数字逻辑 第二章 逻辑代数基础.ppt
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1、(第八讲),数 字 逻 辑,第二章 逻辑代数基础,学习要求: 掌握逻辑代数的基本概念,学会用逻辑函描述逻辑问题的基本方法。 掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规则; 学会用代数法化简逻辑函数; 熟练掌握用卡诺图化简逻辑函数。,2.1 逻辑代数的基本概念,逻辑代数是一个由逻辑变量集K,常量0和1以及“与”、“或”、“非”3种基本运算构成的一个封闭的代数系统,记为L=K, +, , -, 0, 1。它是一个二值代数系统。常量0和1表示真和假,无大小之分。 该系统满足下列公理:,2.1,公理1 交换律 A+B=B+A, A B=B A,公理2 结合律 (A+B)+C=A+(B+C), (A B) C
2、=A (B C),公理3 分配律 A+ ( B C ) =(A+B) (B+C), A ( B+C ) =A B+A C,公理4 01律 A+ 0 =A, A 1=A A+1=1, A 0=0,,2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑变量:仅取值0或取值1的变量。这里0和1无大小之分,实际上代表着矛盾的双方或事件的真假,例如开关的接通与断开,电压的高和底,信号的有和无,电灯的亮和灭等等。 只要是两种稳定的物理状态,都可以用0和1这两种不同的逻辑值来表征。,2.1.1,一、“或“运算,如果决定某一事件发生的多个条件,只要有一个或一个以上的条件成立,事件便可发生,这种因果关系称之为“或“逻辑。在
3、逻辑代数中,“或“逻辑关系用“或“运算描述。“或“运算又称逻辑加,其运算符为“+“或“ “,两个变量的“或“运算可表示为: F=A+B 或者 F=AB,读作“F等于A或B“,其中A、B是参加运算的两个逻辑变量,F为运算结果。意思是:只要A、B中有一个为1,则F为1;仅当A、B均为0时,F才为0。,“或“运算表,由“或”运算的运算表可知 “或”运算的法则为:,0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1,实现“或“运算的逻辑电路称为“或“门。,二、“与“运算,如果决定某一事件的发生的多个条件必须同时具备,事件才能发生,这种因果关系称为“与“逻辑。逻辑代数中“与“逻辑关系用“与“运算描述。“与“
4、运算又称逻辑乘,其运算符为“或“。两变量的“与“运算可表示为 FA B 或者 F=AB 读作“F等于A与B“,意思是若A B 均为1,则F为1;否则F为0。,“与“运算表,由“与”运算的运算表可知 “与”运算法则为:,0 0 = 0 1 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1,实现“与”运算的逻辑电路称为“与”门。,三、“非“运算,如果某一事件的发生取决于条件的否定,则这种因果关系称为“非“逻辑。“非“逻辑用“非“运算描述。“非“运算又称求反运算,运算符为“或“. “非“运算可表示为,读作“F等于A非“,意思是若A0,则F为1;反之,若A=1, 则F为0。,“非“运算表,由“非”运算的运算
5、表可知 “非”运算法则为:,实现“非”运算的逻辑电路称为“非”门。,2.1.2 逻辑函数,一、逻辑函数的定义,设某一电路的输入逻辑变量为A1, A2, , An , 输出逻辑变量为F。如果当A1, A2 , , An 的值确定后,F的值就唯一地被定下来,则F称为A1, A2, , An , 的逻辑函数,记为 F=f (A1, A2, , An),逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述。,与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点: 1)逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1; 2)逻辑函数与逻辑变量的关系由“或”、 “与”、“非”运算决定。,2.1.2,二、逻辑函数的相等,设有两个逻辑函数,F1=f1
6、(A1, A2, , An) F2=f2 (A1, A2, , An),若对应于A1, A2, , An的任何一组取值, F1 和F2的值都相同, 则称函数F1和函数F2相等, 记作F1= F2,亦称函数F1与F2等价。,2.1.3 逻辑函数的表示法,一、逻辑表达式,由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。,进行“非“运算可不加括号, 如,“与“运算符一般可省略, AB可写成AB.,可根据先“与“后“或“的顺序去括号, 如: (AB)(CD)ABCD,例:,逻辑表达式书写省略规则:,2.1.3,二、真值表,真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格.,三、卡
7、诺图,卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。,2.2 逻辑代数的基本定理和规则,2.2.1 基本定理,定理1 000 101 011 111 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1,2.2.1,定理2(重叠律) AAA A A A,定理3(吸收律) AA BA A ( A +B)A,2.2.2 逻辑代数的重要规则,一、代入规则,任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F,则等式仍然成立。,2.2.2,二、反演规则,如果将逻辑函数F中所有的“ “变成“+“, “+“变成“ “, “0“变成“1“, “1“变成“0“, 原变量变成反变量,反变量变成原变量,
8、所得到的新函数是原函数的反函数,使用反演规则时, 应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。,例如:已知,三、对偶规则,如果将逻辑函数F中所有的“ “变成“+“, “+“变成“ “, “0“变成“1“, “1“变成“0“, 则所得到的新逻辑函数F的对偶式F。如果F是F的对偶式,则F也是F 的对偶式,即F与F互为对偶式。,求某一函数F的对偶式时,同样要注意保持原函数的运算顺序不变。,对偶规则:若两个逻辑函数F的G相等,则其对偶式F 和G 也相等。,吉林大学远程教育课件,(第九讲),主讲人 : 魏 达,学 时:48,数 字 逻 辑,2.3 逻辑函数表达式的形式与变换,2.3.1 逻辑函数表达式的基
9、本形式,两种基本形式:“积之和“表达式与“和之积“表达式.,2.3.1,2.3.2 逻辑函数表达式的标准形式,一、最小项,如果一个具有n个变量的函数的“积“项包含全部n个变量, 每个变量都以原变量或反变量形式出现, 且仅出现一次,则这个“积“项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成, 那么该函数表达式称为标准“积之和“表达式, 即“最小项之和“.,2.3.2,三变量函数的最小项:,=m2+ m3+ m6+ m7,注意:变量的顺序.,即n个变量的所有最小项之和恒等于1。,所以,= m(2, 3, 6, 7),最小项的性质:,1)当函数以最小项之和形式表示时,可很容易列出 函数及反函数的真值
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