统计推断准备.ppt
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1、第一章 统计推断准备,0.预备知识 0.1 大数定律与中心极限定理 阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律,而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。 0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 和方差 ,则对任意 ,有,0.1.2大数定律 定义:若 随机变量序列,如果存在常数列 使得对任意的 有 成立,则称随机变量序列 服从大数定律. 定理1(贝努里大数定律)设 是n重贝努里试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为p(0p1),则对任意的 ,有:,定理2(车贝雪夫大数定律)设 是一列两两不相关的随机变量,又设他们的方差
2、有界,既存在常数C0,使有 则对任意的 ,有 例1.: 设 为独立同分布的随机变量序列,均服从参数为 的泊松分布 则 定理3(辛钦大数定律)设 是一列独立同分布的 随机变量,且数学期望存在, 则对任意的 有,0.1.3.中心极限定理 定理1(林德贝格-勒维定理)若 是独立同分布 的随机变量序列,且 则随机变 量 ,其中 的分布函数 对一切x, 有: 即随机变量 渐近地服从标准正态分布。 定理2(德莫佛-拉普拉斯定理)设 是n重贝努里试验中事件A出现的次数,而0p1是事件A在每次试验中出现的概率,则 渐近的服从正态分布 ,其中q=1-p或,例2:有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米
3、,现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是多少? 例3:某车间有200台车床,独立工作,开工率为0.6,开工时耗电各为1000瓦,问供电部门至少要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产。 例4:一加法器,同时收到20个噪声电压 设他们是相互独立的,且在区间(0,10)上服从均匀分布的随机变量,记 ,求,1基本概念 1.1总体与样本,总体:研究对象的全体,记为X或 ,是指一个随机变量。 个体:组成总体的每个单元。 样本:就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 ,i=1,2,n,所组成的n维随机变量 样本值:每一次具体
4、的抽样所得的数据就是n个随机变量的值(样本值)用小写字母 表示。 注:样本具有双重性,即它本身是随机变量,但一经抽取便是一组确定的具体值。 定义:若随机变量 相互独立且每个 ,i=1,2,n,与总体 有相同的概率分布,则称随机变量 为来自总体 的容量为n的简单随机样本,称 ,i=1,2,n为样本的第i个分量。若 有分布密度 (或分布函数 )则 称 是来自总体 (或 )的样本.,1.2统计量 定义:设 为总体 的一个样本, 为一个实值函数,如果T中 不包含任何未知参数,则称 为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。 例如:总体 ,a已知, 未知, 为 的一个样本,则 是统计量,但 不是统计量。
5、1.3顺序统计量及经验分布 1.3.1顺序统计量 设 为总体, 的一个样本,将其诸分量 ,i=1,2,n,按由小到大的次序重新排列为 ,即 ,称 为总体的第k个顺序统计量(次序统计量),特别 称为最小项统计量, 为最大项统计量。,例1.5:设有一个总体,它以等概率取0,1,2三个值,现从此总体中取容量为2的一个样本 , 列出样本 所有可能取值情况和相应的次序统计量 的情况。,1.3.2经验分布 由给定的样本 定义一个函数, 此函数的性质: (1)当样本固定时,作为x的函数是一个阶梯形的分布函数, 恰为样本分量不大于x的频率。 (2)当x固定时,它是一个统计量,其分布由总体的分布所确定。 即 (
6、二项分布) 称 为总体对应于样本 的经验分布函数。,1.4常用的一些统计量 1.4.1样本的分位数 设 为总体, 为样本, 为顺序统计量,定义 称 为样本的 分位数。当 =1/2时,称 为样本的中位数。(也用 表示) 例1.6:若 (1.5,2.0,4.0,0,8,3.5,9), 则 ? 1.4.2.样本的极差 称为样本的极差,1.4.3样本分量的秩 若 ,则称 的秩为j,记作 ,它表示样本第 个分量 ,处于顺序统计量中的位次。 1.4.4.样本矩 设 为总体 取出的容量为n的样本, 统计量 叫样本均值; 统计量 叫样本方差 (而称 叫修正的样本方差); 统计量 ,(r =1,2,)叫样本的r
7、阶原点矩; 统计量 ,(r =1,2,)叫作样本的r阶中心矩。,1.4.5二元总体的样本矩 设 为二元随机变量, , , 为其 样本,称 为 的边际样本方差; 为 的边际样本方差; 为样本的协方差; 为样本的相关系数。,2.常用统计量的抽样分布 2.1顺序统计量的分布(次序统计量) 2.1.1定义 设( )是来自总体 的一个样本, ( )是该样本的一组观察值,将它按由小到大的次序排列成 ,如果规定 的取值为 , k=1,2,n,则称 为( )的一组次序统计量,而称 为第k个次序统计量。(见 1.3.1) 2.1.2连续型总体次序统计量的分布(仅给出结论) 定理2.1设总体 , , 为 的一个样
8、本,则第k个次序统计量 的概率密度函数为: 分布函数为:,特别: 当k=1时,得样本极小值 的分布密度与分布函数为: 当k=n时,得样本极大值 的分布密度与分布函数为:,定理2.2 设总体X的分布函数为 ,概率密度函数为 , 为X的一个样本,则第k个次序统计量与 第r个次序统计量的联合概率密度函数为(kr) 定理2.3设总体X的分布函数为 ,概率密度函数为 , 为X的一个样本,则S个次序统计量 的联合概率密度为,定理2.4(定理2.3的特殊情形)设总体X的分布函数为 , 概率密度函数为 , 为X的一个样本, 则前r个次序统计量 的联合概率密度函数 为( ) 特别:当r=n时,得n个次序统计量
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