数学物理方程的求解方法探析 毕业论文.doc
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1、学号 20071120102 18 编号研究类型 理论研究 分类号 HUBEI NORMAL UNIVERSITY 学士学位论文(设计) Bachelors Thesis 论文题目 数学物理方程的求解方法探析 作者姓名 指导教师 所在院系物理与电子科学学院 专业名称物理学 II 完成时间2011 年 5 月 15 日 I 湖北师范学院学士学位论文(设计)诚信承诺书 中文题目:数学物理方程的求解方法探析 外文题目:A few kinds of mathematics physical equation solve method discussion and analysis 学生姓名赵清锋学 号
2、2007112010218 院系专业 物理与电子科学学 院物理学专业 班 级0702 学学 生生 承承 诺诺 我承诺在毕业论文(设计)活动中遵守学校有关规定,恪 守学术规范,本人毕业论文(设计)内容除特别注明和引用外, 均为本人观点,不存在剽窃、抄袭他人学术成果,伪造、篡改 实验数据的情况。如有违规行为,我愿承担一切责任,接受学 校的处理。 学生(签名): 2010 年 5 月 15 日 指导教师承诺指导教师承诺 我承诺在指导学生毕业论文(设计)活动中遵守学校有关规定, 恪守学术规范,经过本人核查,该生毕业论文(设计)内容除 特别注明和引用外,均为该生本人观点,不存在剽窃、抄袭他 人学术成果,
3、伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师(签名): 2011 年 5 月 15 日 II 目 录 摘 要1 1 前言2 2 氧化锡薄膜的制备方法2 2.1 磁控溅射法(MS)3 2.2 化学气相沉积法(CVD)4 2.3 溶胶-凝胶法(Sol-Gel).5 2.4 激光脉冲沉积法(PLD).6 2.5 喷雾热解法(Spray Pyolysis).6 3 氧化锡薄膜的研究现状8 3.1 氧化锡的晶体结构8 3.2 氧化锡薄膜的光电、物化性质.9 3.3 氧化锡薄膜的气敏性质.10 3.4 氧化锡薄膜的压敏性质.10 3.5 氧化锡薄膜的湿敏性质.10 3.6 氧化锡薄膜研究新进展(掺杂).11 4
4、氧化锡薄膜的应用11 4.1 太阳能电池.12 4.2 光电子器件12 4.3 薄膜电阻器.13 4.4 透明电极13 4.5 其他应用.13 5 结论及展望14 6 致谢15 参考文献16 1 数学物理方程的几种求解方法探析数学物理方程的几种求解方法探析 赵清锋(指导老师:刘红日) (湖北师范学院 物理与电子科学学院 湖北 黄石 435002) 摘摘 要要: : 目前半导体材料研究领域的热点之一是宽禁带半导体材料。SnO2 薄膜是一种宽带隙半导体材料,它具有对可见光透光性好、紫外 吸收系数大、电阻率低、化学性能稳定以及优良的光电性能等优 点,已被广泛的应用于太阳能电池、液晶显示器、光探测器、
5、窗 口涂层等领域,是一种用途十分广泛的功能薄膜。本论文介绍了 各种制备 SnO2薄膜的工艺方法、SnO2的特性及其应用。 关键词: 氧化锡薄膜 磁控溅射 凝胶溶胶 喷雾热解 中图分类号:O0484.1 PREPARING METHODS OF SnO2 THIN FILMS AND THEIR RESEARCH PROGRESS Gong Sha(Tutor: Liu Hongri) (College of Physics and Electronic Science, Hubei Normal University, Huang Shi 435002, China) Abstract: Wi
6、de band-gap semiconductor material is one of the hottest materials being extensing in rencent years. Tin oxide film, as a wide band-gap material, has been widely used in many fields, such as opto-electric devices, high temperature devices, LCD, solar cell, window coating and so on. It has many excel
7、lent properties, such as high transparency in visible region, low resisitvity, high stablility and fine photoelectricity performance. In this paper, the preparation technology, property, and application of SnO2 thin flims have been introduced. Key words: SnO2 thin film magnetron sputtering Sol-Gel s
