数学专业毕业论文-多元函数极值解法的研究.doc
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1、毕业论文多元函数极值解法的研究摘 要:科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决,有时显得麻烦,有时根本无法解决。鉴于此,本文从一下几方面作了介绍:二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法;条件极值的求解方法及应用;n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍,旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。关键词:多元函数;极值;充要条件 ;方向导数;偏导数;矩阵;驻点; Abstract:There exist a great many proble
2、ms of extreme value to solve in scientific production activity, some of them, can be worked out using elementary methods,while other problems either can be solved with great difficulty, or can not be solved. In view of this ,this paper were presented to several aspects: the definition and existence
3、conditions of the extreme value of the dual function, the one order partial derivatives criterion of the extreme value of the dual function, the solution to extreme value problem With conditions and its application, the definition of the extreme values of function with n variables and its existence
4、conditions, n-varible function repeat extreme,the solution to a kind of extreme value problem of multi-function, using vector through the introductions of above methods,it is designed to bring some convenience to our study and work.Key words: multi-varible function; extreme;Necessary and sufficient
5、conditionDirectional derivative; first partial derivative; Matrix; critical point; 1 绪论1.1研究多元函数极值的意义科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值.函数的极值一直是数学研究的重要内容之一,由于它的应用广泛,加之函数本身变化纷繁,所以人们对其方法的研究较多,像不等式法,导数法,从矩阵的角度解决函数极值,利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用,与诸多数学家在这方面的努力是分不开的,他们给出了许多好的解决函数
6、极值的方法,且将诸理论与实际有机的结合起来,这不仅为科研打下了良好的基础,也为诸多领域的实际工作提供了便捷,如在经济,管理,金融,科研等方面提供了便捷的方法,使得许多问题很便利的得以解决。多元函数涉及到的量比较多,在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难,所以在本文中也介绍了利用向量方法求解一类多元函数极值的方法。所起到的效果还是很理想的。但是该方法所使用的范围比较的窄,只适合于某类函数极值的求解,所以具有很大的局限性,但是作为一种求多元函数极值的方法,我们很有必要关注它。同时我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解,在解这种条件极值的问题时当然我们不能不
7、考虑其限制条件,那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。就以上问题,在本文中给出了几种求条件极值方法。旨在能为求条件极值提供一些可寻的方法。因为在解题的过程中合理的选择一种好的方法,就等于成功了一半,同时可以大大减少解题的时间,对拓展解题的思路是很有帮助的。不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到,其证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以
8、用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。由上述,我们对多元函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要的。1.2回顾一元函数极值我们先来讨论函数的极值,且总假定在上是连续的。若对于一点,存在的某一邻域(,使对于此邻域中的任意点,都有,则称在有一极大值,称为极大值点,同样我们可以定义函数的极小值。若在上述的中等号不成立,我们就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。定理1(极值的必要条件) 若是的极值,那么只可能是的零点或的不可导点。定理2(极值判别法之一)设在和(可导,那么若在内,而在内,则为极小值点。若在内,而在内,则为极大值点。定理3(极值判别法之二)设,若,则是极
9、大值。若,则是极小值。2二元函数极值2.1二元函数极值的定义及存在条件科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值。2.1.1 二元函数极值的定义定义1:设,函数:DR,点D,如果存在一个邻域,使得(p)() (p) ()对一切成立,那么称为的一个(严格)极小值点,而()称为函数的一个(严格)极小值。同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值。2.1.2 二元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在点的偏导数必然为零;证明: 不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域任
