2011高考二轮复习文科数学专题八 2第二讲 数形结合思想.ppt
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1、专题八 思想方法,第二讲 数形结合思想,考点整合,以数辅形与以形助数,基础梳理,数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质,整合训练,1(1)(2009年全国卷文)函数ylog2 的图象( ) A关于原点对称 B关于直线yx对称 C关于轴对称 D关于直线yx对称 (2)(2010年安徽卷)设 则a,b,c的大小关系
2、是( ) Aacb Babc Ccab Dbca,答案:(1)A (2)A,代数问题几何化与几何问题代数化,数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题:其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参,合理用参,建立关系,由数思形,以形思数,做好数形转化;第三是正确定参数的取值范围,基础梳理,2(1)方程 的实数解的个数是( ) A2 B3 C4
3、 D以上均不对 (2)(2010年安徽卷)设abc0,二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是( ),整合训练,答案:(1)B (2)D,数形结合解决广泛的数学问题,基础梳理,数形结合思想解决的相关问题 数形结合思想应用广泛,高考试题对数形结合的考查主要涉及: (1)考查集合及其运算问题(韦恩图与数轴) (2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等) (3)考查运用向量解决有关问题 (4)考查三角函数的图象及其应用 (5)解析几何、立体几何中的数形结合,整合训练,3(2010年浙江卷)已知x0是函数f(x)2x 的一个零点若x1(1,x0),x2(x0,),则( ) Af
4、(x1)0,f(x2)0 Bf(x1)0,f(x2)0 Cf(x1)0,f(x2)0 Df(x1)0,f(x2)0,答案:B,高分突破,用数形结合思想解决方程、不等式 及函数的有关性质问题,(1)已知:函数f(x)满足下面关系:f(x1)f(x1);当x1,1时,f(x)x2,则方程f(x)lg x解的个数是( ) A5 B7 C9 D10 (2)设有函数f(x)a 和g(x) x1,已知x4,0时恒有f(x)g(x),求实数a的范围,思路点拨:(1)在同一坐标系中画出yf(x)和ylg x的图象,由它们交点个数判断方程的解的个数; (2)先将不等式f(x)g(x)转化为 然后在同一坐标系中分
5、别作出函数y 和y x1a的图象,移动y x1a的图象使其满足条件,数形结合得要满足的数量关系 解析:(1)由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为0,1的函数又f(x)lg x,则x(0,10),画出两函数图象,则交点个数即为解的个数 由图象可知共9个交点,令y y x1a 变形得(x2)2y24(y0), 即表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆; 表示斜率为 ,纵截距为1a的平行直线系 设与圆相切的直线为AT 则有 解得a5或a (舍去) 要使f(x)g(x)在x4,0时恒成立, 则所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合, 故有a5, a5.,跟踪训练,1已知定义在R上的奇函数f
6、(x),满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_.,解析:因为定义在R上的奇函数,满足f(x4) f(x),所以f(x4)f(x),由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x2对称且f(0)0,由 f(x4)f(x)知f(x8)f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间0,2上是增函数,所以f(x)在区间2,0上也是增函数如图所示,那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x212,x3x44所以x
7、1x2x3x41248.,用数形结合解决参数、代数 式的最值、取值范围问题,(1)已知x,y满足条件 1,求y3x的最大值与最小值 (2)已知实数x、y满足不等式组 ,求函数z 的值域,思路点拨:(1)此题令by3x,即y3xb,视b为直线y3xb的截距,而直线与椭圆必有公共点,故相切时,b有最值 (2)此题可转化成过点(1,3)与不等式组 表示区域的点的连线的斜率的范围,解析:(1)令y3xb,则y3xb,原问题转化为在椭圆 上找一点,使过该点的直线斜率为3,且在y轴上有最大截距或最小截距 由图可知,当直线y3xb与椭圆 相切时,有最大或最小的截距 将y3xb代入 ,,得169x296bx1
8、6b24000, 令0,解得b13. 故y3x的最大值为13,最小值为13. (2)由解析几何知识可知,所给的不等式组表示圆x2y24的右半圆域(含边界),,z 可改写为y3z(x1), 把z看作参数,则此方程表示过定点P(1,3), 斜率为z 的直线系 那么所求问题的几何意义是:求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与过点P(1,3)的直线斜率的最大、最小值 由图显见,过点P和点A(0,2)的直线斜率最大, zmax 5. 过点P向半圆作切线,切线的斜率最小 设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为axby4.又B在半圆周上,P在切线上,则有,跟踪训练,2若例题(2)中条件不变,求5
9、x4y的最大值与最小值,解析:令5x4yb. 原问题转化为:在椭圆 1上求一点,使过该点的直线5x4yb与之相切即可 由 50x210bxb24000. 由0,得b ,故5x4y的最大值为 , 最小值为 .,祝,您,学业有成,专题八 思想方法,第三讲 分类讨论思想,考点整合,分类讨论解决的主要问题,基础梳理,分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度,整合训练,1设常数a
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