8、pray pyrolysis 2 数学物理方程的几种求解方法探析 1 1 前言前言 物理现象是丰富多彩的,但是要解释很多物理现象,仅仅凭借观察和 实验总结是不够的,自然科学中的许多现象如现代物理学、力学、光学中 的激光、超导、晶格、位错、等离子物理、凝聚态物理、大气物理、流体 力学等都是借助于数学物理方程来描述的。 随着现代科学和技术的快速发展,人们为了更准确地理解这些现象的 内在本质和性质,就需要寻求相应方程更精确的解,虽然广大数学物理工 作者已创建了很多有用的求解数学物理问题的方法,但是随着现代科学的 发展,这些方法还是远远不够的。因此,数学物理方程的求解一直是众多 学者关注的热点问题。
9、同时,数学物理方程也是大学物理学专业的核心课程,例如质点力学 研究质点的位移怎样随时间而变化,电路问题研究电流或电压怎样随时间 变化等此类以时间为自变量的常微分方程;以及研究静电场强度或电势在 空间中的分布,研究半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中怎样分布并怎样 随时间变化等此类以空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程而构造 的偏微分方程。为了解决这些物理问题并进一步的进行物理学习,除了能 够对物理现象建立数学模型以外,更重要的是掌握这些数学物理方程的求 解方法。因此掌握数学物理方程的求解方法是学习物理学的基础(不同文 献对数学物理方程的定义不同,本文以文献1中定义为准,即:数学物理 方程是源于
10、物理及工程问题的微分方程,包括常微分方程和偏微分方程) 。 无论是对物理的学习还是将来从事物理方面的科研工作,研究数学物 理方程的求解方法都是很有必要也很重要的,基于此,本文首先对数学物 理方程中常用的方法加以概括,分析了一般数学物理方程的求解方法以及 解的结构形式,为进一步求解更为复杂的数学物理方程做准备;接着研究 了几类数学物理方程应用冥级数的方法求解其解析解,对勒让德方程和贝 塞尔函数进行了更深入的分析,并应用幂级数法结合指数形式求解出了一 3 维线性谐振子在微扰体系下的解析解;然后对物理中常用数学物理方程的 近似方法加以了分析,总结了各种不同的物理情景下如何选择更加精确的 近似方法;再
11、对数学物理方程的数值方法做了更深层次的探究,并分别用 了有限差分法、欧拉法以及龙格库塔法对部分数学物理方程进行了数值 模拟,分析了其误差;最后对数学所研究的内容做了总结和展望。 2 2 数学物理方程基础概括分析数学物理方程基础概括分析 数学物理方程是源于物理及工程问题的微分方程,包括常微分方程和 偏微分方程,了解已知微分方程的求解方法并对其解的形式加以概括,不 仅有助于更深入的掌握数学物理知识,而且对进一步探索新的物理现象以 及求解更多的数学物理方程奠定了基础。 本篇首先对物理中常遇到的可精确求解的常微分方程进行了分析,归 纳总结了这类微分方程的求解方法及解的结构,然后对物理中常用偏微分 方程
12、的求解方法进行了总结。 2.12.1 二阶常微分方程的性质及常系数齐次方程解的结构二阶常微分方程的性质及常系数齐次方程解的结构22,33 二阶线性微分方程的解的性质二阶线性微分方程的解的性质 对形如 2 2 d ydy P xQ x yf x dxdx 的方程称为二阶线性微分方程,根据是否为 0,分别叫做齐次的和非 f x 齐次的,下面主要通过几个定理讨论线性微分方程的解的结构。 定理 1:如果函数与是上式齐次方程的解,那么函数 1 yx 2 yx (、为任意常数) 1122 yC yxC yx 1 C 2 C 也是对应方程的解 定理 2:如果函数与是齐次方程的两个线性无关的特解, 1 yx
13、2 yx 那么: (、为任意常数) 1122 yC yxC yx 1 C 2 C 是对应方程的通解。对于定理 2 还可以推广到阶齐次线性方程。n 4 定理 3:如果函数是二阶非齐次线性方程的特解,而是对应 * yx Y x 齐次方程的通解,那么: * yY xyx 是二阶非齐次线性微分方程的通解。 定理 4:设非齐次线性方程的右端是几个函数之和,如: f x 2 12 2 d ydy P xQ x yfxfx dxdx 而与分别是方程: * 1 yx * 2 yx 与的特解,那 2 1 2 d ydy P xQ x yfx dxdx 2 2 2 d ydy P xQ x yfx dxdx 么就
14、是原方程的特解。这一定理通常称为非齐次线性微分方 * 12 yxyx 程的解的叠加原理。 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 已经讨论了线性微分方程的性质,这里重点讨论常系数齐次线性微分 方程的求解方法。 在二阶齐次线性微分方程 0yP x yQ x y 中,如果、均为常数 ,即: P x Q x 0ypyqy 其中、是常数,则称上式为二阶常系数齐次线性微分方程,如果、pqp 不全为常数,则为二阶变系数齐次线性微分方程,在论文后面的章节中我q 们将重点讨论。对于常系数齐次线性微分方程的解我们可以借助指数函数 ,观察发现它的各阶导数仅相差一个常数因子,将其带入微分方程, rx ye 即
