松质骨弹性模量与表观密度的关系基于杆杆结构和带孔板结构相结合的模型.pdf
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1、松质骨弹性模量与表观密度的关系基于杆-杆结构 和带孔板结构相结合的模型* 侯亚君 #朱兴华 (吉林大学 机械科学与工程学院,长春1 3 0 0 2 5 ) 摘要从杆-杆结构模型开始,然后以此框架为基础逐渐填加固体物质形成带孔板的框架模型,从而将松质骨 的两种微结构模型结合起来,利用均匀化理论计算松质骨的弹性模量,通过对所得结果的分析,讨论了松质骨的弹 性模量与表观密度的关系。得出弹性模量与表观密度的关系为E =1 . 7 8 1 . 8 8( G P a ) , 该结果与用胞元结构理论导出 的关系式比较接近,可能更合理。 关键词松质骨弹性模量表观密度微结构均匀化理论 I n v e s t i
2、 g a t i o ni nt h eD e p e n d e n c yo f S t i f f n e s s o f C a n c e l l o u s B o n eo n A p p a r e n t D e n s i t y -B a s e do nt h eC o mb i n a t i o nMo d e l o f R o d - R o d S t r u c t u r ea n dP e r f o r a t e dP l a t eS t r u c t u r e Ho uY a j u n Z h uX i n g h u a ( C o l
3、l e g e o fMa c h i n e r ya n dE n g i n e e r i n g ,J i l i nUn i v e r s i t y ,C h a n g c h u n 1 3 0 0 2 5 , C h i n a ) A b s t r a c tT h es t r u c t u r eo fc a n c e l l o u sb o n ei sc e l l u l a r .T h e r ea r et wob a s i cmo d e l so fc a n c e l l o u sb o n e s t r u c t u r en
4、a me l yt h emo d e lo fr o d - r o ds t r u c t u r ea n dt h emo d e lo ff r a me wo r ko fp e r f o r a t e dp l a t e .T h i sp a p e r p r e s e n t ss e v e r a l mo d e l so f s t r u c t u r ed e v e l o p e df r o m t h emo d e l o f r o d - r o ds t r u c t u r et ot h emo d e l o f f r a
5、me wo r ko f p e r f o r a t e dp l a t e .Wec o mp u t e dt h ee l a s t i c mo d u l u s o f c a n c e l l o u s b o n eb a s e do nt h e s emo d e s u s i n gh o mo g e n i z a t i o n . T h er e l a t i o n s h i pb e t we e nt h ee l a s t i c mo d u l u s ( E )o f c a n c e l l o u s b o n ea
6、n dt h ea p p a r e n t d e n s i t y ( )wa s d e t e r mi n e dt o b eE =1 . 7 8 1 . 8 8. Ke y w o r d sC a n c e l l o u s b o n eE l a s t i c mo d u l u sAp p a r e n td e n s i t yMi c r o s t r u c t u r e Ho mo g e n i z a t i o n 1 引言 松质骨 1 是由大量针状或片状骨小梁相互连接 而成的多孔网架结构,具有非均匀性和各向异性。传 统骨力学理论将松质骨
7、近似看成各向同性连续介 质,仅用表观密度作为参数,无法反映松质骨的各向 异性性质和微结构的影响。用细观力学模型来模拟 松质骨的结构,分析其力学性能,不仅对生物力学的 理论进展有重要意义,而且具有重要的临床应用价 值。 *国家自然科学基金资助项目( 1 0 3 7 2 0 3 4 ) ;博士点基金资助项 目( 2 0 0 2 0 1 8 3 0 2 5 ) 通讯作者。E - ma i l : h o u y a j u n 2 0 0 2 y a h o o . c o m. c n #现工作单位:沈阳理工大学理学院, 1 1 0 1 6 8 Mc E l h a n c y等 4 认为松质骨是
8、三维立方单元 (它们或为固体、或为空洞)排列而成的多胞块状结 构,以此来建立松质骨弹性模量与表观密度的关系。 目前较常用的松质骨细观结构胞体模型中有如图1 所示两种:模型( a )是开口杆状网络模型,或称为杆- 杆结构模型,可用来模拟低密度松质骨;模型( b )是 带孔板的框架模型,可用来模拟高密度松质骨。 骨力学认为骨的表观密度和矿物质含量等宏观 量 是影响骨力学性质的主要因素 6 9 。C a r t e r和 Ha y e s把弹性模量与表观密度的关系确定为E= 3 7 9 0 3, C u r r e y等认为是 E =1 0 0 2。 M. Ka s r a和 M. D . G r
9、y n p a s的结果是E =1 7 3 7 1 . 7 8。此外, Ke n n e t h J . F i s c h e r等提出了分段函数形式: 生物医学工程学杂志 JB i o me dE n g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 0 0 6 ; 2 3 ( 1 ) :7 8 8 1 E = 2 0 1 4 2 . 5 1 . 2 1 7 6 3 .
