毕业论文-函数最值问题解法探讨.doc
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1、 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题 目 函数最值问题解法探讨 院 别 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 评阅教师 班 级 2008级4班 姓 名 学 号 20080242035 2012年5月12日 目目 录录 摘 要 ABSTRACT 1 引 言 1 2 求函数最值的几种解法探 讨 1 2.1 判别式 法 1 2.2 配方 法 2 2.3 均值不等式 法 3 2.4 换元 法 3 2.5 三角函数 法 4 2.6 单调性法 4 2.7 导数 法 5 3 求解函数最值时应注意的一些问 题6 3.1 注意定义 域 6 3.2 注意值 域 6 3.3 注意参变数的约束条
2、件 7 3.4 注意对判别式的运 用 7 3.5 注意均值不等式的运 用 8 4 函数最值在实际问题中的应 用 9 结束 语 12 参考文 献 13 内江师范学院本科毕业论文 I 摘 要:函数最值问题是数学领域中的重要研究内容.它不仅仅只在教学中解决一 些数学问题,而且经常运用于解决实际问题.在工农业生产、经济管理和经济核算中,常常 遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题.生 活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题.而这些生活和经济问题一般 都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究,进而转化为求函数最大(小)值的问题, 即为函数的最值探讨,这尤
3、其对研究实际问题的人们来说尤为重要.而函数最值问题的解 法包括一元函数和多元函数,同时也有初等与高等解法之分.本文主要通过从初等解法方 面对一元函数最值问题进行研究,探讨各种不同的求解方法,阐述函数最值问题研究的 重要性,得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题. 关键词: :函数;最值;高等解法;初等解法;微分 Abstract: The most value problem is mathematical functions in the field of important research content. It not only in the teaching solvin
4、g mathematical problems, and often used in solving practical problems. In the industrial and agricultural production, economic management and economic accounting, often encountered some solutions to meet certain conditions in how to produce the greatest, benefit highest but investment issues like th
5、e minimum. Life also often see for the most provinces, the highest efficiency and materials, such as maximum profit. And these life and economic problems generally can be transformed into the function in the mathematics problem for analysis and study, and then into the biggest (small) for function o
6、f the values of the problem is one of the most value function, this paper this especially for research of practical problems people is especially important. And the most value problem of solution function including a yuan function and multiple function, at the same time also have elementary and high
7、er solution of the points. This paper mainly through elementary method to a from of most value of a circular function to research function, this paper discusses the solution of all kinds of different methods, including the most value function of importance, and get the most value solve the function
8、of several methods and solving some problems that should be paid attention to. Key words: functions; the most value; higher solution; elementary method; differential 内江师范学院本科毕业论文 0 1 引言 函数是中学数学的主体内容,贯穿于整个中学阶段,而函数最值问题是函数的重要 组成部分处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向 简单问题的转化,虽然解决问题的具体过程不尽相同,但就其思维方式来讲,通常是将
9、待解决的问题通过一次又一次的转化,直至划归为一类很容易解决或已解决的问题,从 而获得原问题的解答1 函数最值问题是一类特殊的数学问题,它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛 的应用,而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置,是近几年数学竞赛中的常见 题型也是历年高考重点考查的知识点之一由于其综合性强,解法灵活,故而解决这类 问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种所学知识技巧,灵活选择合适的解题 方法2 函数最值的定义: 一般地,函数的最值分为最小值和最大值:设函数在处的函数值是 yf x 0 x 0 f x 如果对于定义域内任意,不等式都成立,那么叫做函数x 0 f xf x 0 f
