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1、学学 号:号:200810050118 HEBEI UNITED UNIVERSITY 毕毕 业业论论文文 GRADUATE THESIS 论文题目:论文题目:最小二乘法及其应用最小二乘法及其应用 学生姓名:学生姓名:赵龙赵龙 专业班级:专业班级:08 数学数学 1 班班 学学 院:理学院院:理学院 指导教师:郭小强指导教师:郭小强 讲师讲师 2012 年年 5 月月 25 日日 摘 要 -I- 摘 要 最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识,并在 参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用。然而, 最小二乘法因其抽象、难懂常常不能被准确理解。本文探讨了
2、最小二乘法的基 本原理及其各种变形的拟合方法,其中包括:一元线性最小二乘法拟合、多元 线性拟合、多项式拟合、非线性拟合和可化为线性拟合的非线性拟合,并且给 出了加权最小二乘法的方法,运用实例来展示最小二乘法在实践中的应用,在 此基础上给出了几种最小二乘法程序的设计原理。 关键词 最小二乘法,线性拟合,曲线拟合,应用实例 Abstract -II- Abstract Least square was used to estimate parameters and identify system of regression model, by the point of error fitting.
3、 And it has widely application in the parameters estimate, system identification, prediction, forecasting and other fields. However, the least square method because of its abstract and difficult ,often can not be accurately understanding. The least square methods principle and the various kinds of f
4、itting methods such as the linear least square fitting, linear fitting, polynomial fitting ,and of linear fitting and nonlinear fitting, nonlinear fitting and gives the method of weighted least squares method, and the use of examples to show the least squares method application in practice, on the b
5、asis of several least-squares procedure design principle. Keywords :least square method; linear fitting; curve fitting; application examples 目 录 -III- 目 录 摘 要.I ABSTRACT.II 第 1 章 绪论1 第 2 章 最小二乘法3 2.1 最小二乘法的定义.3 2.2 最小二乘法的统计学原理.3 第 3 章 最小二乘法应用5 3.1 曲线拟合.5 3.1.1 一元线性拟合.5 3.1.2 多元线性拟合.7 3.1.3 多项式拟合.8 3
6、.1.4 非线性最小二乘法拟合8 3.1.5 可化为线性拟合的非线性拟合10 3.2 加权最小二乘法11 3.2.1 加权最小二乘法定义.11 3.2.2 加权最小二乘法原理.12 第 4 章 应用最小二乘法解决的实际问题14 4.1 一元线性拟合实例.14 4.2 多项式拟合实例15 4.3 非线性拟合16 4.4 可化为线性拟合的非线性拟合17 第 5 章 最小二乘法程序设计18 5.1 程序设计原理.18 5.1.1 一元线性拟合的程序设计原理18 5.1.2 多元线性拟合的程序设计原理18 5.2 MATLAB对最小二乘法的实现.19 5.2.1 用 Matlab 实现曲线拟合 19