10、意都有 故当时,有说明一元函数在处有最大值,必有;类似地可证。D中使的一切内点称为函数的驻点,由上面的定理知道,极值点一定是驻点,但是驻点未必是极值点。例如,在上考察函数f(x,y)=xy,这时 =y, =x,所以(0,0)是的唯一驻点,由于,而在原点的任何一个邻域内,既有使取正值的点(第一,三象限的点),也有使取负值的点(第二,四象限内的点),可见原点不是极值点,这说明:函数没有极值点。定理2(充分条件)设函数在点的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又,令,则在点处是否取得极值的条件如下:时具有极值,当时有极大值,当A0时有极小值;时没有极值; 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论
11、; 例 1 :求函数 的极值。 解:令 在驻点,有 , 。 而,故在点取得极小值,。 2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法对二元函数极值的判定,不仅可以借助于二阶导数进行判定,还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。2.2.1 判别方法首先给出一个引理如下:引理:设函数在区间上有定义,在连续,在可导,若,则在取得极小值。若,则在取得极大值。证明:可以利用下述中值定理,即 容易得到结论。 根据上述思想,我们可以得到判别方法如下:定理1:设二元函数在凸区域D上有定义,在上连续,点,在上可导:若 ,则在取得极小值。若 ,则在取得极大值。证明:,引入辅助函数: 其中。由条件知在上满足拉格朗日中值
12、定理的条件,于是存在,使得,即注意到D为凸区域,从而.由条件可知:,由的任意性以及极值的定义,可知,函数在取得极小值。同以上证明方法可以得到,在条件下,函数在取得极大值。结论证毕。考虑到条件,的结构,若记, 引入中的内积则可将定理写成更简洁的形式。2.2.2 推广在引入上述记号后,我们可以将问题推广到n维情形:定理2:设为凸区域,若,在连续,在可导,若,则函数在处取得极小值。若,则函数在处取得极大值。证明同定理1,此处不再赘述。2.2.3 应用 与一元函数相同,由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱,从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。 例1:试研究函数在原点(0
13、,0)是否达到极值。 解:由于 在原点处无定义,不能利用二阶判别法 。可利用定理1,因为 成立,从而,可知在原点(0,0)处可以取得极大值 例2:求函数的极值。解:容易知道的稳定点为,因此在点处取得极小值,又因为出处存在偏导数,故是的唯一极值点。3 条件极值3.1 求条件极值的常用解法我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解,在本节我们以例析的形式给出其一些常用解题方法。3.1.1 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值的问题。方程组的解,就是所求极值问题的可能极值点。实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写。这是因为将以上的梯度形式按各分量
14、写开,就是拉格朗日乘数法的形式。例1:试求个正数,其和为定值的条件下,什么时候乘积最大,并证明证明:本题的实质是求在条件下的最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。进一步求解得容易得到,根据题意,则是唯一的极大值点,也是最大值点。所以,即这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如:求在条件下的极值, 只要列出方程组再求出相应的,则其中是可能的极值点.3.1.2利用二次方程判别式的符号求某些条件极值例2:若,试求的极值.解 因为,代入得即 这个关于的二次方程要有实数解, 必须:即 解关于的二次不等式,得: 显然,求函数的极值, 相当于求 或 的极值.由(2)得
15、这个关于的二次方程要有实数解,必须, 即解此关于的二次不等式,得.所以把代入(4)得,再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,当,时,函数达到极大值3.同理可得,当,时,函数达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3.3.1.3利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例3:设,求的最小值.解:取为标准量, 令,则(为任意实数
16、),从而有 (等号当且仅当即时成立).所以的最小值为.3.1.4借助辅助系数求某些条件极值在求某些函数的条件极值的时候,可以先将所给的函数平方之,然后依靠辅助系数将平方后的函数表示成两个函数代数和的形式,并使其一为某函数的平方,而另一函数较原给函数简单(有时甚至为常数)。辅助系数选取满足下列条件:当自变量取某一相同值时,能使上述两函数都能达到极值。例4:若,试求函数的极大值。 解: 显然,当 即 (1)时,第一项取得极大值,而当,即,亦即时,第二项取得极大值。将值代入(1)得,即当时, 一般地,若试求函数的极大值。解 显然,当,即(1)时第一项取得极大值。而当时,第二项取得极大值。将值代入(1
17、)得,即当时,。在简单情况下,不必设辅助系数也可。3.1.5利用三角代换求某些极值所谓三角代换,就是用三角函数(或三角函数式)去代替所给函数式中的变数,从而借助于三角函数运算求出极值,代换时,首先要从函数式中变数的允许值去考虑,选取哪些三角函数(或三角函数式),再从解题的需要选择适当的代换。 例 1 若 ,试求函数的极值。 解:令 (为参数,)则合于条件,故,此处 当时,此时(n为正整数),所以因此当,时函数达到极大值,类似的可得,当,时函数达到极小值。3.2拉格朗日乘数法在讨论极值问题时,往往会遇到这样一种情形,那就是函数的自变量要受到某些条件的限制,例如,决定一给定点到一曲面的最短距离的问
18、题,就是这种情形,我们知道点到点的距离的平方为,现在的问题,就是要求出曲面上的点使得最小。因此,问题可以归结为求函数在条件限制下的最小值问题。这类问题叫做条件极值问题,现在先来讨论以下情况:设函数具有对各个变元的连续偏导数,而这些变元之间又受到以下条件的限制: (*)其中函数和都具有对各个变元的连续偏导数,并且它们的雅可比式 我们要求函数在限制条件(*)下的极值。 先来考虑极值的必要条件。 若函数在某点达到极值,这里满足限制条件,设想从方程组(*)中将解出来,亦即 那么问题就转化为考察函数的直接极值问题,而它的必要条件为在极值点处函数的全微分为零,再由一阶微分形式的不变性,得必要条件为: 但要
19、注意,在这里变元之间并非相互独立变化的,而是受到条件限制,因此,它们的微分之间也将满足一定的关系,这个关系只要将限制条件(*)求微分,得 这样我们就得到,若函数在某点达到条件极值,那么在这一点上应同时满足三个微分关系,。很自然的会想到这样一个办法,那就是从两个限制条件中解出两个变量,例如解出 ,代入中,称为两个变量的函数,然后用求偏导数的办法来确定函数的稳定点,后求得极值,这样虽然在理论上说得通,但实际做起来却往往较为复杂甚至是做不到的,因此,一般采用以下的方法,叫做乘数法(也叫拉格朗日乘数法) 以分别乘,式再相加,得 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数。由于 总能求得不全为零的 使 =0 这时
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