10、x 的最小值,记作; yf x min0 yf x 如果对于定义域内任意,不等式都成立,那么叫做函数x 0 f xf x 0 f x 的最大值,记作. yf x max0 yf x 函数的最值一般有两种特殊情况: (1)如果函数在上单调增加(减少), 则是在上的最小值 0 ()f x , a b( )f a( )f x , a b (最大值),是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b (2)如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值,而没有极小(大)值, 0 ()f x( , )a b 则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值. , a b 内江师范学院本科毕业论
11、文 1 2 求函数最值的几种解法探讨 2.1 判别式法 对于某些特殊形式的函数的最值问题,经过适当变形后,使函数出现在一个有( )f x 实根的一元二次方程的系数中,然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出0 的最值3.( )f x 例例. . 求函数的最值. 2 (0)yaxbxc a=+ 解:解:因为,所以, 2 (0)yaxbxc a=+ 2 ()0axbxcy+-= 而,所以有xR 22 4 ()0440ba cybacayD=-+ 2 44ayacb- 2 min 2 max 4 0y 4 4 0 4 acb a a acb ay a - - 2 min 4 y 4 acb a -
12、 当时,.0a 0D= 成立.因此,在利用求出的的取值范围:或且中,不能0Dyaybyb()ya ab0 2 q 又因为sin(1+cos) 22 qq 2 =2sincos 22 qq 222 = 2 2sincoscos 222 qqq 3 222 2sin+cos+cos 222 2 3 qqq 4 3 = 9 其中当时,上式等号成立,即时成立,故 22 2sin=cos 22 qq =2cot2arcq 的最大值为.sin(1+cos ) 2 q q 4 3 9 2.4 换元法 用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看做一个整体或用 一个新变元来代替,达到化繁难为简易
13、,化陌生为熟悉,从而使原问题得解. 例例. . 求函数的最值. 2 =2+ 4y xx- 解:解:因为,即给定函数的定义域为:. 2 4022xx- - 2,2- 内江师范学院本科毕业论文 3 于是令 ,.2sinxq=, 2 2 p p q- 则给定函数可变形为: 2 2sin24(2sin )yqq=-+- 2sin2cos2qq=+- 2sinsin()2 2 p qq=+- 2 2sincos()2 44 pp q= -+- 2 2cos()2 4 p q=- 2 2sin()2 24 pp q=- 2 2sin()2 4 p q=+- 而. 3 , 224444 2 pppppp p
14、 qq- -+ - 又因在是增函数,所以其最值在端点处取得.sin() 4 p q+, 4 2 p p - 2.5 三角函数法 如果给定函数,经变形后能化成:或(、是 sin()yAxBq=+cos()yAxBq=+ AB 常数)的形式,则由或 sin()1xq+cos()1xq+ 可知:当或时,(设) 2 2 xk p pq=+- 2xkpq=-max yAB=+ 0A 当或时,(设) 2 2 xk p pq=- (21)xkpq=+- max yAB=-+ 0A 例例. . 求函数的最大值.sin cossincosyxxxx=+ 解:解:因为 sin cossincosyxxxx=+ 1
15、 sin2sinsin() 22 xxx p =+- 1 sin22sincos() 244 xx pp =+- 1 sin22cos() 24 xx p =+- 当时,;22() 24 xkxkkZ pp pp=+=+ max (sin2 )1x= 当时,,() 4 xkkZ p p=+cos()cos()cos1 444 xkk ppp pp-=+-= 内江师范学院本科毕业论文 4 即,所以,当时,. max cos()1 4 x p -= 4 xk p p=+ max 1 2 2 y=+ 2.6 单调性法 当自变量的取值范围为一区间时,有时也用单调性法来求函数的最值在确定函数 在指定区间
16、上的最值时,首先要考虑函数在这个区间上的单调情况若函数在整个区间 上是单调的,则该函数在区间端点上取得最值若函数在整个区间上不是单调的,则把 该区间分成各个小区间,使得函数在每一个区间上是单调的,再求出各个小区间上的最 值,从而可以得到整个区间上的最值5 例例. . 设函数是奇函数,对任意、均有关系,若( )f xxyR()( )( )f xyf xf yx 时,且求在上的最大值和最小值.0( )0f x (1)2f ( )f x3,3 解:解:先确定在上的单调性,设任意、且,则( )f x3,3 1 x 2 3,3x 12 xx . 21 0xx 所以有 212121 ()()()()()0
17、f xf xf xfxf xx 即. 21 ()()f xf x 所以,在上是减函数.( )f x3,3 因此,的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是.( )f x(3)3 (1)6ff 2.7 导数法 设函数在上连续,在上可导,则在上的最大值和最小( )f xab,()ab,( )f xab, 值为在内的各极值与,中的最大值与最小值( )f x()ab,( )f a( )f b 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数式的最值,通 常都用该方法导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视 例例. . 求函数,的最大值
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