7、5.2.2 实例19 结 论22 参考文献23 谢 辞24 附 录25 第 1 章 绪论 -1- 第 1 章 绪论 最小二乘法是一个比较古老的方法,早在十八世纪,首先创立并成功地应用 于天文观测和大地测量工作中。虽然勒让德独立地运用最小二乘法是与高斯同 时的,但人们一般都认为高斯在 1795 年(18 岁)首先应用了最小二乘法。高 斯创造了最小二乘法,使他能够用望远镜的观测结果来估算行星的轨道运动。 目前,有三个领域的发展越来越广泛地运用于最小二乘法,对最小二乘法 估计理论和实用都带来了深刻的影响。这三个领域的发展是:近代统计估计理 论的概念、矩阵符号表示法和近代线性代数的概念以及大型快速数字
8、计算机的 应用。 在每个领域中,对于最小二乘法的应用,其观测值不可能是完善无误的。 观测精度总是存在一个极限值,超过这个极限值,不是表达量的数学模型失效, 就是测量仪器的分辨力失效,或者两者都失效。超过这个精度极限值,重复观 测结果之间不会彼此符合。 例如,如果我们用米标尺和肉眼多次观测工作台的长度,那么极限精度很 可能为毫米。如果我们把测量结果记录到最接近的 0.1 毫米,那么它们将是不 一致的。 我们所希望的精度,往往超过我们所实施的观测的极限精度。在这种情况 下,我们不可能知道我们所观测的物理量的真值。我们只能对真值做一个估计。 我们希望这个估值是惟一的(即是用某种标准方法来求定估值,当
9、给定同样的 观测结果时,这个方法得到同样的估值) ,而且我们希望知道固执的优度如何。 处理不一致的数据的科学方法叫做统计学,确定唯一估值以及其优度的方 法叫做统计估计法,最小二乘法是使不符值的平方和为最小的一种统计估计法。 应当着重指出,还有其他的方法也能得到唯一的估值。例如,使不符值的 绝对值的和为最小的估值法,或使最大的不符值为最小的估值法。但与最小二 乘法相比,这些方法至少有下述三个缺点。第一,最小二乘法适用于涉及到线 性和非线性数学模型的问题,而其他两种方法仅适用于线性问题,其原因在于 受到了基本连续性和可微性的限制。第二,最小二乘法估计与一个统计量(算 术平均值)发生关系,这个统计量
10、往往比与其它两种方法关联的两个统计量 (它们分别是中位数和中列数)更重要。最后,最小二乘法普遍的应用于许多 领域,使得它成为获得唯一估值的标准方法。 本文将对最小二乘法以及在现在社会生活中应用进行叙述。第二章介绍最 小二乘法定义以及原理,第三章将讨论曲线拟合,第四章将举例来进一步说明 河北联合大学理学院 -2- 最小二乘法在实际中的应用,第五章将分析最小二乘法的程序设计原理,以及 用 matlab 来实现曲线拟合。 本章主要介绍了最小二乘法的背景和统计学与最小二乘法,是我们了解了 最小二乘法与统计学其他统计数据方法相比较最小二乘法的优点,最后对本文 主要内容进行了介绍。 第 2 章 最小二乘法
11、 -3- 第 2 章 最小二乘法最小二乘法 2.1 最小二乘法的定义 定义定义 1.11.1 (残差):。希望尽可能小,常见 miyx iii , 2 , 1 i 方法有: (1)选取,使偏差绝对值之和最小,即 x min 11 m i ii m i i yx (2)选取,使偏差最大绝对值最小,即 x min maxmax 11 ii mi i mi yx (3)选取,使偏差平方和最小,即 x 称(3)为最小二乘法原则。 min 2 11 2 m i ii m i i yx 定义定义 1.21.2(最小二乘法):根据已知数据组选取一个近似函数 ii yx ,(1,2, )in ,使得 x 2
12、11 2 m i ii m i i yx 最小。这种求近似函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法,函数称为这组 x 数据的最小二乘函数。 2.2 最小二乘法的统计学原理 基本最小二乘法,其统计学原理是: 设统计量与 个变量间的依赖关系式为yl l xxx, 21 ,),;,( 1021nl aaaxxxfy 其中是方程中需要确定的个参数。 n aaa, 10 1n 河北联合大学理学院 -4- 最小二乘法就是通过个实验点确1m mn 12 (,)(1,2,) iiili xxxyim , 定出一组参数值 , 01 (,) n a aa 使由这组参数得出的函数值 1201 = (,) iiiln y
