DN-Brent 法所需计算时间 提高的倍数也从开始的 1.75 倍增加到 10.05 倍,当网格数为 3010 时,计算时间的改进最为明显。 其原因在于 DN-Brent 法在计算初期不需要使
22、用精确的一维搜索方法确定最优步长因子, 节省了精 确一维搜索所占用的大量 CPU 时间。DN-Brent 法轧制力的计算结果偏差均在 3%以内。这说明 DN-Brent 法是一种稳定有效的算法,能够在保证计算精度的前提下,实现板材轧制过程 FEM 计算 的快速求解。 5 5 结论 (1) 在二维刚塑性有限元法模拟板材轧制的过程中,使用 DN 和 Brent 法联合求解可高效稳定的模 拟板材轧制过程。与 N-R 法相比在确保计算精度的前提下,能大幅度提高求解速度。 (2) DN-Brent 算法在第二阶段采用 Brent 法进行精确一维搜索,逼近真实极小值点的精度更高,在 算法的后期振荡效果要优
23、于 N-R 法,因此本研究中提出的组合算法的迭代次数通常也要优于 N-R 法,轧制力计算结果贴近实测值。 (3) 随着网格划分的逐渐加细,DN-Brent 算法的迭代次数和计算时间的增加幅度远低于 N-R 法。 参考文献 参考文献 1 陈宝林. 最优化理论与算法M. 北京: 清华大学出版社, 1989. 2 袁亚湘. 非线性规划数值方法M. 上海: 上海科学技术出版社, 1993. 3 Bertolazzi E, Biral F, Lio M D. Symbolic-numeric efficient solution of optimal control problems for multibody systemsJ. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2006, 185: 404421. 4 郑俊杰, 李强, 陈健. 应用ObjectARX开发土钉支护CAD系统J. 岩土工程技术, 2006, 20(2): 58-62. 5 刘相华. 刚塑性有限元及其在轧制中的应用M. 北京: 冶金工业出版社, 1994. 6 宋叔尼, 刘相华, 王国栋. 刚塑性有限元中的非线性分析方法M. 沈阳: 东北大学出版社, 2001.
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