几何画板与动态型中考题的整合研究_本科毕业论文.doc
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1、 几何画板与动态型中考题的整合研究 1 1 中文摘要中文摘要 随着几何画板在数学解题上的广泛应用,学生在理解动态型题目过程中 能轻松将抽象的数学语言转化为具体图像表达,但学生只是看到教师的演示, 缺少自己动手操作的过程。本文以全国各省市近三年典型动态型中考试题为 例,把题目主要分为旋转、翻折、平移三大类。借助几何画板制作出相应的 解题课件,师生能亲自动手操作,从而更好地分析这三类变换的解题特点。 本文结合几何画板课件,展现完整的探究过程,让师生在动态中体验这三类 变换的变与不变,获得清晰的解题思路。并记录了详细的课件制作步骤,图 文并茂,可作为简易教程供教师参考。 关键词关键词 :旋转,平移,
2、翻折,几何画板,中考题,动态展示,简易教程 几何画板与动态型中考题的整合研究 2 2 ABSTRACTABSTRACT With the Geometers Sketchpad in mathematics problem solving on a wide range of applications, the students can easily translate the abstract mathematical language into specific image expression in order to understand the dynamic subject proc
3、ess. But the students just to see the teachers demonstration with the lack of their own operation process. In this paper as the various provinces and cities nationwide the typical dynamic type senior high school entrance examination questions in recent three years for example, the subject is mainly
4、divided into rotation, folding, translation .Using geometric sketchpad to produce corresponding solving courseware, teachers and students can hands-on operation, thereby better analys these three kinds of transform exercises. In this paper the Geometers Sketchpad courseware displays a full investiga
5、tion process, making teachers and students experience the changed and unchanged of this three kind of transformations in a dynamic type and get a clear thinking. This paper record the details of the steps of making courseware illustrately. And it can be used as a simple tutorial for teachers. KeyKey
6、 wordswords : rotation, translation, folding, the Geometers 几何画板与动态型中考题的整合研究 3 3 Sketchpad, senior high school entrance examination problem, dynamic display, simple tutorial 目录目录 1 1引言引言 4 4 2.2.翻折类问题翻折类问题 4 4 2.1 例 1(2009 年鄂州市) 4 2.1.1 动态体现 5 2.1.2 探究过程展现 5 2.1.3 关键制作步骤:.7 2.1.4 满分解答 .10 2.2 例 2(20
7、09 年福州市) .12 2.2.1 动态体现 .12 2.2.2 探究过程展现 .13 2.2.3 关键制作步骤 .17 2.2.4 满分解答 .24 3 3 旋转类问题旋转类问题2626 3.1 例 3(2009 年山东德州) .27 3.1.1 动态体现27 3.1.2 探究过程展现 .27 几何画板与动态型中考题的整合研究 4 4 3.1.3 课件制作步骤要点 .30 3.1.4 满分解答 .34 3.2 例 4(2010 湖南常德市) .35 3.2.1 动态体现35 3.2.2 探究过程展现35 3.2.3 课件制作步骤要点38 3.2.4 满分解答 .42 4 4平移类问题平移类
8、问题 4444 4.1 例 5(2010 四川眉山) .44 4.1.1 动态体验 .45 4.1.2 探究过程展现 .45 4.1.3 课件制作步骤要点48 4.1.4 满分解答 .51 4.2 例 6(2009 年浙江义乌) (平移与旋转结合) 52 4.2.1 动态体现52 4.2.2 探究过程展现 .53 4.2.3 关键制作步骤 .56 4.2.4 满分解答 .63 几何画板与动态型中考题的整合研究 5 5 1 1引言引言 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确 定的法则,对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化,然后在新的图形 中分析有关图形之间的关系