13、f xxxa aa 与实验值间的偏差平方和 i y 2 01 1 (,)() m ni i s a aayy 取得极小值. 在设计实验时,为了减小随机误差,一般进行多点测量,使方程式个数大于 待求参数的个数,即.这时构成的方程组叫做矛盾方程组.通过用最小二1mn 乘法进行统计处理,将矛盾方程组转换成未知数个数和方程个数相等的正规方程 组,再进行求解得出. 01 , n a aa 由微分学的求极值方法可知应满足下列方程组: 01 , n a aa ,0 i y a (1,2, )in 这样就实现矛盾方程组向正规方程组的转换。 本章对最小二乘法做了详细的定义,使我们清楚地认识了最小二乘法。随 后又
14、对最小二乘法的统计学原理进行了阐述,使我们更清楚的了解最小二乘法 的运算原理。 第 3 章 最小二乘法应用 -5- 第 3 章 最小二乘法应用 3.1 曲线拟合 3.1.1一元线性拟合 设变量与成线性关系,即.现在已知个实验点 yx 01 yaa xm, ii x y ,求两个未知参数.(1,2,)im 01 ,a a 方法一 由最小二乘法原理,参数应使 01 ,a a 2 0101 1 (,)() m ii i s a ayaa x 取得极小值.根据极小值的求法,和应满足 0 a 1 a , 01 1 0 01 1 1 2()0 2()0 m ii i m iii i s yaa x a s
15、 yaa x x a , 1 0 11 2 01 111 1 mm ii ii mmm iiii iii a axy mm axaxx y 这就是含有两个未知数和两个方程的正规方程组. 从中解得,即 01 ,a a (1) 22 1 11 01 ()/() mm iii ii ax ymxyxmx aya x 其中 , 11 11 , mm ii ii xx yy mm 线性相关系数,式中/ xyxx yy Rll l 河北联合大学理学院 -6- , 2222 111 , mmm xyiixxiyyi iii lx ymxy lxmxlymy 相关系数是用来衡量实验点的线性特性. 方法二 将代
16、入得矛盾方程组,(1,2,) ii x y im 01 yaa x (2) 101 1 2012 01mm yaa x yaa x yaa x 令 , 1 2 1 1 1 m x x A x 1 2 m y y B y 则(2)式可写成 , 0 1 a BA a 则有 , 0 1 TT a A BA A a 所以 . 01 1 () TT a A AA B a 其中称为结构矩阵,称为数据矩阵,称为信息矩阵,称为常数矩阵.AB T A A T A B 为了定量地给出与实验数据之间线性关系的符合程度,可以用 01 yaa x 相关系数 来衡量.它定义为r . 111 22 22 1111 mmm
17、iiji iji mmmm iiii iiii mx yxy r mxXmyy 值在中, 值越接近 1,与的线性关系越好. 为正时,直线斜 r 01rrxyr 率为正,称为正相关; 为负时,直线斜率为负,称为负相关. 接近于 0 时,测量rr 第 3 章 最小二乘法应用 -7- 数据点分散或之间为非线性.不论测量数据好坏都能求出和,所以我们必须 0 a 1 a 有一种判断测量数据好坏的方法,用来判断什么样的测量数据不宜拟合,判断的 方法是时,测量数据是非线性的。称为相关系数的起码值,与测量次数 0 rr 0 r 有关,如图表所示。n 表表 3-13-1 相关系数起码值相关系数起码值 0 r n
18、 0 r n 0 r n 0 r 31.00090.798150.641 40.990100.765160.623 50.959110.735170.606 60.917120.708180.590 70.874130.684190.575 80.834140.661200.561 在进行一元线性拟合之前应先求出 值,再与比较,若,则和具r 0 r 0 rrxy 有线性关系,可求回归直线;否则反之。 3.1.2多元线性拟合 设变量与个变量间存在线性关系,.设变量的第 次ynx 0 1 n jj j yaa x j xi 测量值为,对应的函数值为,则偏差平方和 ij x(1,2,) i y im
19、 22 010 111 (,)()() mmn niijij iij s a aayyyaa x 为使 取极小值,得正规方程组为:s , 0 11 0 01 11 1 0 11 2()0 2()0 2()0 mn ijij ij mn ijiji ij mn ijijin ij n s yaa x a s yaa x x a s yaa x x a 河北联合大学理学院 -8- 即 ,. 0 111 0 1111 () nmm ijji jii mnmm ikijikjiki jjii maxay x ax xax y 1,2,kn 将实验数据代入上述正规方程组中,即得出未知参数.(,) iji
