几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士学位论文.doc
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1、硕士学位论文硕士学位论文 几类随机微分方程解的稳定性的分析 Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations 赵鹏程赵鹏程 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 2014 年年 6 月月 国内图书分类号: 学校代码:10213 国际图书分类号: 密级:公开 理学硕士学位论文理学硕士学位论文 几类随机微分方程解的稳定性的分析 硕士研究生:赵鹏程 导 师 :李龙锁教授 申请学位:理学硕士 学科:概率论与数理统计 所 在 单 位:理学院 答 辩 日 期:2014 年 6 月 授予学位
2、单位 :哈尔滨工业大学 Classified Index: U.D.C: Dissertation for the Master Degree in Science Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations Candidate:Zhao Pengcheng Supervisor:Prof.Li longsuo Academic Degree Applied for:Master of Science Speciality: Probability and Mat
3、hematical statistics Affiliation: School of Science Date of Defence: June, 2014 Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology 摘 要 - I - 摘 要 随机微分方程(SDES)广泛的被应用于生物、物理、经济、控制等领域。 很久以来,因为缺少有效的求解随机微分方程的数值方法和可以利用的计算机资 源,使得在建立数学模型时往往都忽略了随机因素的影响。近年来,一些学者在 随机微分方程数值解方面已经取得一定的成果,这也将意味着某些随机模型可以 借助
4、数学软件进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识以及其解析解的一些性质,给出了 解的存在唯一性定理及其表达式。由于随机系统非常的复杂,通常情况下很难得 到方程理论解的解析表达式,所以数值方法的构造就变得极其重要。本论文主要 研究了两类随机延迟微分方程解的阶矩和均方稳定性的条件,并给出了相应的p 数值模拟。将 Euler-Maruyama 方法应用于随机延迟微分方程,证明了此数值方法 是均方稳定的,同时给出了方法满足均方稳定的条件。 关键词:随机微分方程;阶矩稳定性;均方稳定性;Euler-Maruyama 方法p Abstract - II - Abstract Stochastic
5、differential equations are widely used in biology, physics, economics, control and other fields. For a long time, because the lack of effective numerical methods for solving SDES and computer resources available so that when you create mathematical models tend to ignore the influence of random facto
6、rs.Recently, some scholars have achieved certain useful results in the numerical solution of stochastic differential equations, which will also mean some random model can be studied by means of mathematical software. Firstly,this paper describes the background knowledge of SDES and some properties o
7、f their analytic solutions, existence and uniqueness theorem and their expression. Due to the complex stochastic systems, it is usually difficult to obtain the analytical expression of the theoretical solution of the equation, so the construction of the numerical method becomes extremely important.
8、In this thesis, it mainly gives the conditions of two types of SDES p-moment stability and mean square stability, and gives their corresponding numerical simulations. The Euler-Maruyama method is applied to SDES, and numerical methods to prove this is mean-square stable, and gives the method satisfi
