张量分析及其应用.pdf
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1、张量分析及其应用 第一章 张量代数 第二章 张量分析 第三章 张量应用 1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标 第一章 张量代数 = = += n 1k kk n 1j jj n 1i ii 2211 xaxaxa xaxaxaS nn L 显然,指标 i, j, k 与求和无关,可用任意字母代替。 为简化表达式,引入Einstein求和约定: 每逢某个指标在一项中重复一次,就表示对该指标求 和,指标取遍正数1,2,n。这样重复的指标称为哑 标。 于是 kk or jj or ii xaxaxaS= iii xba 是违约的,求和时要保留求和号 = n 1i iii xba n 表示空
2、间的维数,以后无特别说明,我们总取n=3。 例题 332211ii xaxaxaxa+= 332211jj bbbb+= 332211mm eeeecccc+= 双重求和 = = 3 1i 3 1j jiij xxaS 简写成 jiij xxaS = 展开式(9项) 313321321131 322322221221 311321121111 xxaxxaxxa xxaxxaxxa xxaxxaxxaS + + += kk xxxaxxxaS jiijk 3 1i 3 1j 3 1k jiijk = = 三重求和(27项) jiji xax = 1.1.2 自由指标 例如 指标 i 在方程的各
3、项中只出现一次,称之为自由指标。 一个自由指标每次可取整数1, 3, , n,与哑标一样,无 特别说明总取n=3。于是,上式表示3个方程的缩写: 3132121111 xaxaxax+= 3232221212 xaxaxax+= 3332321313 xaxaxax+= jiji eeA= 3132121111 eeeeAAA+= i 为自由指标,j 为哑标 表示 3232221212 eeeeAAA+= 3332321313 eeeeAAA+= jiji eeA= 3132121111 eeeeAAA+= i 为自由指标,j 为哑标 表示 3232221212 eeeeAAA+= 33323
4、21313 eeeeAAA+= jkikij BAC = 1313121211111k1k11 BABABABAC+= i ,j为自由指标,k 为哑标 表示9个方程: 2313221221112k1k12 BABABABAC+= 3313321231113k1k13 BABABABAC+= 1323122211211k2k21 BABABABAC+= 3333323231313k3k33 BABABABAC+= 例外: 111 ECR = 222 ECR = 333 ECR = iiiii ECECR= 出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线 以示区别,或用文字说明(如i不求和)。 规定:
5、这里 i 相当于一个自由指 标,而 i 只是在数值上等 于 i,并不与 i 求和。 又如,方程 333222111 2 3 2 2 2 1 +=+ 用指标法表示,可写成 iiiiiiiiiii = i 不参与求和,只在数值上等于 i 1.2 Kronecker 符号 在卡氏直角坐标系下,Kronecker 符号定义为: = = ji, 0 ji, 1 j i = 100 010 001 333231 232221 131211 其中 i,j 为自由指标,取遍1,2,3;因此,可确 定一单位矩阵: j i 若 j iji =ee 321 ,eee是相互垂直的单位矢量,则 3 332211ii =
6、+=eeeeeeee ,但 3 332211i i =+= 而,故 i iii =ee 注意:3 i i = i i 是一个数值,即 j i 的作用:1)换指标;2)选择求和。 例1: ki AA kkkkiik AAA= 思路:把要被替换的指标 i 变成哑标,哑标能 用任意字母,因此可用变换后的字母 k 表示 例2: j ijk TT j ij ii ijkki TTT= 例3: jnim BA nm = 个 数, 项的和。 jmimjninjnimnm BABABA= 813, 4 = 求 特别 地, j ijkki = mimjjkki ,= 1.3 置换符号 = , 0 , 1 , 1
7、 kj i e i, j, k, 为1,2,3的偶排列 i, j, k, 为1,2,3的奇排列 i, j, k, 不是1,2,3的排列 例如:1 312231123 =eee 1 132213321 =eee 0 232121111 =Leee 可见: i jkjkiki jj ikikjkj i eeeeee= kj i e 也称为三维空间的排列符号。 321 ,eee 若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量 kkj iji eeee= 则 常见的恒等式 nkmklk njmjl j nimil i nmlkj i =ee l jmimjl ikmlkj i =ee l ikj lkj i 2=
8、ee ! 36 kj ikj i =ee ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) 证明: 333231 232221 131211 nmlkj i nkmklk njmjl j nimil i AAA AAA AAA ee AAA AAA AAA =Q j ij i =A 令 即得( i ),将( i )作相应的指标替换, 展开化简,将得其余三式。 指标任意排列,经过行列调 整总可用右边表示,两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零 二维置换符号 33 j i eee= 其中 , 0 2211 = ee1 2112 = ee 从三维退化得到 e )2, 1,(
9、= 有下列恒等式 =ee , =ee! 22 = ee 关键公式: nkmklk njmjl j nimil i nmlkj i =ee 100 0 0 mjl j mil i 33m3l3 3 jmjl j 3imil i 3ml3 j i =ee = ee 二维关键公式: = ee = ee 2 = =22ee = ee =44 2 2 224= 1.4 指标记法的运算 mmii mmii cVb bUa = = 1.4.1 代入 设 (1) mmii cVb (2) 把(2) 代入(1) = m n or else nnmm cVb = nnmmii cVUa = 3个方 程,右边 为9
