(高等数学)积分学.pdf
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1、 第六章第六章 积积 分分 学学 这一章综述了单变量函数的常义积分、广义积分、含参数积分的基本概念、性质和计算 方法,收集了求不定积分、定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分的有关公式,主要的积 分不等式以及积分的某些近似计算公式,简要地列举了积分在实际中的各种应用;编制了不 定积分表和定积分表. 单变量函数的积分单变量函数的积分 一、 积分基本概念 不定积分(原函数) 如果在给定的区间a ,b上 )()(xfxF= 那末 F (x)称为 f(x)在区间a,b上的一个原函数. 如果 f (x)有一个原函数 F (x),那末它一定有无穷多个原函数,它们是形如 F xC( )+ (式中C是任意常数)
2、的函数族,所以用记号 CxFxxf+= )(d)( 表示 f (x)的原函数全体,称为 f (x)的不定积分. 定积分黎曼积分 设在区间a,b上给定了函数 f (x).用任意方法把区间a,b分成若 干部分,其分点为bxxxxxxa nii =1, k , 11 1 kk += ,则 b a xxgxfd)()( () ()k b a k k b a k xxgxxf 1 1 d| )(|d| )(| 等号只当 f(x)g(x)符号固定且|(为正常数)时成立,当时,就 是施瓦兹不等式. ( )| ( )| f xc g x k = k 闵可夫斯基不等式 设 r0,则 ()r b a r xxgx
3、f 1 d| )()(| + r b a r r b a r xxgxxf 11 )d| )(|()d| )(|( + (r1) + b a r r xxgxf 1 )d| )()(|( r b a r r b a r xxgxxf 11 )d| )(|()d| )(|( + (r,则 00 d)( () 1 (d) )( (xxf p p x x xf ppp 等号只当 f(x)时成立. 三、 原函数的求法 不定积分法则 , Cxfxxf+= )(d)( Cxfxxf+= )( d)( +=+xxgbxxfaxxbgxafd)(d)(d)()( (a,b 为常数) (线性运算) =tttfx
4、xfd)( )(d)( (变量替换) =xuuxud d (分部积分) Cxfxxf+= )()(d)( (配元积分) 有理分式的积分 化成基本真分式法 设 R(x)是一个具有实系数的真分式,则 R(x)的积分可化成它分 解出的基本真分式(第一章,)的积分,并且 )( )( )( )()(d)( 1 1 1 xH xQ xP xHxRxxR+=+= 式中仍为一有理函数, 并且还是真分式, H(x)一般是超越函数 (对数函数和反正切函数) . )( 1 xR 奥斯特洛格拉特斯基方法 任一真分式 P x Q x ( ) ( ) 的积分可以写为 x xQ xP xQ xP x xQ xP d )(
5、)( )( )( d )( )( 2 2 1 1 += 式中 P x Q x 1 1 ( ) ( ) , P x Qx 2 2 ( ) ( ) 为真分式, 121 11 211 2 1 11 )()()()()()( 121 += nm l nn lk m kk qxpxqxpxaxaxaxxQLL )()()()( 2 11 2 212nnm qxpxqxpxaxaxaxxQ+=LL QQQ 12 = )( 1 xP和的系数可利用待定系数法从关系式 )( 2 xP )( )( )( )( )( )( 2 2 1 1 xQ xP xQ xP xQ xP + = 中求出. 有理函数积分的变量替换
6、公式表 表中 R 表示有理函数 积分类型 变量替换公式 txdd + + x ecx bax xR n d, (n 为整数) ( )x ecx bax ecx bax xR m n d, , L + + + + (m,n 为整数) n n n cta etb x t ecx bax = = + + , r r r cta etb x t ecx bax = = + + , 式中r为n,m,的最小 公倍数 t cta tbcaen x n n d )( )( d 2 1 = t cta tbcaer x r r d )( )( d 2 1 = xcbxax xR d) ,( 2 + a0 时 c
7、0 时 bta ct x xatcbxax + = =+ 2 2 2 at bt c x cxtcbxax = +=+ 2 2 2 t bt a acbtt a xd )2( 2d 2 2 + + = t at cabtt c xd )( 2d 22 2 + = )04( )( 2 2 = + acb xxa cbxax = =+ 2 2 2 ),( t at x axtcbxax t at at xd )( )(2 d 22 = () +xaxxRd, 22 () xxaxRd, 22 () xaxxRd, 22 t a ax tax cos ,tan 22 =+ = (或x=asht, t