15、得到了微分方程的特征方程: 2 0rprq 由此我们即可到常系数其次线性微分方程的特解,根据上节讨论的线性微 5 分方程的性质,结合其特解,可将二阶常系数齐次线性微分方程的通解归 纳如下: 特征方程的两根, 2 0rprq 1 r 2 r微分方程的通解0ypyqy 两个不相等的实根, 1 r 2 r 两个相等的实根 12 rr 一对共轭复根 1,2 ri 12 12 r xr x yC eC e 1 12 r x yCC x e 12 cossin x yeCxCx 归纳常系数齐次线性微分方程,一方面它在数学物理现象中有广泛的 应用,同时为常系数非齐次线性微分方程的求解奠定基础;另一方面对于
16、探索变系数微分方程的解析解做了铺垫,值得认真探索。 2.22.2 二阶常系数非齐次方程解的通解分析二阶常系数非齐次方程解的通解分析22,33 经过前面的套路,我们知道了二阶线性常系数其次方程的通解的计算 方法。本段,我们讨论如何计算非齐次方程 (,为常数) ypyqyf xpq 的通解。 常数变易法常数变易法 在上面的章节中,已经叙述了一阶非齐次线性微分方程的常数变易法, 对于高阶微分方程,利用对应齐次方程的通解来求非齐次方程的解仍然成 立,同样可以应用常数变易求解,具体求解方法参考文献2。根据文献归 纳,这种方法对自由量的形式没有严格的限制,而且整个推到过程对二阶线 f x 性变系数方程也成
17、立。但事物总是具有两面性,这一方法也有不足之处,首先它需要 计算积分,对很多复杂的微分方程,其计算难度是非常大的,另外,在开始时必须事 先知道对应齐次方程的通解。 待定系数法待定系数法 根据上节所归纳的二阶常系数齐次方程的解的结构可以看出,其解均 由指数项、级数项与正弦余弦项经过一定的组合而成,由此出发,一些学 者猜测:如果对于非齐次微分方程中的自由量也是由指数项、级数项 f x 与正弦余弦项组合而成,那么它们的解应该也是这类形式。并对此做了求 解检验,应用待定系数法求出部分形式的特解。下面对物理学中常用两种 形式的特解加以归纳: 6 (1)型 x m f xPx e 特解如下: kx pm
18、yx e Qx 其中是与同次的待定多项式,而按不是特征方程的根,是 m Qx m Pxk 特征方程的单根,二重根一次取=0,1,2.k (2)型 cossin x ml f xePxxP xx 特解如下: cossin kx pnn yx eQxxRxx 其中,与是两个待定的次多项式,而按max,nm l n Qx n Rxnk (或)不是方程的根,或是方程的单根依次取 0 或 1. ii 求出了方程的特解,再根据微分方程的性质求出对应齐次方程的解, 就可得到其通解。 这类方程的重要性不仅仅表现在它们在数学模型和物理实际中比较常 见,更重要的是对于它的求解方法对探索新的未知解析解的微分方程的求
19、 解提供方法和依据。 2.32.3 偏微分方程基础偏微分方程基础22,33 分离变量法的应用步骤分离变量法的应用步骤 (一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程 的定解问题。 (二) 确定特征值与特征函数。 (三) 求出特征值和特征函数后,再解其它的常微分方程,将所得的 解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。 极坐标系下位势方程的分离变量法极坐标系下位势方程的分离变量法 如果求解区域是圆域、圆柱域等,在直角坐标系下,其边界不能用分 离变量形式的方程来表示,进行分离变量就会受阻。然而若转换坐标,例 如圆形域换成极坐标系后,其边界方程为,符合分离变量的要求。
20、 0 0 因此,当求解域为圆、扇形、球、圆柱等定解问题时,通过选取适当的坐 标系,可以排除用分离变量法的障碍。 7 非齐次方程的特征函数法非齐次方程的特征函数法 可分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次(位势方程例外) 如果上述条件之一破坏,则不能采用分离变量法解。 对于齐次方程具有齐次边界条件的定解问题,因其通解可表示为其特 征函数的线性组合,即,由此推)(xXn,)2 , 1( n),(txu 1 )()( n nnn xXtTC 断非齐次方程具有齐次边界条件定解问题也可由特征函数列线性表)(xXn 出,即求形式解: ,为待定函数。),(txu 1 )()( n nn xXtT)(tT
21、n 由此,在齐次边界条件下的非齐次的定解问题,只要将其解及方程的 自由项均按相应的齐次方程的特征函数展开,就可以求出其形式解。因此, 这个方法就称为特征函数法。 非齐次边界条件的齐次化非齐次边界条件的齐次化 不论是用分离变量法,还是用特征函数法,都要求定解问题的边界条 件是齐次的,这是因为用分离变量法或特征函数法都要将特征函数叠加起 来,如果边界条件非齐次,则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。 所以当边界条件是非齐次时,必须设法将边界条件化成齐次的。 Sturn-LiouvileSturn-Liouvile 问题问题 用分离变量法争定解问题必须导出特征值问题,并将定解问题的解表 示成特征
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