[论文]时间序列分析-非平稳时间序列建模实验报告 (2).doc
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1、实验报告课程名称: 时间序列分析 设计题目: 非平稳时间序列建模 院 系: 电信学院 班 级: 设 计 者: 学 号: 指导教师: 设计时间: 2010-05-07 一、绪论稳序列的直观含义就是序列中不存在任何趋势性和周期性,其统计意义就是一阶矩为常数,二阶矩存在且为时间间隔t的函数。但是在实际问题中,我们常遇到的序列,特别是反映社会、经济现象的序列,大多数并不平稳,而是呈现出明显的趋势性或周期性。这时,我们就不能认为它是均值不变的平稳过程,需要用如下更一般的模型来描述。其中,表示中随时间变化的均值,它往往可以用多项式、指数函数、正弦函数等描述,而是中剔除趋势性或周期性后余下的部分,往往可以认
2、为是零均值的平稳过程,因而可以用ARMA模型来描述。具体的处理方法可分为两大类:一类是通过某些数学方法剔除掉中所包含的趋势性或周期性(即),余下的可按平稳过程进行分析与建模,最后再经反运算由的结果得出的有关结果。另一类方法是具体求出的拟合形式,求出,然后对残差序列进行分析,该残差序列可以认为是平稳的。利用前述方法可以求出,最后综合可得。如果我们对的形式并不敢兴趣,则可以采取第一类方法,否则可以用第二类方法。需要再强调的一点是,时间序列非平稳性的表现是多种多样的,这里我们所能分析处理的仅是一些较为特殊的非平稳性。二、建模原理2.1平稳化方法2.1.1差分一般而言,若某序列具有线性的趋势,则可以通
3、过对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉,然后对差分后的序列拟合ARMA模型进行分析与预测,最后再通过差分的反运算得到的有关结果。做一次差分可记为,则 (1)如果对一阶差分结果再进行差分,则称为高阶差分,差分的次数称为差分的阶,d阶差分记为。2.2.2 季节差分反映经济现象的序列,不少都具有周期性,例如,刚收获的小麦,由于供应充足,价格一般是较低的,然后随着供应量的减少,价格会逐渐上涨,直至下一个收获季节又重新开始这一周期。设为一含有周期S的周期性波动序列,则为各相应周期点的数值,它们则表现出非常相近或呈现某一趋势的特征,如果把每一观察值同下一周期相应时刻的观察值相减,这就叫季节差分,它可以消除周
4、期性的影响。季节差分常用表示,其中S为周期。2.2.3对数变换与差分运算的结合运用如果序列含有指数趋势,则可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势,然后再进行差分以消除线性趋势。2.2齐次非平稳在除去局部水平或趋势以外,某些非平稳时间序列显示出一定的同质性,即序列的某一部分与任何其他部分极其相似。这样的序列往往经过若干次差分后可转化为平稳序列,这种非平稳性称为齐次非平稳性,差分的次数称为齐次性的阶。实际中较为常见的是一阶和二阶的齐次非平稳性,表现为两种情形:第一种是序列呈现出水平非平稳性,除了局部水平不同,序列是同质的,也就是说序列的一部分和其他部分非常相似,只是在垂直方向上位置不同。这样的序列
5、经过一次差分后可转化为平稳序列。第二种是序列呈现出水平和斜率的非平稳性,序列既没有固定的水平,也没有固定斜率,除此之外,序列是同质的,这样的序列经过两次差分后可转化为平稳序列。2.3 ARIMA模型对于d阶齐次非平稳序列而言,是一个平稳序列,设其适合ARMRA(p,q)模型,即 (2)也可写作: (3)其中: (4) (5)称此模型为求和自回归滑动平均模型(Integreated Autoregressive Moving Average Model),简记为ARIMA(p,d,q),其中p,d,q分别表示自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。之所以称之为求和自回归滑动平均模型,是因为差分的反运
6、算即位求和运算。常见的ARIMA模型有以下几种:1.ARIMA(0,1,1) (6)也可写作: (7)这就是说,是1阶齐次非平稳序列,一次差分后适合MA(1)模型,值得注意的是,不能认为是平稳ARMA(1,1)序列,因为其特征根r=1,不在单位圆内。2.ARIMA(0,2,2) (8)即序列两次差分后适合MA(2)模型。3.ARIMA(1,1,1) (9)即经一次差分适合ARMA(1,1)模型。三、仿真试验如图3-1所示,为某市1985年-1993年各月工业生产总值(数据见附录1)。可以看出Xt具有明显的周期性,做一次差分Yt=Xt-Xt-12,剔除掉周期性。这样就可以按照平稳序列线性模型的知
7、识来进行模式识别,参数估计等。1.求出差分后的数据的均值,并使序列零均值化,也就是将Yt-,得到的序列为零均值的平稳随机序列,如图3-2所示。2.求Wt的样本自相关函数和样本偏相关函数,本例中选取的k=0,1,2,24,以保证k相对于n不能取太大。 (10) (11) (12)图3-1:某市1985年-1993年各月工业生产总值Xt图3-2:零均值化后的平稳序列Wt3.根据样本自相关函数和样本偏相关函数确定模型类别和定阶。如图3-3和图3-4可以看出,当k2时,有,并且呈现拖尾现象,故可判定此模型为AR(2)模型。图3-3:样本自相关函数图3-4:样本偏相关函数4.参数估计。,带入数据可得,。
8、这样就得到了Wt的随机线性模型。在进行预报时,可以先对进行预报,然后加上均值得到的预报值,然后在反差分得到原始序列的预报值。附录11、 某市1985-1993年各月工业生产总值(单位:万元)1985.0110.939.3411.0010.9811.2911.841985.0710.6210.9012.7712.1512.2412.301986.019.9110.2410.4110.4711.5112.451986.0711.3211.7312.6113.0413.1414.151987.0110.8510.3012.7412.7313.0814.271987.0713.1813.7514.42
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