(高等数学)代数、三角公式与初等函数.pdf
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1、 第一章 代数、三角公式与初等函数 第一章 代数、三角公式与初等函数 这里收集和整理了初等代数(代数方程部分见第三章), 平面三角与球面三角的一些常用 公式,同时也介绍了一些常见的初等函数(一个实自变量)的简单性质与图形,所以本章基本 上包括了中等学校里的代数学和三角学的主要内容. 1 代 数 公 式 1 代 数 公 式 一、 数的扩张、分类及其基本运算规则 1. 数的扩张与分类表 2. 实数四则运算规则 加减法规则 同号两数相加,绝对值相加,符号与加数同;异号两数相加,绝对值相减 (大的减小的),符号与绝对值大的加数同;任何实数和零相加,等于实数本身.减法是加法的 逆运算,两个数相减只要把减
2、数变成同它符号相反的数,即可按加法规则运算. 乘除法规则 同号两数相乘,绝对值相乘,符号为正;异号两数相乘,绝对值相乘,符 号为负;任何数与零相乘等于零;任何数与 1 相乘等于它自己.除法是乘法的逆运算,同号两 数相除,绝对值相除,符号为正;异号两数相除,绝对值相除,符号为负;任何数除以 1 等 于它自己;零除以任何不等于零的数等于零;零不能做除数. 四则混合运算规则 先乘除,后加减;先括号内,后括号外. 3. 数的三个基本运算律 交换律 abba+=+baab = 结合律 )()(cbacba+=+ )()(bcacab= 分配律 bcaccba+=+ )( 4. 乘方与开方 乘方 n个数a
3、相乘 n aaaa=L n个 称为a的n次(乘)方,又称为a的n次幂.a称为幂底数,n称为幂指数. 从乘法的符号规则直接得出乘方的符号规则:正数的任何次方为正数;负数的偶次方为 正数;负数的奇次方为负数;零的任何次方为零. 规定不等于零的数的零次方等于 1,即a 0=1,a0. 开平方 若a 2=b,则a称为b的平方根,记为 ba=,求平方根的运算称为开平方.开 平方的一般方法用下面例子说明. 例 求316.4841的平方根. 解 第一步,先将被开方的数,从小数点位置向左右每隔两位用逗号“, ”分段,如把数 316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方
4、不超过第一段数 字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为1 =13 2 .第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,组成第一余数,在 本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20初商+试商)试商不超过第一余数,而20 初商+(试商+1)(试商+1)则大于第一余数.第五步,把第一余数减去(20初商+试商)试商, 并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去, 直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告结束.若余数永远不为零,则只能取某 一精度的近似值.第六步, 定小数点位置, 平方根小数点位置应与被
5、开方数的小数点位置对齐. 本例的算式如下: 开立方 若a 3=b,则a称为b的立方根,记为 3 ba =,求立方根的运算称为开立方. 一个数的平方根和立方根可从“平方根表”和“立方根表”中查到. 5. 实数进位制 进位制的基与数字 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数, 各数字的值与 数字所在的位置有关,任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大 10 倍,当小数点向左 移一位时其值缩小 10 倍.例如 3212 1061041023107101246.173 += 一般地,任一正数 a 可表为 L L LL + += = 2 2 1 1 01 1 1 21011 1010 10101
6、0 aa aaaa aaaaaaa n n n n nn 这就是10进数,记作a(10),数10称为进位制的基,式中ai在0,1,2,L,9中取值,称为10进 数的数字,显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当 作进位制的基,于是就得到q进数表示 LLLL+= 2 2 1 101 1 121011)( qaqaaqaqaqaaaaaaaa n n n nnnq (1) 式中数字ai在0,1,2,L,q-1中取值,anan-1La1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作a(q); a-1a-2L称为a(q)的分数部分,记作a(q).常用进位制,除10进制外,还有2
7、进制、8进制、16 进制等,其数字如下 2进制 0, 1 8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5, 4, 3, 2, 1, 0 2,8,16进制的加法与乘法表 2进制加法表 2进制乘法表 + 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 8进制加法表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 00 01 02 03 04 05 06 07 1 01 02 03 04 05 06 07 10 2 02 03 04 05 06 07 10 11 3 03 04 05 06 07 10 11 12