20、 xy 01 , n a aa 3.1.3多项式拟合 对于次多项式,令,则可转化为线性形式n 0 n j j j ya x (0,1,2, ) j j xxjn 这是曲线化直.对于个实验点有,代入多元线 0 1 n jj j yaa x 1,2,im j iji xx 性拟合的正规方程: , 00 1111111 ()() nmmmnmm ijjiikijikjiki jiiijii maxayx ax xax y 可直接得出多项式最小二乘拟合的正规方程: ; 011 nmm j k ijiki jii xax y (0,1,2, )kn 矩阵形式: , 0120 0 12311 1 2342
21、2 2 12 n iiiiii n iiiiii n iiiiii nnnn mn iiiiiin xxxxx ya xxxxx ya xxxxx ya xxxxx ya 式中代表,这是一个具有个参数和个方程的线性方 1 m i 1n 012 , n a a aa1n 程组,可用高斯迭代法求出这些未知参数,得出回归方程。 3.1.4 非线性最小二乘法拟合 将非线性关系直接代入偏差平方和表达式中, 1212 ( ,) in yf x xx b bb 第 3 章 最小二乘法应用 -9- 采用极小值的求法得出的数值,此方法常常较为繁琐.为此,先将函数 12 , n b bb 展开成泰勒级数,忽略高次
22、项,化成线性形式后按线性拟合的方法求出参数,经多 次逼近可得到满足精度要求的结果。 计算步骤: (1) 设所求参数真值为,另取初值,其差值,(1,2, ) j bjn (0) j b (0) jjj bb 故. (0) jjj bb (2) 将函数 1212 ( ,) ln f x xx b bb 在处展开成泰勒级数.由于初值与真值应当很接近,故可以略去函 (0) j b (0) j b j b 数的泰勒展开式高次项,取得一阶近似展开式: , (0) 1 1 ii iin n ff ff bb 式中 (0)(0)(0)(0) 1212 (,) iiiiln ff xxx bbb 1212 (,
23、) iiiiln ff xxx b bb (1,2,.)imm为实验点数 (3) 令,则展开式可以写为: (0) , i ijiiijj j f xyffa b , 1 122 1 n iiinnijj j yx ax ax ax a 这是线性关系式的特殊形式。 (4) 将多元线性最小二乘法拟合的正规方程式应用于上式,得出其正规方程 组: 111 ()()(1,2, ) nmm ijikjiki jii x xax ykn 令 河北联合大学理学院 -10- 11121 21222 12 n n mmmn xxx xxx A xxx 12 (,)T n aa aa , (0)(0)(0) 121
24、122 (,)(,) TT mmm yy yyffffff 则上式成为: 。 TT ayA A A (5) 以高斯消元法或其它方法求解正规方程,即可得出即,求出, j a j (0) jjj bb 此式是一个近似式,因而得出的也是一个近似值.将首次求出的值赋给作 j b j b (0) j b 为新的初值,重复上述过程,再求出新的值,从而得到新的初值,反复迭代,直到得 j 出足够精度的为止。 j b 3.1.5 可化为线性拟合的非线性拟合 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线,从而用线 性拟合进行处理。对于一个实际的曲线拟合问题,一般先按观测值在直角坐标 平面上描出散点图,看
25、一看散点同哪类曲线图形接近,然后选用相接近的曲线 拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性 拟合问题,按线性拟合解出后再 还原为原变量所表示的曲线拟合方程。 表 3-2 列举了几类 经适当变换化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关 系。 表表 3-23-2 曲线拟合方程变换关系变换后线性拟合方程 b axy xxyyln,ln)ln(aaxbay caxy xx cxay bax x y , 1 y y x x 1 xbay bax y 1 , 1 y y axby 第 3 章 最小二乘法应用 -11- cbxax y 2 1 , 1 y y cbxaxy 2 cbxax x y 2 , y
