探讨导数在函数单调性中的应用 毕业论文.doc
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1、 本科生毕业论文探讨导数在函数单调性中的应用院 系:数学与计算机科学学院 专 业:数学与应用数学 班 级:2009级数学与应用数学(1)班 学 号:200907110129 姓 名: 指导教师: 完成时间:2013年5月20日 探讨导数在函数单调性中的应用摘要函数是贯穿于中学数学的一条主线,它不仅是研究导数的一个重要载体,而且涉及高中数学诸多的数学思想和方法,又是初等数学与高等数学的衔接部分其中函数的单调性是函数的重要性质之一,也是研究函数图象增、减性态的主要方法应用导数求解函数的单调性具有很多优势,它在函数单调性中的应用极好的解决了用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性运算量大,过程繁琐,
2、求解中需要很多变形技巧等缺点本论文通过四章内容的书写,应用了数形结合、导数法,定义法等数学思想方法,通过归纳、整理清晰地呈现了导数求解函数单调性的优势本篇论文主要涉及四章内容,第一章介绍了函数及其单调性的相关定义及概念,第二章介绍了导数的基础知识,第三章主要介绍了导数在函数单调性以及极值中的应用,主要以例题的形式进行归纳整理,第四章简单介绍了应用导数求解函数单调性需要注意的几个方面,其中论文核心内容为第三章导数在函数单调性以及极值中的应用关键词函数导数函数单调性证明 Abstract Function is a thread that runs through the middle schoo
3、l mathematics, it is not only an important carrier of derivative, and it is relates many thought to the high school mathematics method of mathematics, it is the connection part of elementary mathematics and higher mathematicsThe monotonicity of the function is one of the important properties of func
4、tions, the main method of image enhancement, but also a function reduction behaviorMonotonicity derivation function has many advantages, It is excellent in function in the solution of the judgment, with the monotonicity of the function to prove monotonicity computation function, complicated process
5、many defects such as deformation, solving skills needsThis thesis by four chapters written application, the combination of number and shape, derivative method, the definition method of mathematical thought and method, through induction, collation clearly presented derivation function advantageThis t
6、hesis mainly consists of four chapters, the first chapter introduces the function and its monotonicity, the second chapter is the basic knowledge of derivative, the third chapter is the application of derivative in the function of the main contents of the third chapter, application of derivative fun
7、ction monotonicity Keywords function derivative of function monotonicity proof目录 1 引言12 函数及其单调性22.1 函数的定义22.2函数的性质22.2.1函数的单调性22.2.2函数的极值33 导数的基础知识63.1 导数的定义63.1.1函数的平均变化率63.1.2 导数的定义63.2导函数83.3导数的几何意义83.4 几种常见函数的导数104 导数在函数单调性以及极值中的应用134.1 导数与函数单调性的关系134.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系134.1.2 运用导数判断,求证函数的单调性
8、及单调区间144.2 导数与函数极值的关系244.2.1极值判别244.3 应用导数求函数单调性常见的错误及分析264.3.1求函数单调区间忽视定义域而致错264.3.2导数为零的点不一定是极值点265 结 论27谢 辞29参考文献301 引言函数是贯穿于中学数学的一条主线1,它不仅是研究导数的一个重要载体,而且涉及高中数学诸多的数学思想和方法,又是初等数学与高等数学的衔接部分为了描写现实世界中运动、变化着的现象,在数学中引入了函数随着对函数研究的不断深化,产生了微积分,而导数是微积分的核心概念之一恩格斯说过:在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作是人类精神的最高
9、胜利了,如果在某一个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一功绩,那就是这里导数是课改以后新教材中的新增内容之一,在高中教材中起着承上启下的作用:承上是它的加入为高中数学注入了新的活力,使中学数学解题方法有了新的突破,它的应用潜移默化的改善了学习者的思维习惯;启下是它的加入完善了高中阶段教学内容,使高中学生具有一般人才必备的基础知识,为接下来进一步学习高等数学和其他自然科学作了必要的铺垫,同时在中学数学与大学数学之间起着衔接作用本篇论文从高中知识入手,从易到难,在题目中突出导数的作用,应用导数解题探究,突出导数在新课程以及在求函数单调性中具有的一切优势和作用导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出
