函数极值的求法 毕业论文.doc
《函数极值的求法 毕业论文.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数极值的求法 毕业论文.doc(20页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 毕业论文毕业论文 题题 目目: : 函数极值的求法函数极值的求法 系系 别别: : 数学系数学系 专专 业业: : 数学教育数学教育 班班 级级: : 1010 级(级(2 2)班)班 学学 号号: : 131002055131002055 姓姓 名名: : 指导老师指导老师: : 20132013 年年 4 4 月月 4 4 日日 目目 录录 1.1. 一元函数极值的求法 .1 1.1 费马定理 .1 1.2 稳定点 .2 1.3 极值的第一充分条件 .2 1.4 极值的第二充分条件 .2 1.5 极值的第三充分条件 .2 1.6 求一元函数极值的步骤 .3 2.2. 二元函数极值的求法
2、.4 2.1 极值必要条件 .4 2.2 极值充分条件 .4 2.3 求二元函数极值的基本方法 .4 3.3. 多元多元函数极值的求法函数极值的求法8 8 3.1 普通极值问题 .9 3.2 条件极值问题 11 3.3 求条件极值的步骤 13 参考文献参考文献 1 15 5 致 谢 16 1 函数极值的求法 摘摘 要要:这篇论文主要讨论了函数的极值问题,包括一元函数极值,二元 函数极值,多元函数极值,以及条件极值拉格朗日方法等.本文以定理的形式给 出了一元函数、二元函数,以及多元函数的求解方法.同时也给出了求多元函数 条件极值的拉格朗日乘数法. 关键词关键词:极值、极值点、稳定点、拉格朗日 A
3、bstract: this paper discusses the issue of extreme value of function, including the extreme value of a function, binary functions extremism, extreme value of function of many variables and Lagrangian methods for conditional extremism. This form of the theorem gives a unary function binary function a
4、nd method for solving multivariate function. It is also seeking conditional extreme value of function of many variables are given Lagrange multiplier method. Tags: extreme, extreme points, a stable point, Lagrange 2 引言引言:在生产实践、科学实验和社会生活中,经常遇到待解决“最好”、 “最大”、“最省”、“最小”等问题,这类问题可归结为数学中的最大值和 最小值,函数的极值和最值有一
5、定的联系,可以为求函数的最值作一定的参考. 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位,而且也是函数形态的一个重要 特征,多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用.对函数极值问题求解 方法的探讨有利于我们解决现实生活中的很多最优问题.本文就函数极值的问题 进行了一些探讨,总结了一些求函数极值的方法,包括一元函数、二元函数、 多元函数的极值求解方法,深化了课本中的一些定理和概念,为更好的解决现 实中的最优问题提供了一些参考. 1.一元函数极值的求法 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个 重要特征,那么对一元函数的极值问题我们该怎样解决呢? 定义: 设函数,则是函数的
6、一个极小值,极大值与极 0 f xf x 0 f x f x 小值统称为极值。在附近有定义,如果对附近的所有的点,都有 0 x 0 x ,则是函数的一个极大值。如果附近所有的点,都有 0 f xf x 0 f x f x ,则是函数的一个极小值,极大值与极小值统称为极 0 f xf x 0 f x f x 值。 若函数在点处可导,且为的极值点,则.这就是说可导f 0 x 0 xf 0 0fx 函数在点取极值的必要条件是. 0 0fx 1.1 费马定理 设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导.若点为的极值点,f 0 x 0 x 0 xf 则必有 3 0 0fx 1.2 稳定点 我们称满足方程的点
7、为稳定点.对于函数,点是稳 0fx 3 f xx0x 定点,但却不是极值点. 1.3 极值的第一充分条件 设在点连续,在某邻域内可导.f 0 x 0; o Ux 若当时,当时,则在点 i 00 ,xxx 0fx 00 ,xx x 0fxf 取得极小值; 0 x 若当时,当时,则在点 ii 00 ,xxx 0fx 00 ,xx x 0fxf 取得极大值. 0 x 1.4 极值的第二充分条件 设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且f 0 x 0; o Ux 0 xx , 0 0fx 0 0fx 若,则在取得极大值;. i 0 0fxf 0 x 若,则在取得极小值. ii 0 0fxf 0 x 1
8、.5 极值的第三充分条件 设在的某邻域内存在直到阶导函数,在处阶可导,且f 0 x1n 0 xn ,则 0 0 k fx1,21kn 0 0 n fx 当为偶数时,在取得极值,且当时取极大值, inf 0 x 0 0 n fx 时取极小值;. 0 0 n fx 当为奇数时,在处不取极值. iinf 0 x 4 1.6 求一元函数极值的步骤 1. 求函数的导数; f x 2. 令,解出稳定点; 0fx 12 , n x xx 3. 判断两侧的符号,找出局部极值点;1,2 i x in 4. 根据极值的第二充分条件进行判断; 5. 根据极值的第三充分条件进行判断. 例 1 求的极值点和极值 32
9、25f xxx 解 在上连续,且当时有 52 32 33 2525f xxxxx, 0x 21 33 3 1010101 333 x fxxx x 易见,为的稳定点,为的不可导点.这两点是否是极值点,1x f0x f 需作进一步的讨论. x ,000,1 1 1, y 不存在0 y 递增0递减3递增 由上表可以看出:点为的极大值点,极大值;为的0x f 00f1x f 极小值点,极小值. 13f 例 2求函数的极值 2 2 1 x f x x 解 由 2 2 1 x f x x 得 22 22 22 2 1222 1 0 11 xxxx fx xx 得稳定点为或1x 1x 又 22 3 33
10、22 4181 124 11 xxxx xx fxfx xx 5 于是 110 f 110f 故 是的极大值点,极大值,是的极小值点,极小值1 f x 11f1 f x . 11f 例 3 试求函数的极值 23 11f xxx 解 由于 322 2 22 22 2 211311 12131 1 541 11 51 0 fxxxxx xxx xxx xxx 得 1 1,1, 5 x 22 222 211 51151511 12 56154151 1208 fxxxxxxxx xxxxxx x xx 则,故不是的极值点;,故是 10f 1 f x 1240 f 1x 的极小值点;,故是的极大值点.