26、x y cbxaxy 2 图 3-1 中是几种常见的数据拟合情 况。对于图(a),数据接近于直线,故 宜采用线性函数 y=a+bx 拟合;图(b)数据分布接近于抛物线,可采用二次多项 式 2 210 xaxaay 拟合;图(c)的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐 渐变慢,宜采用双曲线型函数bax x y 或指数型函数 x b aey ;图(d)的数据 分布特点是曲线开始下降快,随后逐渐变慢,宜采用bax y 1 或 2 1 bxa y 或 bx aey 等函数拟合。 图图 3-13-1 3.2 加权最小二乘法 3.2.1加权最小二乘法定义 此法是应用于实验测量值非等精度的情况下的拟合方法。
27、它不同程度的 i y 消除误差因素,结果更准确可靠。 设拟合函数为,当值取时的实测值为,取.( )yf xx i xy i y( ) iii yf x 河北联合大学理学院 -12- 加权偏差平方和 , 2 2 11 ( ) mm iiiii ii swwyf x 式中为 个实验点的权重因子.选取合适的权重因子可获得高精度的拟合参 i wi i w 数。 3.2.2 加权最小二乘法原理 根据实际需要,往往对于精度较高或地位较重要的数据,应该给予 ii yx , 较大的权。 用加权最小二乘法进行曲线拟合的要求与原则是: 对于给定的一组试验数据,要求在中,寻找一个函数 ii yx ,mi, 2 ,
28、1 xaxaxax nn * 1 * 10 * 0 * 使 2 1 * )( 2 1 * min m i ii x m i ii yxyx 其中 为中任一函数是正数,称为权,大小反 m i ii xax 1 )()( i ami, 2 , 1 映的地位强弱, ii yx , 显然:求可归结为求多元函数 的极小点 2 1 10 )(, iikk m i in yxaaaas * 1 * 0 , n aaa 同理可求。但其中: ijik m i ijk xx 1 ,njk, 1 , 0, iik m i ik yxf 1 ,nk, 2 , 1 , 0 特例:如果选用的拟合曲线为 n nn xaxa
29、ax 10 )( 则,相应的方法方程组为 第 3 章 最小二乘法应用 -13- =。 n i m i i n i m i i n i m i i n i m i ii m i ii m i i n i m i ii m i i m i i xxx xxx xx 2 1 1 11 1 1 2 11 111 n a a a 1 0 m i i n ii m i iii m i ii yx yx y 1 1 1 本章主要介绍了最小二乘法的应用,使我们了解了曲线拟合,对一元线性 拟合、多元线性拟合、多项式拟合和非线性拟合的原理有了很好的理解,通过 对线性和非线性拟合的理解,又给出了线性拟合向非线性拟合
30、的转变。并且给 出了加权最小二乘法的定义和原理,将最小二乘法用模糊数学思想进行计算, 使精度更加准确。 河北联合大学理学院 -14- 第 4 章 应用最小二乘法解决的实际问题 4.1 一元线性拟合实例 例 测得铜导线在温度 i T ()时的电阻 )( i R 如表 6-1,求电阻 R 与温度 T 的近似函数关系。 表表 4-14-1 i0123456 i T () 19.125.030.136.040.045.150.0 )( i R 76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10 解 画出散点图(图 4-1),可见测得的数据接近一条直线,故取 n=1,拟合函 数为 T
31、aaR 10 列表如下 表表 4-24-2 i i T i R 2 i T iiR T 019.176.30364.811457.330 125.077.80625.001945.000 230.179.25906.012385.425 336.080.801296.002908.800 440.082.351600.003294.000 545.183.902034.013783.890 650.085.102500.004255.000 245.3565.59325.8320029.445 正规方程组为 445.20029 5 . 565 83.9325 3 . 245 3 . 2457