9、。这类实体的特点是:结论开放,研究目标不确 定,注重考查学生的猜想、探索能力,因此时常使学生无从下手。 而几何画板具有动态演示交互、计算精确等特点,非常适合于解决平移、旋 转和翻折这三大类动态型问题。本文结合几何画板课件,通过展现完整的探 究过程, ,轻松突破了以上难点。通过几何画板这个工具,一来能让我们直 观地感知题目条件,快速清晰地理解题意;二来提供一个实验探究平台,利 用它学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证,在观察、探索、发现 的过程中增加对各种图形的感性认识,形成丰厚的几何经验背景,从而更有 助于学生对题目的理解和证明,使学生从过去的“听数学“转变为现在的“做 数学“。 2.2
10、.翻折类问题翻折类问题 翻折:翻折是指把一个图形按某一直线翻折 180 后所形成的新的图形的变 化。 翻折特征:平面上的两个图形,将其中一个图形沿着一条直线翻折过去,如 果它能够与另一个图形重合,那么说这两个图形关于这条直线对称,这条直 线就是对称轴。 解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的,弄清翻折后不变的要素。 几何画板与动态型中考题的整合研究 6 6 2.12.1 例例 1 1(20092009 年鄂州市)年鄂州市) 如图 27 所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH,延长 BC 至 M,使 CMCFEO,再以 CM、
11、CO 为边作 矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小,并说明理由。 (2)令,请问 m 是否为定值?若是,请求出 m 的值;若不是,请 ;四边形 四边形 CNMN CFGH S S m 说明理由。 (3)在(2)的条件下,若 CO1,CE ,Q 为 AE 上一点且 QF,抛物线 3 1 3 2 ymx2+bx+c 经过 C、Q 两点,请求出此抛物线的解析式。 (4)在(3)的条件下,若抛物线 ymx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P,试问在直 线 BC 上是否存在点 K,使得以 P、B、K 为顶点的三角形与AEF 相似?若存 在,请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不
12、存在,请说明理由。 2.1.12.1.1 动态体现动态体现 请打开几何画板文件名“翻折 1” 。 2.1.22.1.2 探究过程展现探究过程展现 几何画板与动态型中考题的整合研究 7 7 该题的主要变量是矩形该题的主要变量是矩形 OABCOABC 的大小,主要不变量是的大小,主要不变量是AOEAOE 的翻折。的翻折。 (1)翻折的动态演示。点击“翻折”按钮,可观察到翻折的动态过程。点 击“返回”按钮,可看到三角形返回的过程。同时下面设置了两个按钮,可 随意改变矩形 OABC 的大小。 图 2-1-2.1 (2)对于第一问:试比较试比较 EOEO、ECEC 的大小,并说明理由。的大小,并说明理由
13、。 这是翻折后的图形,此时可以观察到 EO 的长度EC 的长度。如图 2-1-2.2 。 点击“改变 C”或者“改变 A”按钮,改变点 F 在 BC 上的位置。再度观察 EO 与 EC 的长度。在这个过程中会发现:当点 F 越来越靠近点 C 时,CE 与 EO 的 长度会越来越接近。只有当点 F 与点 C 重合时,EO 与 EC 的长度相等,其他 情况 EO 的长度EC 的长度。如图 2-1-2.3。 几何画板与动态型中考题的整合研究 8 8 图 2-1-2.2 图 2-1-2.3 (3)对于第二问:令令,请问,请问 m m 是否为定值?若是,请求出是否为定值?若是,请求出 m m 的的 ;四
14、边形 四边形 CNMN CFGH S S m 值;若不是,请说明理由。值;若不是,请说明理由。 用几何画板操作时,我发现题目有 2 个地方都出错了。第一处错得地方是该 比值:,分母是四边形 CNMN 应改为四边形 CNMO. ;四边形 四边形 CNMN CFGH S S m 第二处错误的地方是:按照题目让 CMCFEO是不行的。算出来的 m 不 是一个定值,它会随着矩形 OABC 的改变而改变。如图 2-1-2.4 与图 2-1- 2.5。 图 2-1-2.4 图 2-1-2.5 因此 CMCFEO肯定是不对的。那么 CM 到底等于多少呢?直觉告诉我, 几何画板与动态型中考题的整合研究 9 9
15、 CM=CEEO. 果然,试验了一下成功了。任意改变矩形 OABC 的大小,m 始终等于 1。如图 2-1-2.6 与 图 2-1-2.7。 图 2-1-2.6 图 2-1-2.7 如果不是有了几何画板的探究,不管是学生还是老师,也许将耗费很多的时 间在该题上依旧一无所获。所以用几何画板去探究题目,不仅直观,而且是 检验题目的正确性的一个很好的工具。因此用几何画板解题是很有必要的。 (4)第三问、第四问,略。 2.1.32.1.3 关键制作步骤:关键制作步骤: (1)建立直角坐标系,分别在横轴与纵轴上取一段线段,再在上面分别取 一点,分别命名为 C 和 A。建立点 C 和点 A 的动画点。这样
16、就能随意改变矩 形 ABCO 的大小。成功构造出变量。如图 2-1-3.1。 几何画板与动态型中考题的整合研究 1010 图 2-1-3.1 (2)为了确定折痕的位置,如图 2-1-3.2 所示,设 OE=x,BC=b,CO=a,则 解得 x=OE=。 2 2 222 axbbax 222 bb ba a 图 2-1-3.2 则以 O 为圆心,为半径作圆,交 OC 于点 E.如图 2-1-3.3 所示,找出折痕点 E。 几何画板与动态型中考题的整合研究 1111 图 2-1-3.3 (3)连接 AE,连接 EF,OF,则AEF 是AEO 沿着线段 AE 翻折得到的。如 图 2-1-3.4。 图