8、aaxch 22 =+) taxa tax cos ,sin 22 = = (或x=acost, taxasin 22 =) taax tax tan ,sec 22 = = (或x=acht, taaxsh 22 =) t t a xd cos d 2 = (或dx=achtdt) ttaxdcosd= (或dx=-asintdt) t t ta xd cos sin d 2 = (或dx=-ashtdt) 积分类型 变量替换公式 txdd xbax bax baxR d)( , ,)( ,)( + + + L (式中,L为分数) 设m为,L的分 母的最小公倍数, a bt x tbax m
9、 m = =+,)( 1 tt a m x m dd 1 = () xxxRdsin,cos 2 2 2 1 1 cos , 1 2 sin , 2 tan t t x t t x t x + = + = = t t xd 1 2 d 2 + = () xxxRdsin,cos 22 2 2 2 2 2 1 1 cos , 1 sin ,tan t x t t x tx + = + = = t t xd 1 1 d 2 + = 4不定积分表 表中略去积分常数,ln g(x)是指ln |g(x)|. 基本积分表 )(xf xxfd)( k (常数) kx n x ) 1(n 1 1 + + n
10、xn x 1 lnx x e x e x a (a0) a a x ln xsin xcos xcos xsin xtan xcosln xcot xsinln xsec ) 42 tan(ln + x 或)tanln(secxx + xcsc 2 tanln x 或)cotln(cscxx x 2 sin xx x cossin 2 1 2 x 2 cos x 2 tan x 2 cot x 2 sec x 2 csc xsh xx x cossin 2 1 2 + xx tan xx cot xtan xcot xch )(xf xxfd)( xch xsh thx xchln cthx
11、xshln sechx )arcsin(th x cschx 2 thln x x 2 sech thx x 2 csch -cthx 22 1 xa + (a0) a x a arctan 1 22 1 xa (|x|a|) a x a Arcth 1 或 ax ax a+ ln 2 1 22 1 xa a x arcsin 22 xa a xa xa x arcsin 22 2 22 + 22 1 ax + a x Arsh或)ln( 22 axx+ 22 ax + a xa ax x Arsh 22 2 22 + 或)ln( 22 22 2 22 axx a ax x + 22 1 ax
12、 a x Arch或)ln( 22 axx+ 22 ax a xa ax x Arch 22 2 22 或)ln( 22 22 2 22 axx a ax x + 22 1 xax x a a Arch 1 或 x xaa a 22 ln 1+ 22 1 axx+ 22 1 axx 2 2 1 xax 2 2xax x a a Arsh 1 或 x axa a 22 ln 1+ | arccos 1 x a a 或 a x a | secarc 1 )1arccos( a x 或) 1arcsin( a x ) 1arcsin( 2 2 2 )( 2 2 + a xa xax ax 含ax+b
13、的有理式的积分 (0, 0ba) )(xf xxfd)( n bax)(+ ) 1(n ) 1( )( 1 + + + na bax n bax + 1 )ln( 1 bax a + 2 )( 1 bax + )( 1 baxa+ 3 )( 1 bax + 2 )(2 1 baxa+ )2, 1()(+nbaxx n ) 1( )( )2( )( 2 1 2 2 + + + + + na baxb na bax nn bax x + )ln( 2 bax a b a x + 2 )(bax x + )ln( 1 )( 22 bax abaxa b + + 3 )(bax x + )( 1 )(
14、2 222 baxabaxa b + + n baxx)( 2 + () 3, 2, 1n 1 )( 2 )( 2 3 )( 1 1 2 23 3 + + + + + + + + n bax b n bax b n bax a nnn bax x + 2 )ln()(2)( 2 1 1 22 3 baxbbaxbbax a + 2 2 )(bax x + + + bax b baxbbax a 2 3 )ln(2 1 3 2 )(bax x + nm baxx)(+ () 01, 0+nmm )( 1 baxx+ )( 1 2 baxx+ + + + 2 2 3 )(2 2 )ln( 1 ba
15、x b bax b bax a + + + + xbaxxmb baxx nma nm nm d)( )( ) 1( 1 1 1 或 + + + + xbaxxnb baxx nm nm nm d)( )( 1 1 1 1 或 = + + + + n k kn k m bax nmkn knmnb x 0 1 )( )!1()!( )!( ! x bax b + ln 1 x bax b a bx + +ln 1 2 )(xf xxfd)( )( 1 3 baxx+ x bax b a xb bax+ ln 2 2 3 2 22 2 )( 1 baxx+ x bax bbaxb + + ln
