数学建模论文-城市重金属污染及地质环境演变分析.doc
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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名
2、号的话): 所属学校(请填写完整的全名):中国石油大学(北京) 参赛队员 (打印并签名) :1.崔天赐 2. 李彦奇 3. 刘逸飞 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 年 月 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):评阅人评分备注全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):城市重金属污染及地质环境演变分析摘要在问题1中,我们首先根据离散的300余个样本的坐标及其相应的重金属浓度,用matlab
3、分别拟合绘制8种重金属元素浓度随坐标位置变化的浓度分布渐变图,用不同颜色代表不同的污染程度,定性直观地看出8种重金属元素在该城区的空间分布。同时,我们引入污染指数,利用地累积指数法对8种元素在5块区域的污染程度进行定量计算,并且对污染程度进行分级,不仅定量分析了不同区域的重金属污染情况,而且对第一部分的拟合图做了检验,两部分吻合很好。在问题2中,我们建立主成分分析模型,运用主成分分析法,用较少的新变量(主成分)代替原来较多的旧变量(8种重金属元素),既减少了变量个数,又保证了新变量能够覆盖大部分信息。这样便可以比较容易地通过主成分挖掘出各污染元素与区域功能之间的关系,进而确定重金属污染物的来源
4、。 在问题3中,我们分析了重金属污染物在地层中的扩散属于“分子扩散”而无“对流扩散”,符合菲克扩散定律的传播特征。我们根据空间中任一体积元内金属污染物的物料守恒,结合反映金属元素传播特征的菲克扩散定律,建立金属元素在地层中的扩散模型,得到浓度关于坐标的拉普拉斯方程。我们采用有限差分法进行数值求解,在问题一浓度分布图的基础上,利用直观浓度最大点附近的若干已知样本数据作为边界条件,借助Excel进行迭代运算,使所得到的数值解与真实情况最大误差为0.001。再用matlab筛选出浓度最大点的坐标即为要求的污染源位置。由此分别求得8种重金属的污染源。在问题4中,我们首先分析了研究地质环境转换的具体内容
5、,也就是既要研究不同区域地质环境状况的“横向对比”,又要研究不同时间地质环境状况的“纵向对比”,对前三问建立的模型进行了优缺点分析。并且提出要从物质组成、地质结构、动力作用三个方面补充收集14类信息,建立层次分析模型,得到了一套地质环境状况评价指标,也就是各因素所占权重(权重的变化可以看出演化的过程)及综合评价指标。再将不同时期的评价体系进行对比,即可得出城市地质环境在的演变模式。关键词:地污染指数;主成分分析;菲克定律;层次分析一、 问题重述为了对某城市城区土壤地质环境进行调查,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式,现将城区按功能划分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等,分别
6、记为1类区、2类区、5类区,进行研究,不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域,按照每平方公里1个采样点对表层土进行取样、编号,并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析,获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面,按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样,将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。这样便得到了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区;8种主要重金属元素在采样点处的浓度;8种主要重金属元素的背景值。依据以上信息,通过数学建模解决以下问题:(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区域重金属
7、的污染程度。(2)通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。(4)分析所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集什么信息?有了这些信息,如何建立模型解决问题?二、 问题分析对于问题1,分析题目要求可以看出它有两部分构成:重金属元素在各区域的空间分布分析,以及不同区域重金属污染程度评价。要分析重金属元素在各区域的空间分布,结合题目所给出的离散的样品点,我们想到用matlab拟合出每种重金属元素的分布图,可以直观地看出重金属的分布特征。对于第二部分,要想对不同区域重金属的污染程度进行评价,只要引入一个污染评价指标
8、便可以定量评价每个区域的污染程度。对于问题2,要分析重金属污染的原因,也就是各种金属的来源,需要找出区域的功能与不同污染元素之间的关系。但由于污染元素一共有8种,变量因子过多,且原始数据纷杂,不利于找出内在联系,于是想到用较少的新变量代替原来较多的旧变量,而且保证新变量尽可能多的保留原来变量所反映的信息。这样就可以通过分析少量新变量之间的关系,挖掘出内在联系。主成分分析法便可以实现这一目的。对于问题3,要得到污染源,必须要得到地层中重金属元素的浓度分布,以求浓度最大点。首先我们要明确重金属元素在地层中的扩散规律,然后根据这一规律建立扩散模型。通过查阅大量文献,我们总结出重金属元素在地层中的扩散
9、只有“分子扩散”,而无“对流扩散”,满足菲克定律。这样我们根据特定地层区域内重金属“物料守恒”建立了扩散模型,求得了地层中的浓度分布,进而得到浓度最大点也就是污染源。对于问题4,要研究地质环境演变时,既要研究不同区域地质环境状况的“横向对比”,又要研究不同时间地质环境状况的“纵向对比”,并且要明确地质环境这一概念所包含的因素(重金属污染只是其中一种)。明确了以上两点也就明确了我们研究地质环境演变规律所需要的信息。而在“横向对比”过程中,我们必须要对地质环境状况有一套评价指标,也就是各因素所占权重(权重的变化可以看出演化的过程)及综合评价指标。“纵向对比”只需要对比不同时间同一区域的地质环境状况