9、es mean square stable condition. . Keywords: SDES, p-moment stability, mean square stability, Euler-Maruyama Method 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - III - 目 录 摘 要I ABSTRACTII 第一章 绪论.1 1.1 问题的背景.1 1.2 随机微分方程的简单介绍.2 1.3 随机微分方程数值方法稳定性的发展概况.4 1.4 随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的研究现状.5 1.5 本文的结构及主要研究工作.6 第二章 随机微分方程的预备知识.7 2.1 概率论基
10、础和随机过程.7 2.2 随机微分方程 10 2.3 随机积分及 IT微分法则.11 2.4 随机微分方程解的存在唯一性及其矩估计 13 2.5 本章小结.15 第三章 随机延迟微分方程解的 P 阶矩稳定性.16 3.1 引言 16 3.2 随机微分方程数值解的P阶矩指数稳定.16 3.2 解析解的性质 16 3.4 本章小结 20 第四章 线性随机延迟微分方程 EM 方法的均方稳定性.21 4.1 引言 21 4.2 解析解的稳定性 21 4.3 EULER-MARUYAMA方法稳定性分析.23 4.4 数值模拟.26 4.5 本章小结 27 结论.28 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -
11、IV - 参考文献.29 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 33 致 谢34 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - V - Contents Abstract (In Chinese) Abstract (In English) Chapter 1 Introduction1 1.1 Background, objective and significance of the subject1 1.2 Developmental of gas-lubricated bearing and correlated theories.1 1.2.1 Developmental of gas-l
12、ubricated bearing.1 1.2.2 Classification of gas-lubricated bearing.1 . 1.2.5 Research on porous externally pressurized gas bearing.3 . 1.4 Main research contents of this subject3 Chapter 4 Research on static characteristics of bearing based on FLUENT software.4 4.1 Introduction4 . 4.2.3 Initializati
13、on of boundary conditions4 4.4 Brief summary4 Chapter 6 Experiment on partial porous thrust bearing5 6.1 Introduction5 6.2 Experiments on permeability of porous graphite.5 . 6.5 Brief summary6 Conclusions.7 References.8 Papers published in the period of Ph.D. education.9 Statement of copyright and L
14、etter of authorization.10 Acknowledgements.11 Resume.12 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 1 第第一一章章 绪绪论论 1.1 问题的背景 二十世纪五十年代,It 发表了他的划时代的著作“On Stochastic Differential Equation”,给出了随机微分方程(SDE)的严格科学描述,并且定 义了 It 型随机微分方程。从那以后,读随机微分方程的研究越来越受到人们 的关注。因为考虑到环境噪声对系统变化的影响,随机微分方程较之确定性方 程能够更准确地描述现实生活中的事物和现象发展的客观规律,在现实世界的 许多的许多领域中,例
15、如经济学、生物学、物理学、电子、无线电通讯等科学 与工程技术领域,随机微分方程模型得到了广泛的应用。现在,SDE 已经积累 了很丰富的结果。 随着 It 积分的建立以及随机微分方程理论的逐渐完善,他帮助人们研究 和解决由非线性、不确定因素所形成的系统提供强有力的理论依据。另一方面, 人们在随机微分方程理论研究中,针对一些具有实际意义的问题得到了一系列 有价值的结果。如,随机神经网络模型 ( )( )( ( )( ( )( ),dx tBx tAg x tdtx t dW t 其中 , d d ij AaR 12 ( ,),0,1, di Bdiag b bbbid 物理上,表示第 个神经元的输