10、2 5 1 . 2 图1松质骨细观结构胞体模型 ( a )开口杆状网络模型; ( b )带孔板的框架模型 F i g1 T h ec e l l u l a rs t r u c t u r e . o f c a n c e l l o u s b o n e ( a )T h e mo d e l o f r o d - r o ds t r u c t u r e ,( b )T h e mo d e l o f f r a me wo r ko f p e r f o r a t e dp l a t e 2 0世纪8 0年代已有一些学者利用均匀化理论 对松质骨力学性质进行了研究,如树
11、学峰等 1 0 对于 具有模型( a )胞元形式的松质骨,利用均匀化理论得 出弹性模量与表观密度接近线性关系,张宁等 1 2 利 用松质骨各向异性的理想模型,用均匀化理论计算 出松质骨弹性模量的范围是0 . 2 1 1 . 9 2G P a 。 本文结合模型( a )和( b ) ,使不同的表观密度对 应不同的模型,让模型( a ) “生长“到模型( b ) ,利用均 匀化理论,计算松质骨的弹性模量。 2 均匀化理论的相关方程 均匀化理论 2 , 1 0 是上世纪8 0年代发展起来的 一套严格的数学理论,它是一种以多尺度摄动理论 为数学基础的分析复合材料的方法。它能描述微结 构对材料性质的影响
12、,与有限元方法相结合,成为分 析具有周期重复微结构的复合材料变形,应力,材料 性质,热传导等物理问题的有力手段。下面简要介绍 线弹性的均匀化理论。 考虑由基础胞元( b a s ec e l l )形成的复合材料, 基础胞元具有空间可重复性(见图2 ) 。 首先作如下假设:设问题同时与宏观变量x和 微观变量y有关,其中y =x / ,是微结构的特征尺 度, 1。所有与微结构有关的物理量g ( x )都可表 示为g ( x ) =g ( x , y ) , y =x / 。由于材料的微结构在 微观尺度上的周期重复,所以假设物理量g ( x , y )在 微观尺度y上都是以T为周期的周期函数(这种
13、性 质称为Y-周期性) ,即 g ( x , y +T) =g ( x , y ) 再假设g ( x , y )可用渐近展开式表示,即 g ( x , y ) =g0x , y ) + g1( x , y ) + 2 g2( x , y ) +。 图2微结构及其周期性 F i g2 Mi c r o s t r u c t u r ea n dp e r i o d i c i t y 图3所示结构的线弹性问题的虚功方程为 E i j k l u k xl vi xj d = f ivid + t tivid + S p ivid S ( 1 )其中: f 为体力; t i为面力; p i为胞
14、元空洞的孔边界 力(见图3 ) ; v i为任一个满足强制边界条件的函数, K为胞元的固体部分, S为胞元的孔边界。 图3具有微结构的复合材料结构 ( a )宏观结构;( b )基础胞元 F i g3 T h ec o mp o s i t es t r u c t u r ew i t hmi c r o s t r u c t u r e ( a )ma c r o s t r u c t u r e ,( b ) u n i t c e l l 97 第1期侯亚君等。松质骨弹性模量与表观密度关系-基于杆- = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
15、 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 杆结构和带孔板结构相结合的模型 i j=E i j k 1e k l e k l= 1 2 u k xl + u l x()k E i j k l为弹性矩阵, 且满足 E i j k l=E j i k l=E i j l k=E k l i j 0 : E i j k lei jek l= ei jek l ei j=ej i 令 0 ,利用摄动理论,由( 1 )得到均匀化后的 平衡方程或等效平衡方程: E H
16、i j k l u 0 k xl vi xj d = b ivid + t tivid + i j v i xj d ( 2 ) 其中: E H i j k l= 1 | Y|K( E i j k l-Ei j p q x k l p yq) d Y- 称为均匀 化弹性张量或等效弹性张量; ( 3 ) i j= KE i j k l k yl d Y-称为孔内作用力p i引起的 平均“残余“应力; ( 4 ) bi= 1 | Y|Kf id Y-称为平均体力( 5 ) x和由下面两式确定 KE i j p q x k l p yq vi yj d Y = KE i j k l v i d yj
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