毕业设计(论文)-古典概率计算中的摸球模型.doc
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1、 古典概率计算中的摸球模型目 录摘要2关键词2引言4第一章、古典概率定义及其性质51.1古典概率的定义51.2古典概率的性质5第二章、古典概率的计算方法82.1直接计算古典概率82.2间接计算古典概率92.3组合分析公式计算古典概率92.4排列与组合10第三章、古典概率计算中摸球问题133.1 随机的取出若干球133.2无放回的取出若干球133.3有放回的取球若干次14第四章、古典概率的应用164.1在比赛中的应用164.2在彩票中的应用16结 论19参考文献:20致谢21古典概率计算中的摸球模型摘 要 古典概型是概率论众多概型中的一种,它也是是概率论发展初期的主要研究对象,涉及了几种计算方法
2、,利用这些方法来解决实际中的问题。掌握古典概率的计算方法原理,可以使学生解题思路更加清晰,能够运用正确的方法解题,从而使得遇到类似问题时轻松解决,培养了良好的解题能力。概率论在人们的生活中被充分应用,例如彩票,比赛,掷骰子游戏等等,方方面面都离不开概率论,其中摸球问题也是学习中常见的一种题型,概率论在社会上以及人们的实际生活中都有很概率论在社会上以及人们的实际生活中都有着很重要的意义,因此数学中一直高度的重视概率论。关键词:古典概率;摸球模型;排列与组合;Exploration of the solution of fetching - ball model in the classical
3、probability fieldAbstract Classical probability model is one of many schemes of probability theory, which is the main object of study of the early development of probability theory, involving several calculation method, using these methods to solve practical problems.Master the methods of calculatio
4、n of classical probability theory, allows students to solve problems more clearly, and to use it the right way to solve problems, making it easily encounter the same problem, and cultivating the ability to solve problems. Probability on the in people of life in the was full application, such as Lott
5、ery, game, throwing dice game wait, aspects are is inseparable from probability on the, which touch ball problem is learning in the common of a questions, probability on the in community and people of actual life in the are has is probability on the in community and people of actual life in the are
6、has is important of meaning, so mathematics in the has been height of attention probability on the.Keywords: classical probability;fetching ball model ;permutation and combination引言古典概率是概率论中很重要的一部分,大学概率论课程中首先就对其进行的学习,它也是是概率论发展初期的主要研究对象,其中摸球摸球也是实际中常见的应用。概率论在起源和赌博联系到了一起。17世纪中叶,法国的贵族德梅耳对赌博很沉迷,一次在赌博的时候有
