(高等数学)积分方程.pdf
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1、 第十五章第十五章 积分方程积分方程 积分方程论是泛函分析的一个重要分支,它是研究数学其他学科(例如偏微分方程边值 问题)和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程,重点介绍弗雷德霍姆 积分方程的性质和解法;并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程;此外, 还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核,并举例说明近似解法;最后考察了一个非线 性积分方程。 1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程 一. 积分方程一般概念 1. 积分方程的定义与分类 线形积分方程 在积分号下包含未知函数 y(x)的方程 ( )( )( ) ()(),d b a x y
2、 xF xK xy=+ ) (1) 称为积分方程。 式中(x),F(x)和 K(x,)是已知函数,,a,b 是常数, 变量 x 和可取区间(a,b) 内的一切值;K(x,)称为积分方程的核,F(x)称为自由项,称为方程的参数。如果 K(x,) 关于 x,是对称函数,就称方程(1)是具有对称核的积分方程;如果方程中的未知函数是一次 的,就称为线性积分方程,方程(1)就是线性积分方程的一般形式;如果 F(x)0 ,就称方程 (1)为齐次积分方程,否则称为非齐次积分方程。 一维弗雷德霍姆积分方程(Fr 方程) 第一类 Fr 方程 ()()(,d b a K xyF x= 第二类 Fr 方程 ()()
3、()(),d b a y xF xK xy=+ 第三类 Fr 方程 ()()()()(),d b a x y xF xK xy=+ 1 n 维弗雷德霍姆积分方程 11 ()()()()(),d D P y PF PK P P y PP=+ 称为n维弗雷德霍姆积分方程,式中D是n维空间中的区域,P,P1D,它们的坐标分别是 (x1,x2,L,xn)和,(P)=(x),( 21n xxxL 1,x2,L,xn),F(P)=F(x1,x2,Lxn)和K(P,P1)=K(x1,x2,L,xn, 是已知函数,f(P)是未知函数。 ), 21n xxxL 关于 Fr 方程的解法,一维和 n(1)维的情况完
4、全类似,因此在以后的讨论中仅着重考虑 一维 Fr 方程。 沃尔泰拉积分方程 如果积分上限 b 改成变动上限,上面三类 Fr 方程分别称为第一、 第二、第三类沃尔泰拉积分方程。 由于第三类 Fr 方程当(x)在(a,b)内是正函数时,可以化成 ()() ()()()() ()()() , d b a F xK x x y xy xx =+ 它是含有未知函数),()(xyx以 )()( ),( x xK 为积分方程的核的第二类 Fr 方程。所以本章重点 研究一维第二类 Fr 方程。 2. 积分方程与微分方程之间的关系 某些积分方程可化为微分方程,也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微 分
5、方程的初值问题: 2 2 00 ()()() ()() dd dd , yy A xB x yf xx yyyy += = x (2) 若从方程(2)中解出 2 2 d d x y ,然后在区间(a,x)上对x求积分两次,利用初始条件,经过简单的 计算不难得出*, += x a yABxAxyd)()()()()()( 000 )()(d)()(yxyyAfx x a + 令 )()()()(),(AABxxK= 和 000 0 )()(d)()()(yxyyAfxxF x += 上式就可写为如下的形式: (3) )(d)(),()(xFyxKxy x a += 这是一个第二类沃尔泰拉方程,核
6、 K 是 x 的线性函数。 例1 初值问题 = =+ 0)0(, 1)0( )( d d 2 2 yy xfy x y (4) 变为积分方程 (5) += xx fxyxxy 00 d)()(1d)()()( 反之,应用积分号下求导法则,微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其 第一次求导的结果中令 x=a,就得给定初始条件。在例 1 中,对(5)式求导,得出 += xx fy x y 00 d)(d)( d d (6) 再求导一次得出原微分方程(4),并从方程(6)和(5)给出初始条件 y(0)=1, 0)0(= y 对于边值问题,方法类似,先考虑一个简单的例子。 例2
7、从问题 * 在计算过程中应用了公式 1 1 ( )dd()( )d (1)! xxx n aaa n n f xxxxf n = LL 1 4 2 43 1 4 243 (n2) 当0)()()( 1 = n fffL时成立。 = =+ 0)(, 0)0( 0 d d 2 2 ayy y x y 出发,积分两次,导出关系式 Cxyxxy x += 0 d)()()( 从此立刻可知条件 y(0)=0 成立。从第二端点条件 y(a)=0 决定 C: = a Caya 0 d)()( 所以有关系式 += xa x ya a x yxa a xy 0 d)()(d)()()( (7) 令 时,LG2=
8、0。 (ii) 函数G满足边界条件,即G1满足在x=a的边界条件,G2满足在x=b的边界条件。 (iii) 函数G在x=连续,即G1()=G2()。 (iv) G的导数以x=为一不连续点,其跳跃是 )( 1 p ,即 )( 1 )()( 12 p GG= 可以证明,若以为参数的这个函数G存在,则原问题的解有如下的形式: (2) d),()(xGy b a = 例如G(x,)可取 0) 则弦的运动是由方程 y=y(x)sin t 描写的周期运动。 设()为弦在点的线性密度,则在时刻t,点与+之间的小弦段除受力p()sin t的 作用外,还受惯性力 2 2 2 d ( )( ) ( ) d y y
9、 t =sin t 的作用,则等式(1)可化为如下的形式: (2) )(d)(),()( 0 xFyxKxy l += 式中 = l pxGxF 0 d)(),()( K(x,)=G(x,)(), =2 如果函数p()给定,那么F(x)也就给定,这样积分方程(2)就是确定函数y(x)的Fr方程。 注意,由于F(x)的定义,有 F(0)=F(l)=0 若密度()=是常数,而F(x)有二阶的连续导数,则方程(2)的解为 )(d)( )( d)( )( )( 0 2 0 0 2 xFy lT lx y lT xl xy l x x + + = 即 )(d)()(d)()()( 2 0 2 xFyl
10、l cx yxl l c xy l x x += (3) 式中 0 T c = 把(3)式微分两次就得到 )()()( 2 xFxycxy += 另一方面,可以证明这个微分方程的任一在x=0及x=l处等于0的解是积分方程(2)的解。 三、 具有可分离核(退化核)的 Fr 方程 可分离核(退化核) 若核K(x,)可分解为如下的形式: = = n k kk gxfxK 1 )()(),( 则称K(x,)为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,L,n)在有关区间上是线性 无关的。 例如,如果核是关于x和的任一多项式,那么这个核就是退化核,核sin(x+)也是退化 核。 具有
11、可分离核的第二类Fr方程解法 具有可分离核的第二类Fr方程 (1) )(d)(),()(xFyxKxy b a += 即 (2) )(d)()()()( 1 xFygxfxy n k b a kk += = 的解法如下,首先设 = b a kk xxyxgcd)()( (k=1,2,L,n) 则 = += n k kk xfcxFxy 1 )()()( 于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,L,cn。 再用gi乘(2)式两边且积分,令 = b a jiij xxfxgad)()(, = b a ii xxFxgbd)()( (i=1,2,L,n , j=
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