11、 f x 124 0 525 f 1 5 x f x 所以极小值,极大值. 10f 13456 53125 f 2. 二元函数极值的求法 以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题,那么对二元函数 极值的问题我们又该怎样解决呢? 定义: 设函数在点的某邻域内有定义.若对于任何点f 000 ,P xy 0 U P 6 ,成立不等式 0 ,P x yU P (或) 0 f Pf P 0 f Pf P 则称函数在点取得极大(或极小)值,点称为的极大(或极小)值f 0 P 0 Pf 点.极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点. 2.1 极值必要条件 若函数在点存在偏导数,且在取
12、得极值,则有f 000 ,P xy 0 P , 0 ,0 xo fxy 0 ,0 yo fxy 反之,若函数在点满足上式,则称点为的稳定点.f 0 P 0 Pf 需要说明的是与一元函数的情形相同,函数的偏导数不存在的点上也有可能取 得极值,如函数在原点无偏导数,但在原点取得极小值. 22 ),(yxyxf 2.2 极值充分条件 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导),(yxfz ),( 00 yx 数, 又令,令, , 0),( 00 yxf x 0),( 00 yxf y Ayxf xx ),( 00 Byxf xy ),( 00 , 则在处是否取得极值的条件如下: Cyxf yy
13、 ),( 00 ),(yxf),( 00 yx (1),时,在取极大值;0D 0Af 0 P (2),时,在取极小值;0D 0A f 0 P (3)时,在不取极值.0D f 0 P (4)时,不能肯定在是否取得极值.0D f 0 P 证明 记 00 ( , )(,)f x yf xy 将按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项,结合稳定点条件有 (1.2) 22 22 1 (2) 2! xy xy fxfx yfy 令 7 , 2 00 , x fxx yyA , xy00 ,fxx yyB , 2 00 , y fxx yyC 由二阶偏导数的连续性,有,时,、均趋于 0.0x 0y 令
14、,其中 ,于是有cosx siny 22 xy (1.3) 2222 1 (cos2 cossinsincos2cossinsin) 2 ABC (1)时0D 这时,故,(1.3)式括号中前三项可表示为0AC 0A (1.4) 2 22 1 cossinsinABACB A 显然(1.4)式恒不为零,且与 A 同号.其绝对值为内的的连续函数,有最0,2 小值.m 另一方面,时,由于、均趋于 0,则对一切都有0 , (1.5) 22 coscossinsinm 只要充分小. 因此:时,函数取极小值;时,函数取极小值.0A 0 0A0 (2)时0D (I)若,仍可利用(1.4)的变换.时,内表达式
15、变为,故0A 1 =0 2 A 为正.反之,若由条件 ()确定,则内将变 22 cossin=0AB 2 sin0 2 成,故为负. 22 2 sinACB 充分小时,(1.3)式括号中后三项,不论在或时都可成为任 1 2 意小,故的符号即由前三项的符号决定. 这样,在被考察的点的任意近处, 0 P 在由角度及确定的射线上,有异号的值.因此,在这点,函数不 1 2 可能有极值. (ii)若,(1.3)式括号中前三项就变成0A 2 2 cossinsinsin (2 cossin )BCBC 8 此时必有,故可这样来确定使,于是,当0B 1 0 11 sin2cosCB 及时,上面的三项式就有相
16、反的符号,讨论可同上面一样完 1 21 成. 所以,时,在取极值,有极大值,有极小值;0D f 0 P0A0A 时,在取不到极值,定理证毕.0D f 0 P 2.3 求二元函数极值的基本方法 (1)利用函数极值的定义求极值 (2)利用函数极值存在的充分必要条件求极值,则求的极值的一般),(yxfz 步骤为: 解方程组,求得一切实数解,即可求得一切0),(yxf x 0),(yxf y 驻点;),(),(),( 2211nn yxyxyx 对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值;),( ii yx(1,2,)inCBA, 确定的符号,按定理 2 的结论判定是否是极值,是极大 2 BAC ),( ii
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数极值的求法 毕业论文 函数 极值 求法
链接地址:https://www.31doc.com/p-3913155.html