32、1 0 a a 解方程组得 921 . 0 ,572.70 10 aa 故得 R 与 T 的拟合直线为 TR921. 0572.70 利用上述关系式,可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如,由 R=0 得 T=- 242.5,即预测温度T=-242.5时,铜导线无电阻。 第 4 章 应用最小二乘法解决的实际问题 -15- 图图 4-14-1 4.2 多项式拟合实例 例 已知实验数据如表 4-3 表表 4-34-3 i012345678 i x 1345678910 i y 1054211234 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。 解 设拟合曲线方程为 2 210 xaxaay 列表如下 表表
33、 4-44-4 I i x i y 2 i x 3 i x 4 i x iiy x ii yx2 01101111010 135927811545 24416642561664 352251256251050 461362161296636 571493432401749 68264512409616128 79381729656127243 810410010001000040400 53323813017253171471025 得正规方程组 1025 147 32 253173017381 301738152 381529 2 1 0 a a a 河北联合大学理学院 -16- 解得 26
34、76 . 0 6053 . 3 ,4597.13 210 aaa 故拟合多项式为 2 2676. 06053 . 3 4597.13xy 。 4.3 非线性拟合 例 已知一组数据如下表,在 xx eespan , 1 中求其拟合函数。 表表 4-54-5 i x 00.10.20.30.40.50.6 i y 22.202542.407152.615922.830963.054483.28876 解 设拟合函数为 xx eaeaaxp 210 )( 即 xx exexx )(,)(, 1)( 210 代入得 28876 . 3 05448 . 3 83096 . 2 61592 . 2 407
35、15 . 2 20254 . 2 2 , 54881 . 0 82212 . 1 1 60665 . 0 64872 . 1 1 67032 . 0 49182 . 1 1 74082 . 0 34986 . 1 1 20254 . 2 22140 . 1 1 90484 . 0 10517 . 1 1 111 yG 所以 45687.13 15718.26 39981.18 , 15627. 49999 . 6 29005 . 5 9999 . 6 79927.1363909 . 9 29005. 563909. 97 yGGG TT 解正规方程组 yGGaG TT 得 00304 . 1
36、,01700 . 1 ,98614 . 1 210 aaa 故所求拟合曲线为 xx eey 00304 . 1 01700 . 1 98614 . 1 第 4 章 应用最小二乘法解决的实际问题 -17- 4.4 可化为线性拟合的非线性拟合 例 设一个发射源的发射公式为 at eII 0,通过实验得到如下数据: 表表 4-64-6 k t 0.20.30.40.50.60.70.8 k I 3.162.381.751.341.000.740.56 利用最小二乘法确定 0 I 和 a。 解 : atII 0 lnln ,将数据对 ),( kk It 转化为数据对 )ln,( kk It ,然后进行
37、直线 拟合。 列表如下: 表表 4-74-7 k k t k I k Iln 2 k t k t k Iln 00.23.161.150570.040.230114 10.32.380.867100.090.260130 20.41.750.559620.160.223846 30.51.340.292670.250.146335 40.61.000.00.360.0 50.70.74-0.301110.49-0.210774 60.80.56-0.579820.64-0.463855 3.5 1.989032.030.185796 于是得到正规方程组: 185796 . 0 03. 25 .