10、项之 和 1.4 指标记法的运算 mm mm bVq aUp = = 1.4.2 乘积 设 则 nnmm bVaUqp= 不符合 求和约 定 mmmm bVaUqp 1.4 指标记法的运算 0 ijj i =nnT 1.4.3 因式分解 考虑 第一步用 i n jj ii nn 表示 j n = j i , 有换指标的作用 所以 0 jj ijj i =nnT 即 0)( jj ij i =nT 1.4 指标记法的运算 j ij ikkj i 2EET+= 1.4.4 缩并 使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系 i ikki ii ikki i 232EEEE
11、T+=+= i ii i )23(ET+= 缩并 哑标与求和无 关,可用任意 字母代替 为平均应力应变之间的关系 1.4 指标记法的运算 1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程: 其普通记法 0 i i = x U 0 3 3 2 2 1 1 = + + x U x U x U 0 z y x = + + z U y U x U 或 1.4 指标记法的运算 1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程: 写出其普通记法 jj i i i j i j i xx )( + = +
12、 U x p b x U U t U 1.4 指标记法的运算 1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程: 写出其指标记法 0 xz xy xx =+ + + x b z T y T x T 0 yzyyyx =+ + + y b z T y T x T 0 zz zy zx =+ + + z b z T y T x T 1.5 张量的定义 1.5.1 坐标系的变换关系(卡氏右手直角坐标系) 旧坐标系: 新旧基矢量夹角的方向余弦: 321 xxxO 新坐标系: 321 xxxO 单位基矢量: , 321 eee 单位基矢量: , 321 eee j ijijijiji
13、 ),cos(),cos(| | =eeeeeeee 1.5.1 坐标系的变换关系 旧 新 1 e 2 e 2 e 1 e 2 e 3 e 11 12 21 3 1 2 2 1 3 2 3 3 2 3 3 jijij i ),cos(eeee= 图解(二维): , jj 122 111 11 eeee=+= 2, 1j cos j 1j 1 = = 在解析式中记: 1.5.1 坐标系的变换关系 = 3 2 1 331313 322212 312111 3 2 1 e e e e e e iiii ee = 从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量 (对 i 求和,i为自由指标) 1.5.2 标量(
14、纯量 Scalar) ),(),( 321321 =xxxxxx 在坐标变换时其值保持不变,即满足 如数学中的纯数,物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量? 1.5.3 矢量(Vector) , 321321 aaaaaa 设 a 为任意矢量,其在新、旧坐标系下的分量分别为 即 iiii ,aeaeaa= iiiii eeea= aa iiii aa = iiiiiiii eeeeea= aaa iiii =aa (对 i 求和) (对 i 求和) 满足以下变换 关系的三个量 定义一个矢量 i a 1.5.3 矢量(Vector) iiii aa =iiii =aa kkiiii aa =
15、 哑标换成 k kkiiikki aa = 比较上式两边,得 kiiiki = 即该变换是正交的 1.5.4 张量(Tensor) 对于直角坐标系 j ijjiiji TT = j i T,有九个量 321 xxxO按照关系 变换成 321 xxxO 中的九个量 j i T 则此九个量定义一个二阶张量。 将矢量定义加以推广:(增加指标和相应的变 换系数) iiii aa = j ijjiiji TT = 1.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量, a为任一矢量,其分量为ai,于是 iie aa= aeea= iii a 对于一个二阶张量T,它可以将a变换成 另一个矢量b,即
16、 jij i eTe=T称为二阶张量T的分量令 jij i eTe=T 可理解为矢量Tej在ei上的分量,即 ij ij eeTT= 因此,有下面三种等价的表达式: aTb= jj ij iji aTTab= = 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 a a a TTT TTT TTT b b b 333231 232221 131211 TTT TTT TTT 其中 称为在基矢量组e1, e2, e3下二阶 张量 T 的矩阵。 注意:矢量 a、b 及张量T本身与 坐标系无关,但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组e1, e2, e3与坐标系 相关。 1.7
17、.1 张量的加法和减法 设T、S均为二阶张量,将它们 的和、差用下式表示: ST 仍为二阶张量。 若a为一矢量,则 aSaTaST= )( 其分量为: j ij i jiji jij i )()( ST = = = eSeeTe eSTeST 其矩阵形式为:STST= 1.7.2 张量和标量的乘积 设T为二阶张量,为一标量,它 们的乘积记为,则 T TT= 仍为二阶张量。 因为根据坐标变换,有 = j ij ji ij i TT = j ij ji ij ij ji ij ij ji ij i TTTT = 可见,为二阶张量。T 1.7.3 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a 和矢量 b 的并
18、矢积 ab 定义为 按下列规则变换任意矢量的变换: c)(bac(ab)= 二阶张量一阶零阶 关于是二阶张量的证明: 即证明满足张量的定义: 是一个线性变换。 ab ab 设有任意矢量,及标 量,则由并矢积定义 dc, )()(dcbadc(ab)+=+ )()(dcbadc(ab)+=+ )()()()(dbacbadbcba+=+= d(ab)c(ab)+= 可见:满足张量的定义。 ab 关于基矢量组的分量: ab, 321 eee )()()()( jijijij i baeebaeeabeab= jiji )(bab =ae 有些文献把写成 ab jij ij i )()(ba=baa
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