8、 4 04 05 06 07 10 11 12 13 5 05 06 07 10 11 12 13 14 6 06 07 10 11 12 13 14 15 7 07 10 11 12 13 14 15 16 8进制乘法表 0 1 2 3 4 5 6 7 0 00 00 00 00 00 00 00 00 1 00 01 02 03 04 05 06 07 2 00 02 04 06 10 12 14 16 3 00 03 06 11 14 17 22 25 4 00 04 10 14 20 24 30 34 5 00 05 12 17 24 31 36 43 6 00 06 14 22 30
9、 36 44 52 7 00 07 16 25 34 43 52 61 16进制加法表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 00 01 02 0304 05 06070809 001020 30 4050 1 01 02 03 0405 06 070809 000120 30 40 50 10 2 02 03 04 0506 07 0809 0010 203040 50 1011 3 03 04 05 0607 08 09 0010 203040 50 10 1112 4 04 05 06 0708 09 0010 20304050 10 11 1213 1
10、6进制加法表 5 05 06 07 0809 00 10 20304050 10 11 12 1314 6 06 07 08 09 00 10 20304050 1011 12 13 1415 7 07 08 09 00 10 20 304050 101112 13 14 1516 8 08 09 00 10 20 30 4050 10111213 14 15 1617 9 09 00 10 20 30 40 50 1011121314 15 16 1718 0 00 10 20 30 40 50 101112131415 16 17 1819 1 10 20 30 40 50 10 1112
11、13141516 17 18 19 01 2 20 30 40 50 10 11 121314151617 18 19 0111 3 30 40 50 1011 12 131415161718 19 01 1121 4 40 50 10 1112 13 141516171819 01 11 2131 5 50 10 11 1213 14 1516171819 01 11 21 3141 16 进制乘法表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 00 00 00 0000 00 000000000000 00 00 0000 1 00 01 02 0304 05
12、06070809 001020 30 4050 2 00 02 04 0608 00 2040 10121416 18 01 2141 3 00 03 06 09 20 50 121518 1141 21 24 27 0232 4 00 04 08 20 10 14 18 21 202428 22 30 34 38 23 5 00 05 00 50 14 19 41 2328 32 3237 23 41 46 14 6 00 06 20 1218 41 24 02 3036 23 42 48 44 54 05 7 00 07 40 15 21 23 02 3138 53 46 34 54 15
13、 6269 8 00 08 10 1820 28 303840485058 60 68 7078 9 00 09 12 11 24 32 36 53 4851 05 63 26 75 47 87 0 00 00 14 41 28 32 23 4650 05 64 46 78 82 28 96 1 00 10 16 21 22 37 42 34 5863 46 79 84 58 0950 2 00 20 18 2430 23 485460 26 7884 90 29 8041 3 00 30 01 2734 41 4415 687582 58 29 90 6132 4 00 40 21 02 3
14、8 46 546270 472809 80 61 4223 5 00 50 41 32 23 14 05 69788796 50 41 32 2314 8-2,16-2数字转换表 8进数 0 1 2 3 4 5 6 7 2进数 000 001 010 011 100 101 110 111 16进数 0 1 2 3 4 5 6 7 2进数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 16进数 8 9 0 1 2 3 4 5 2进数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 各种进位制的相互转换 1 q?10转换 适用通常
15、的10进数四则运算规则,根据公式(1),可以把q进数a(q)转换为 10进数表示.例如 )10( 32123 )2( )10( 2 )8( 625.11 2120211212021101.1011 48333244838487743 = += =+=+= 2 10?q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是: (1) 用q去除a(10),得到商和余数. (2) 记下余数作为q进数的最后一个数字. (3) 用商替换a(10)的位置重复(1)和(2)两步,直到商等于零为止. 对于分数部分其步骤是: (1)用q去乘a(10). (2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第