10、和定义始终贯穿着函数思想新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具函数是中学数学研究导数的一个重要载体,函数涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法近年好多省的高考题中都出现以函数为载体,通过研究其图像性质,来考查学生的创新能力和探究能力的试题本人结合教学实践,就导数在函数中的应用作了初步探究本论文主要探究了导数在函数的单调性及极值中的应用,由于利用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性往往运算量很大,求解过程中需要很多变形技巧,一般较为复杂,对于初学者而言利用函数单调性的定义判断、
11、证明函数的单调性题目时往往半途而废,失分率较高,这对于大部分初学者来说很难攻克2,但是导数在函数单调性中的应用却极好的解决了上面的问题,在求解题目时,它具有运算量小,简便快捷的优势3,因此导数成了分析和解决这类问题的有效工具,并且人们将它广泛应用于函数单调性的判断、证明以及曲线切线的求解、函数的极值和最值等多个方面2 函数及其单调性2.1 函数的定义定义1设,均是非空的数集,若按照某种确定的对应关系,对于集合中的每一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,这样的对应关系:为集合到集合的一个函数,记作 ,其中的取值范围称为函数的定义域,是函数值,函数值的集合称为函数的值域由此可知函数是特殊的
12、映射2.2函数的性质函数的性质有单调性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性、极大值和极小值等,本篇论文主要讨论函数的单调性以及函数的极值2.2.1函数的单调性定义2一般地,设函数的定义域为,若对于定义域内某一区间上任意两个自变量和,当时,恒有()(),那么就说在此区间上是增函数定义3一般地,设函数的定义域为,若对于定义域内某一区间上任意两个自变量和,当时,恒有()(),那么就说在此区间上是减函数定义4若在某个区间上是增(减)函数,那么就说函数在这个区间具有单调性,这个区间叫做函数的单调区间下面通过简单的几个例题简单的求函数的单调区间:例 1 求下列函数的单调区间.(1); (2)解(1)函数的单调
13、递增区间为:函数的单调递减区间为:(2)函数的单调递增区间为: 函数的单调递减区间为:这是函数的单调性定义的简单应用,后面将应用于大量的例题中2.2.2函数的极值定义5函数在点附近的所有点都有,则称是函 数的一个极大值,记作:;定义6函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有 ,则称是函数的一个极小值,记作:;极大值与极小值统称为极值,称为极值点例2 已知函数是函数的一个极值点,其中(1)求与的关系表达式;(2)求的单调区间;(3)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围解析 利用导数判断函数的单调性其主要题型以函数单调区间的求解、单调性的证明,求参变量的取值范围为主而熟练掌
14、握导数与函数单调性的关系是解题的突破口这类题目的解决,关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识,第1小题根据极值点处导数为零,可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根据导数法得到,列出表格,答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论解(1) 由是的一个极值点知即所以 (2)由(1)可知又由知当变化时,与的变化如下:100递减极小值递增极大值递减由上表可知:在区间和上递减;在区间在区间上递增.(3)由已知条件得 即 即当 时有 设 此函数开口向上,由题意知式恒成立所以 即 解得 又 所以 即的取值范围为.通过例题可以看出对于这部分知识的学习,可以认识到新课程中增加
15、了导数内容的作用,在学习中要明确导数作为一种工具在解答函数的单调性,极值等方面起着不可替代的作用,需要抓住导数基础知识学习3 导数的基础知识3.1 导数的定义3.1.1函数的平均变化率定义7对于函数有自变量,若自变量在处的增量为,那么函数值也相应的有增量()-()其比值叫做函数从到+之间的平均变化率,即 若则平均变化率可表示为: 称为函数从3.1.2 导数的定义 定义8如果函数处函数值的增量与自变量的增量的比值,当有极限,就说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率),记作,即由定义可知处连续是可导的必要条件且由导数的定义可知,求函数的导数的一般方法是:(1)求函数的改变量(2)
16、求平均变化率(3)取极限,得导数例3用定义分别求函数在处的导数解析解有关这类题目时必须熟记导数的定义和解题的一般方法,按三步走的步骤就能得到准确结果解 (1) 因为所以 所以 因此 (2) 因为,所以 所以因此3.2导函数定义9如果函数开区间内的每一点都可导,就说开区间内可导这时,对于开区间内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样就在开区间内构成一个新的函数,我们把这一个新函数叫做开区间内的导函数,记作:或(需指明自变量时记作:)即 =3.3导数的几何意义定义10若函数处可导,则它在该点的导数等于曲线点处切线的斜率若处可导,则曲线处的切线方程为: 导数的几何意义主要用于求解函数的切线问题
17、,求解过程中主要注意事项是熟记导数的几何意义,以达到准确下面我们在例题中看看导数的几何意义的具体用法:例4 已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求曲线过点的切线方程;(3)求斜率为4的曲线的切线方程解析 解这类题目必须审清题意,注意“在某一点”和“过某一点”的区别,避免没有审清题意而犯错误解 (1) 因为点在曲线上所以 所以在点处的切线的斜率所以曲线在点处的切线方程为即 (2) 设曲线与过点的切线相切与点则切线的斜率 所以切线方程为 即 因为点在切线上所以 即 所以 所以 所以 解得 故所求的切线方程为 或(3) 设切点为,则切线斜率所以切点为,所以切线方程为 和即 和介绍了导数的定义
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