16、1 )( 1 2 3 )( 1 baxx+ + + + x bax bax bax b ln 2 2 11 2 3 22 )( 1 baxx+ x bax b a baxxb bax+ + + + ln 2 )( 2 32 含bax +的积分 (0, 0ba) )(xf xxfd)( bax + baxx+ baxx+ 2 baxx+ 3 baxxn+ 3 )( 3 2 bax a + 3 2 )( 15 )23(2 bax a bax + 3 3 222 )( 105 )81215(2 bax a babxxa + + 3 4 322233 )( 315 )16243035(2 bax a
17、bxabbxaxa + + + + + + xbaxx an nb bax an x n n d ) 32( 2 )( ) 32( 2 13 或 = + + + + + n k k kn n bax kknk bn bax a 0 1 1 )( ) 32()!( ! )( !2 bax + 1 bax a + 2 bax x + bax a bax + 2 3 )2(2 bax x + 2 bax a babxxa + + 3 222 15 )843(2 bax x + 3 bax a bxabbxaxa + + 4 322233 35 )16865(2 bax xn + x bax x an
18、 nb bax an x nn d ) 12( 2 ) 12( 2 1 + + + 或 = + + + + n k k k k n n bax kknkb n bax a b 0 1 )( ) 12()!( ! !) 1()(2 baxx+ 1 () 0b bbax bbax b+ + ln 1 baxx+ 1 (0n + + baxx x bn an bxn bax n n 1 1 d ) 1(2 )32( ) 1( x bax + + + baxx x bbax d 2 n x bax + ) 1(n + + x x bax bn an bxn bax nn d ) 1(2 )52( )
19、1( )( 11 3 )2()(+nbax n 2 )( )2( 2 + + + n bax na )2( )( 1 + n bax n 2 )( 1 )2( 2 + n bax na n baxx)(+ n bax x )(+ + + + + +24 2 )( 2 )( 4 12 nn bax n b bax na + + 42 2 )( 1 4 1 )( 1 2 2 nn bax n bax n b a n baxx)( 1 + + + nn bax x b a baxx x b )( d )( d1 2 x bax n )(+ x x bax bxbaxa n n d )( d)( 2
20、2 + + 含的积分 )(),(dcxbax+ )(xf xxfd)( )( )( 1 bcad dcxbax + dcx bax bcad+ + ln 1 )( )()( 1 2 bcad dcxbax + + + + + dcx bax bcad c baxbcad ln 11 ), 1, 0( )()( 1 bcadnm dcxbax nm + + + + 1 11 )()( d )2( )()( 1 )(1( 1 nm nm dcxbax x nma dcxbaxbcadn nm dcxbax)()(+ + + + + xdcxbaxbcadn dcxbax anm nm nm d)(
21、)()( )()( ) 1( 1 1 1 )(xf xxfd)( n m dcx bax )( )( + + )( )( bcad dcxbax x + + + + + + + x dcx bax anm dcx bax bcadn n m n m d )( )( )2( )( )( )(1( 1 1 1 1 或 + + + + + x dcx bax bcadm dcx bax cnm n m n m d )( )( )( )( )( ) 1( 1 1 1 + dcx c d bax a b bcad lnln 1 )( )()( 2 bcad dcxbax x + + + + +dcx b
22、ax bcad d baxa b bcad ln )( 1 bax dcx + + baxacxbcad a +)23( 3 2 2 ), 0(bcadc dcx bax + + bcad baxc c bcad c bax c + + )( arctan 22 ), 0(bcadc dcx bax + ac dcxbax )( )( Arth 2 dcxa baxc ac + + )0( 1 + ca cax )arctan( 1 c a x ac )0, 0( 1 2 + n cax n + + + 1212 )( d ) 1(2 )32( )(1(2 nn cax x nc n caxn
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