16、入电压, 112 ( )(),( ),() . T dd gggg( ) i ti 代表转移函数,从 1998 年 Chua 和 Yung 首次引入细胞神经网络模型,人( ) i g : 们在其理论和应用方面进行了深入的研究。该模型方程在许多方面有重要的应 用价值,如:信号处理、最优化问题、错误判断、模式识别和图像处理等等。 而应用于这些领域主要取决于网络神经元的平衡点的稳定性,这是因为所设计 的神经网络的优劣主要看神经元是否达到平衡稳定时的指标。 另一个著名的随机微分方程模型是生态学中描述的人口增长的 Logistic 方 程: 其中表示 时刻人口的数量,表示 0 ( ) ( )( ),(0
17、), dN t t N tNN dt ( )N tt( ) t 时刻的人口增长率。当考虑外部环境随机变化的影响时,增长函数经常不能确t 定下来,我们可以将它表述为+”噪声”,这里是确定函数。 ( )( )ts t( )s t 又如著名的随机 Lotka-Volerra 生物种群模型: 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 2 1 ( )()()( )( ),0, n iijj i dx tdiag ba xb Ax tdtx t dW tt 其中这些模型方程都是近年来非常受关注的模型类型,人们研究这(). ijn m 些方程也取得了很好的成果。 微分方程和动力系统理论的一个备受关注的中心课题是研究它
18、们的稳定性, 即:解在时间程序中具有什么样的极限状态,以及极限状态如何依赖于初值, Mao 的专著“On Stochastic Differential Equations and their applications”就详细地 研究了随机微分方程的稳定性问题。 随机延迟微分方程 ( )( , ( ), ()( , ( ), ()( ),0 ( )( ),0, dx tf t x tx tdtg t x tx tdW t t x ttt 可以视为确定延迟随机微分方程的推广。由于同时考虑了延迟以及环境的随机 噪声对系统的影响,随机延迟微分方程(SDDEs)在计算机辅助设计、电路分 析、力学系统、
19、化学反应模型以及自动控制系统的实时仿真等科学与工程应用 领域中有着非常广泛的应用,因此研究此类问题具有十分重要的理论的意义以 及实用价值。 延迟微分方程的稳定性条件分为延迟依赖和延迟不依赖两钟。延迟稳定条 件中包含延迟的信息,延迟不依赖稳定性条件则适用于具有任意长度的延迟问 题。比较而言,延迟依赖稳定性条件更为灵敏,尤其是针对延迟量较小的情况。 因此随机系统的延迟依赖稳定性分析引起了许多学者的注意。他们针对随机延 迟微分系统给出了许多延迟依赖稳定的有效判断依据,而他们经常运用 的手段 是 LMI 方法或者 Lyapunov 泛函。 除了少数线性方程,大部分的随机微分方程的显式解很难获得,因而构
20、造 适当的数值方法求解随机微分方程具有重要的理论和应用价值。因此人们提出 了许多优秀的数值算法,参加专著和文献9-23。其中非常著名的有 Euler- Maruyanma 方法、Milstein 方法、Runge-kutta 方法等等。 稳定性是数值计算方法是否有效的一个很重要的衡量标准。对于确定性延 迟随机延迟微分方程,一下数值方法的延迟依赖性分析已有结论。截止到目前, 有关随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的文献还未可见,这就凸显出 眼睛这样一个问题是很有意义的。 1.2 随机微分方程的简单介绍 首先我们介绍本论文所要用到的一些符号。 样本空间称为样本或基本事件。设是任一非空集, 。若
21、集,2F 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 3 合满足以下条件:F (i) ,其中表示空集;F (ii),其中 代表中的补集; c AAFF c AA A (iii). 11 iiii AA FF 则称为上的一个代数。F 若 ,则称右连续;若右连续且包含所有零测集,() ts ts t :FF t F t F 0 F 则称满足通常条件。 t F 代表次可积函数(或随机变量)的空间。(;) P LRR p 表示所有有界适应的值随机过程的全体。L 2 0 ( , ;) d t TR t F d R 表示满足的函数的空间。 p M 0 ( ) p T t Ex tdt( )x t 设是完备概率空间,
22、是该空间上给定的代数流且满足通( , ) F P t F : tR 常条件:是给定的维标准 Brown 运动;是迹范数; 12 ( )( ),( ),( ) T m W tW t W tWtm: 记。本论文研究随机微分方程初值问题 0 , Jt T (1.1)( )( , ( )( , ( )( ),.dx tf t x t dtg t x t dW t tJ 初始条件为。 00 ( ) x tx 定义定义 1.1 若值随机过程满足如下条件 d R( )()x t tJ (i)是连续适应过程;( )x t (ii) 12 ( , ( )( ,), ( , ( )( ,); dd m f t x
23、 tL J Rg t x tL J R (iii)满足如下随机积分方程( )x t 00 0 ( )( , ( )( , ( )( ),. tt tt x txf s x s dsg s x s dW s tJ 则称为方程(1.1)的具有初值的真解。( )x t 0 x 随机微分方程在诸多科学领域内都具有重要的应用价值,比如经济学,控 制论,物理学。有关随机微分方程理论解的唯一性研究已有很多结论。下面给 出(1.1)解的存在唯一性定理。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 4 定理定理 1.2 设函数和在上满足条件:( , )f t x( , )g t x d JR (i)一致 Lipschitz
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