16、一个数字. (3)用乘积的分数部分替换a(10)的位置,重复(1)和(2)两步,直到乘积变为整数为止,或 直到所需要的位数为止.例如: 103.118(10)=147.074324L(8) 整数部分的草式 分数部分的草式 3 p?q转换 通常情况下其步骤是:a(p)?a(10)?a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂,其步骤 是:a(p)?a(s)?a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,由于8=23,16=24,所以s=2,其 步骤是:首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组) 127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2
17、) 然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对 应的16进数的数字,即 )10()2()8( 583.57100001011101.01110101653.127= 二、复数 1. 复数的概念 实部与虚部模与辐角共轭复数 复数z一般表示为z=a+ib,其中1=i称为虚数 单位,a和b均为实数,分别称为z的实部和虚部,记为a=Re z,b=Im z. 两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等. 22 baz+=称为复数z的模. a b ztgArcArg=称为复数z的辐角,所以,一个复数有无穷多个辐角,但其中一个叫做主 辐角,记为arg z,它满足 0
18、arg z + = + k aa a kk k 3等比数列与等比(几何)级数 a1, a1q, a1q2, a1q3, L (q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数,又称几何级数. 通项公式 1 1 = n n qaa 前n项和 q qaa q qa S n n n = = 11 )1 ( 11 等比中项 )0( 1111 = +kkkkk aaaaa 无穷递减等比级数的和 = r) rn d r rnnn d nn dnaa ! )()2)(1( ! 2 )2)(1( ) 1( 211 + += L L 前n项和 rn d r rnnnn d nnn d nn
19、naS )!1( )()2)(1( ! 3 )2)(1( ! 2 ) 1( 211 + + + += L L 7某些级数的部分和 ) 1( 2 1 321+=+nnnL ) 12)(1( 6 1 321 2222 +=+nnnnL 223333 ) 1( 4 1 321+=+nnnL ) 133)(12)(1( 30 1 321 24444 +=+nnnnnnL ) 122() 1( 12 1 321 2225555 +=+nnnnnL ) 1363)(12)(1( 42 1 321 346666 +=+nnnnnnnL )2463() 1( 24 1 321 234227777 +=+nnn
20、nnnnL + =+ 为偶数 为奇数 n n nn n n , 2 ),1( 2 1 ) 1(321 1 L ) 1( 2 1 ) 1() 1(321 121222 +=+ nnn nn L + + =+ 为偶数 为奇数 nnn nnn n n ),32( 4 1 ,) 1)(12( 4 1 ) 1(321 2 2 31333 L ) 1)(1( 2 1 ) 1() 1(321 2141444 +=+ nnnnn nn L ) 1(2642+=+nnnL 2 ) 12(531nn=+L ) 14( 3 1 ) 12(531 22222 =+nnnL ) 12() 12(531 223333 =
21、+nnnL )2)(1( 3 1 ) 1(433221+=+nnnnnL )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(543432321+=+nnnnnnnL )4)(3)(2)(1( 5 1 )3)(2)(1(54324321+=+nnnnnnnnnL )!1( )!1( 2 1 )() 1( 1 + + =+ = n kn k kjjj n j L )53)(2)(1( 12 1 ) 1( 1 2 +=+ = nnnnjj n j ) 32)(3)(2)(1( 10 1 )2() 1( 1 2 +=+ = nnnnnjjj n j ) 1( 4 1 )( 22 1 22 = = nnjnj n
22、 j 4)2(2) 1(2 21 1 +=+ + = nnjj n n j j 11 1 1 ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 + = + = + + + + n n nnn L )2)(1(2 1 4 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 + = + + + + nnnnn L ) 3)(2)(1(3 1 18 1 ) 3)(2)(1( 1 6543 1 5432 1 4321 1 + = + + + + nnn nnnn L ) 1(2 1 2 1 4 3 1 1 ) 1)(1( 1 2 2 2 + = = + = nnjjj n j n j 12) 12)(
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