正交矩阵与其应用论文10336.doc
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1、 本科生毕业设计(论文) 正交矩阵与其应用 (The orthogonal matrix and its applicalion)学 院: 专 业: 学 号: 学生姓名: 指导教师: 17摘 要 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵,这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系,考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量。的长度的平方是。如果矩阵形式为 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵。反过来也成立:正交矩阵蕴涵了正
2、交变换。但是,线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换,它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。正交矩阵形成了一个群,即指示为的正交群,它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。 关键词: 正交矩阵;酉矩阵;正交群;正交变换AbstractThe orthogonal matrix and its applicalion (作者英文名):WaidyOrthogonal m
3、atrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led t
4、o the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector . the length of the square is . If the matrix form of linear transformation maintained vector length, then Therefore finite-dimensiona
5、l linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the
6、orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group,which is indicated ,it and its subgroups widely used in mathematics and physic
7、al science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matrix the
8、application of physics.Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformation目 录1.引言12. 正交矩阵的定义与其基本性 12.1正交矩阵的定义与判定 22.2正交矩阵的性质与其证明 33. 正交矩阵的应用 33.1 正交矩阵在线性代数中的应用 33.2正交矩阵在化学中的应用 83.3正交矩阵在物理学中的应用13参考文献 15致 谢 16附 录 16正交矩阵与其应用姓名: 学号: 班级: 1 引言正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵。尽
9、管我们在这里只考虑实数矩阵,这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系,考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量。 的长度的平方是。如果矩阵形式为 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵。反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了正交变换。但是,线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换,它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。正交矩阵形成了一个群,即指示为 的正交群,它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。使得它在不同的
10、领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。2 正交矩阵的基本知识2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1:级实数矩阵满足(或,或),则称 为正交矩阵。判定2.1-1:矩阵是正交矩阵;判定2.1-2:矩阵是正交矩阵;判定2.1-3:矩阵是正交矩阵;备注:判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即(或,或),也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量。当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质。2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质:性质1:
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