10、即可。三、 模型假设重金属污染物浓度在空间的分布连续;重金属污染物在地层中的扩散系数为常数;该城区的重金属污染物分布在短时间内不随时间变化,是稳定状态。四、 模型建立与求解4.1重金属元素分布与不同区域污染程度(问题1)4.1.1各重金属元素在不同区域的分布图要分析8种重金属元素在该城区的空间分布,我们想到了根据给出的样本测量数据,把8种元素分开讨论,剔除样本中的特异点后,对于每一种元素都用matlab软件的“griddata”语句绘制出该种元素在5个区域内的连续分布(在不同区域内的浓度大小)的网格图,进而直观地看出不同区域每一种重金属污染的程度。如下图,是通过matlab绘制的各种重金属元素
11、的污染分布图(绘图源代码见 附录Matlab程序第1问)。由于图片所占页面空间太大,这里只贴出As、Cd元素的分布图作为代表,剩下6种元素的分布图见附件。对于8种重金属元素的分布图来说,红色表示浓度最大,紫色表示浓度最小。颜色由暖色至冷色表示浓度递减。图1:As元素在各区域的分布从图1中可以直观地看出As元素主要分布在工业区、生活区与绿地周围,而在交通区分布较少。在山区大部分地区分布较少,少部分地方有分布。图2:Cd元素在各区域的分布 对于图2,可以直观地看出Cd元素主要分布在工业区与交通区周围,次之分布在生活区与绿地,在山区分布较少。另外,由其它6种重金属元素的分布图(见附件图像第1问)可以
12、看出Cr元素主要分布在生活区与交通区,在工业区、绿地与山区分布较少。对于Cu元素,发现工业区与交通区分布较多,其它地方分布较少。对于Hg元素,发现只有少部分生活区与交通区分布较多,其它部分基本上没有受到Hg元素的污染。对于Ni元素,发现在山区、生活区与工业区分布较多,在交通区与绿地分布较少。对于Pb元素,发现在交通区分布最多,在部分生活区与部分工业区也有所分布,而在其它区域都分布较少。对于Zn元素,发现在生活区与工业区分布较多,其它区域分布较少。4.1.2 地累积指数法评价不同区域重金属污染程度地累积指数法是一种常用的研究沉积物中重金属污染的定量指标,其计算公式为: (1)式中:是实测元素在地
13、层中的含量;为元素在地层中的背景值;是考虑了各地岩石差异可能会引起的变动而取得变动系数(一般情况下取值为1.5)。【1】得到的地积累指数可分为不同的等级,分级情况与污染程度的对应关系见下表:表1:重金属污染级别、地积累指数()和分级比较项目污染程度分类清洁轻度污染偏中度污染中度污染偏重污染重污染严重污染5级别0123456对于本题,是题目中所给的各种元素的背景值。是通过题目所给的数据统计得到的各区域中各种重金属元素的平均含量,如下表:表2:各区域中各种重金属元素的平均含量元素平均含量AsCd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 生活区6.270289.969.0149.4093.0418.34
14、69.10237.0工业区7.251393.153.40127.5642.319.8193.04277.9山区4.044152.338.917.3140.9515.4536.5573.2交通区5.703359.058.0262.02446.117.5963.39242.3绿地区6.104263.142.8330.04109.414.8860.19145.9把代入到式(1)后,得到5块区域内各种重金属元素的地积累指数值(),如下表:表3:各区域内各种重金属元素的地积累指数值AsCdCr CuHgNiPbZn生活区0.81.1571.1541.9041.410.581.1561.78污染级别122
15、22122工业区1.011.5960.7843.2724.1970.691.5852.01污染级别22145123山区0.1670.2280.320.3910.2260.330.2370.087污染级别11111111交通区0.6631.4650.92.233.6720.521.0321.812污染级别12134122绿地区0.7611.010.461.1861.6450.280.9571.081污染级别12122112通过上表各区域的污染级别可以看出:对于生活区,Cd、Cr、Cu、Hg、Pb、Zn这几种重金属元素属于偏中度污染;As、Ni两种重金属元素属于轻度污染。对于工业区,Hg是重污染;
16、Cu是偏重污染;Zn是中度污染;As、Cd、Pb属于偏中度污染;Cr、Ni属于轻度污染。对于山区,所有的重金属元素都是轻度污染。对于交通区,Hg是偏重污染;Cu是中度污染;Cd、Pb、Zn均属于偏中度污染;As、Ni属于轻度污染。对于绿地区,Cd、Cu、Hg、Zn属于偏中度污染;As、Cr、Ni、Pb均属于轻度污染。另外,为了对比各区域的总污染程度,我们对各个区域内的所有重金属元素的地积累指数求和,得到各区域的总地积累指数(),结果如下表:表4:各区域的总地积累指数()区域生活区工业区山区交通区绿地区1.21.90.241.50.9通过上表比较可以发现不同区域的污染程度为:工业区交通区生活区绿
17、地区山区。通过对比4.1.1与4.1.2的结论,发现重金属元素的分布情况与各区域内的重金属污染程度相互呼应,吻合的很好。该城区的重金属污染特点,我们可以总结为:该城区的主要污染元素为Hg、Cu、Zn;且污染主要集中在工业区与交通区。4.2主成分分析模型(问题2)要研究重金属污染的主要原因,就要发现不同区域内主要污染物与该区域功能的关联性,进而确定各区域污染原因之间的关联性,以确定整个城区污染的原因。但由于导致每个区域污染的重金属元素众多,没法直接通过重金属元素之间的关系确定各区域污染原因之间的关联性。于是想到用较少的新变量代替原来较多的旧变量,而且保证新变量尽可能多的保留原来变量所反映的信息。
18、主成分分析法便可以实现,主成分分析法是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。 4.2.1主成分分析模型的建立假定有个地理样本,每个样本共有个变量描述,这样就构成了一个阶的地理数据矩阵: (2)要想从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律,自然要在维空间中加以考察,这是比较麻烦的。为了克服这一困难,就需要用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标,这些综合指标(即新变量)选取最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合,适当调整组合系数,使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。若原来的变量指标为,它们的综合指标新变量指标为,则 (3)在(3)式中,系数由下列原则来决定:()相互无
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