38、 3 98903 . 1 5 . 37 10 10 aa aa 解得: 888282 . 2 ,728288. 1 10 aa 则 63 . 5 ,89 . 2 0 01 a eIaa , 于是得到拟合指数函数为 t eI 89 . 2 63 . 5 。 本章通过对最小二乘法的一元线性拟合、多项式拟合和非线性拟合进行研 究,通过进一步加深理解,给出了由非线性拟合向线性拟合的转变,结合社会 实际中数据和物理实验数据,找到了相关的社会背景和物理背景,使我们具体 河北联合大学理学院 -18- 的理解了一元线性拟合和多项式拟合的原理。读者可以通过对本文的学习,给 出多元拟合的求解。 第 5 章 最小二
39、乘法程序设计 -19- 第 5 章 最小二乘法程序设计 5.1 程序设计原理 5.1.1 一元线性拟合的程序设计原理 对于给定的实验数据,求作拟合直线,使总误差( ,),1,2, ii x yinyabx 为最小. 2 1 () n ii i Qyabx 再由数学中极值求法得公式:LS , 2 11 ()()/() nn iii ii bxxyyxx ,aybx 式中,。 1 1 n i i xx n 1 1 n i i yy n 5.1.2 多元线性拟合的程序设计原理 对式,设变量的第 次测量值为,对应的函数值 0 1 n jj j yaa x j xi ij x 偏差平方和(1,2,) i
40、 y in , 22 010 111 (,)()() mmn niijij iij s a aayyyaa x 求其极小值得正规方程组 , 0 111 () nmm ijji jii max ay , 0 1111 ()() nnmm ikijikjijik jjii x ax xax x (1,2, )kn 式中:为实验点数,为未知参数个数,为变量在第mn( , )x m n(1,2, ) j xjni 次测量中的取值;为函数第 次测量值,为正(1,2,)im ij x( )y mi i y( ,1)c m n 河北联合大学理学院 -20- 规方程组的系数和,第列存放和;为存放未 1 m i
41、j i x 1 m ijik i x x 1n 1 m i i y 1 m iki i x y ( )a n 知参数。 01 , n a aa 5.2 MatlabMatlab 对最小二乘法的实现 5.2.1 用 Matlab 实现曲线拟合 Matlab 是一种功能强大的系统分析和仿真工具,我们选用它作为实现曲线 拟合的软件工具。用 Matlab 语言实现最小二乘法的思路: (1)输入各参量 x、y 的测量值(以数组形式输入,这样便于在计算 过程中引用) ; (2)用 Matlab 语言中 plot 函数 x、y 的曲线关系图,以此图对比典型 曲线图,选择合适的经验公式; (3)选择一个系数
42、a,求 f(a,b)对它的偏导数,求出其计算表达式; (4)编写 Matlab 的 M 函数,用来完成经验公式中待定系数 a 的计算, 该函数输入量为 x、y、b,输出量为 a、f(a,b)按照最小二乘 法推导出的公式代入数值由 x,y,b 计算 a,f; (5)改变 b 的取值,多次调用该 M 函数,比较结果中的 f 值,最小的 f 值所对应的 a、b 值即为所求。 最后,只要将得到的函数图像和 x,y 的曲线关系图进行对比,就可以 直观的看到拟合的效果了。 另外,Matlab 语言提供了一个函数,可以完成线性曲线拟合,就是 ployfit。函 数 polyfit 的输入量为 x、y、n,其
43、中 x、y 即为需要建立相互关系的两个量的测 量量,以数组的形式输入,n 为多项式的次数;输出的是多项式系数的行向量, 而得到的多项式是降幂的。 5.2.2 实例 例 下面给定的是乌鲁木齐最近 1 个月早晨 7:00 左右(新疆时间)的天气预报 所得到的温度数据表,按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 表表 5-15-1 天数12345678910 温度910111213141312119 天数11121314151617181920 第 5 章 最小二乘法程序设计 -21- 温度101112131412111098 天数21222324252627282930 温度78911976531 下面应用 Matlab 编程对上述数据进行最小二乘拟合 (1)Matlab 程序代码程序代码: x=1:1:30; y=9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1; a1=polyfit(x,y,3) a2= polyfit(x,y,9) a3= poly
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