17、 2-1-3.4 (4)如图 2-1-3.5,以 OF 的中点 G 为圆心,OG 为半径作圆。在圆上取点 I,连接 EI,IA.分别作 I 移动到点 O 得动画,命名为“返回”。作 I 移动到 F 的动画,命名为“翻折”。此步骤是为了构造出翻折效果。而这一步的关 几何画板与动态型中考题的整合研究 1212 键是找到一个大小适中的圆找到一个大小适中的圆。 图 2-1-3.5 (5)如图 2-1-3.6,隐藏圆与线段 OF,度量出 CE 与 EO 的长度。从而能使 学生第一时间直观感知 CE 与 EO 的相对大小,可让学生从结论出发,思考解 答思路。完成第一问。 几何画板与动态型中考题的整合研究
18、1313 图 2-1-3.6 (6)制作第二问:计算出|CE-EO|的大小。且以 C 为原点,|CE-EO|的长度 为半径作圆。作直线 CF,交圆于点 M。过 M 作 CF 的垂线交 x 轴于 N。作正方 形 CFGH. 如图 2-1-3.7。 图 2-1-3.7 (7)构造四边形 CMNO 与四边形 CFGH,度量出其面积比 m,完成。如图 2-1- 3.8。 几何画板与动态型中考题的整合研究 1414 图 2-1-3.8 2.1.42.1.4 满分解答满分解答 (1)EOEC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在 RtEFC 中,EF 为斜边,EFEC, 故 EOEC (2)m 为定值 S
19、 S四边形 四边形 C CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EOEC)=CO(EOEC) S四边形 CMNO=CMCO=|CEEO|CO=(EOEC) CO 1 CMNO CFGH S S m 四边形 四边形 (3)CO=1, EF=EO= 3 2 3 1 QFCE,QF 3 2 3 1 1 cosFEC= FEC=60, 2 1 3060 2 60180 EAOOEAFEA, EFQ 为等边三角形, 3 2 EQ 作 QIEO 于 I,EI=,IQ= 3 1 2 1 EQ 3 3 2 3 EQ 几何画板与动态型中考题的整合研究 1515 IO= Q 点坐标为 3 1
20、 3 1 3 2 ) 3 1 , 3 3 ( 抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0,1), Q ,m=1 ) 3 1 , 3 3 ( 可求得,c=13b 抛物线解析式为 13 2 xxy (4)由(3),3 3 2 3EOAO 当时,AB3 3 2 x 3 1 13 3 2 3)3 3 2 ( 2 y P 点坐标为 ) 3 1 , 3 32 ( BP=AO 3 2 3 1 1 方法 1:若PBK 与AEF 相似,而AEFAEO,则分情况如下: 时,K 点坐标为或 3 32 3 2 3 2 BK 9 32 BK) 1 , 9 34 () 1 , 9 38 ( 时, K 点坐标为 或 3 2
21、 3 2 3 32 BK 3 32 BK) 1 , 3 34 () 1 , 0( 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 ) 1 , 0() 3 1 , 0() 3 7 , 0() 3 5 , 0(或或或 方法 2:若BPK 与AEF 相似,由(3)得:BPK=30或 60,过 P 作 PRy 轴于 R,则RTP=60或 30 当RTP=30时,23 3 32 RT 当RTP=60时, 3 2 3 3 32 RT 几何画板与动态型中考题的整合研究 1616 ) 1 , 0() 3 1 , 0() 3 5 , 0() 3 7 , 0( 4321 TTTT, 2.22.2 例例 2 2(200
22、92009 年福州市)年福州市) 已知:如图 12,在直角梯形 ABCD 中, ADBC,BC5cm,CD6cm,DCB60,ABC90。等边三角形 MPN(N 为不动点)的边长为 cm,边 MN 和直角梯形 ABCD 的底边 BC 都在直a 线 上,NC8cm。将直角梯形 ABCD 向左翻折 180,翻折一次得到图形,l 翻折二次得图形,如此翻折下去。 (1)将直角梯形 ABCD 向左翻折二次,如果此时等边三角形的边长 a2cm, 这时两图形重叠部分的面积是多少? (2)将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次翻折得到的直角梯形与等 边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积
23、,这时等边三角形的边 长 a 至少应为多少? (3)将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次翻折得到的直角梯形与等 边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半,这时等边三角形的边长 应为多少? I P 12 M AD CBN 几何画板与动态型中考题的整合研究 1717 2.2.12.2.1 动态体现动态体现 请打开几何画板文件名“翻折 2”。 2.2.22.2.2 探究过程展现探究过程展现 该题的主要变量是:等边三角形该题的主要变量是:等边三角形 MNPMNP 的大小,主要不变量是:直角梯形的大小,主要不变量是:直角梯形 ABCDABCD 的大小。的大小。 对于第一问:将直角梯形将直角
24、梯形 ABCDABCD 向左翻折二次,如果此时等边三角形的边长向左翻折二次,如果此时等边三角形的边长 a2cma2cm,这时两图形重叠部分的面积是多少?,这时两图形重叠部分的面积是多少? (1)如图 2-2-2.1,图 2-2-2.2。在 GH 直线上.移动点 H 或选中 H 点按“左 右键”,即可改变等边三角形 PMN 的边长,因为 GH 的长度就是等边三角形 PMN 的边长大小。同时可观察到当 a2cm 时,重叠部分的面积不会改变。从 而为学生解题提供结论性的帮助。 几何画板与动态型中考题的整合研究 1818 图 2-2-2.1 图 2-2-2.2 (2)如图 2-2-2.3 与 图 2-
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