7、个很重要的事急于处理必须中途停止赌博,想要赢得赌博就需要对胜负的预测进行合理的分配,但是不知道如何分配,于是写信请教法国数学家帕斯卡。正是这封信使概率论向前迈进了一大步。并且人们也开始了研究掷硬币、掷骰子和摸球等游戏。2008年李荣江发表了计算古典概率的若干简化方法中讲述了古典概率的几种常见方法,荷兰数学家惠更斯在1659年出版的论赌博中的计算讲述了生活中赌博成败的可能性各占多少,都体现了概率在赌博中的问题。因此熟练掌握概率论的几种常见计算方法对于学好概率论有着非常重要的意义。古典概型的定义以及它的性质,然后再具体介绍它的几种常见方法,例如直接计算,间接计算以及排列组合分析公式等,探讨古典概型
8、在计算中摸球的模型.古典概型具有基础性和重要性,在国内一直受到很大的关注。第一章、古典概率定义及其性质1.1古典概率的定义 实验中样本所发生的可能性都是随机的并且有限的,而且每个基本结果发生的概率也是相同的。对于古典概型,它的样本点总数是,事件包括其中的个,那么规定事件的概率为 随机试验具有的以下两个特征:1、实验中的样本空间只有有限个样本点数;(有限性)2、实验中每一个样本点发生的可能性都是相同的。(等可能性)具有以上两个特征的实验是大量存在的,这种实验也称为等可能概型或古典概型。事件发生的可能性又分为随机事件、必然事件和不可能事件。对于一个事件它是否会发生是不可预定的,像抛一枚硬币,问是反
9、面朝上还是正面朝上这样的情况,正反都有可能不管可能性是多少但都有可能,这样的事件成为随机事件,必然事件指的是事件是一定会发生的,例如太阳一定从东边升起西边降落,实数一定与数轴上的点一一对应。而不可能事件与不然事件整好相反,它指的是事件一定不会发生,例如太阳从西边升起,实数的平方可以为负数等。1.2古典概率的性质古典概率有以下四个基本性质:1、 ;(非负性 )2、 (样本空间是指样本点全体组成的集合,记为);(正规性 )3、(为空集);4、 设事件互斥,则。(有限可加性 )古典概率只是概率论的种类之一,它还还具有一些其他性质如:性质1 (逆事件的概率)对任一随机事件,有。性质2 (可减性)若,则
10、。推论 (单调性)若,则。性质3 (加法公式)对于任意的两个事件、,都有。 对性质3进一步推广设 为n个事件,那么 证:(i)(i)成立. 任意事件的可能性都是小于1的(ii)成立. 必然事件是指包括所有的事件 (iii)令A,B包含的事件不同所以是互不相容的,则又因为P(A)=所以, =P(A)+P(B).(iv)A,是互不相容的 ,.(v)(vi) _ (vii) (n)当n=2时,符合上式 = =+ P 第二章、古典概率的计算方法学好概率论首先要掌握古典概率的计算方法,因为其对于概率论而言具有着重要的意义。很多学生在学习古典概率的过程中,对于有些习题总是不知道该怎么做,不能准确得到问题求
11、解的结果。下面总结了几种关于计算古典概型的方法,可以帮助学生提高解题能力。要想很快的并且正确的解答古典概型问题,做好下面三个方面是最关键的,一是了解问题的性质看它是不是古典概型问题;二是熟练掌握古典概型的公式有利于我们做题;三是根据公式要求,确基本事件总数定和有利事件总数的值,这也是解题的关键一步,计算的方法不止一种没有一个固定的模式灵活性很强,但古典概型的解法大多数都是围绕和展开的下面介绍一下这三种方法,即直接计算,间接计算,组合分析公式计算。2.1直接计算古典概率直接计算都是针对一些比较简单的问题,对于总数不大的对象,通常采用枚举法。枚举法是指把对象一一列举出来进行计数的办法,枚举时重点在
12、于不重复、不遗漏。例1. 张明和王强两人要去黄山风景区游玩,每天开往黄山风景区有3辆车,这三辆车的票价一样、但是舒适度不同,他们不知道乘车顺序和舒适度。现在两人乘车的方式不同,张明不管第一辆车是哪个都会乘坐。王强不坐第一辆车但是会观察它的舒适度,等第二辆车到达之后会与第一辆车进行比较,如果舒适度差与第一辆车,则张明会选择上第三辆车。现在把这三种车按舒适度分类,分为上、中、下三种,则张明、王强坐上等车的概率分别是多少?解:张明乘车概率记为甲,王强乘车概率记为乙。下表列举了所有的可能情况。 乘车方案可能的情况表车辆顺序张明乘的车王强乘的车上中下上下上下中上中中上下中上中下上中上下上中下上下中上下中
13、易得,。利用枚举按顺序进行,这样能很大的提高准确性及解题速度,若要能清楚的反映情况可以通过列表法或画树状图来解决。2.2间接计算古典概率有的问题用直接计算的方法会很麻烦,解决的方法各种各样,只有运用适当的方法才能提高效率,有些问题可以采用概率的性质和理间接地计算事件的概率会简单一些。定合格品,10个是次品,现在要从这批灯泡中任意抽取取3个,求其中有次品的概率是多少?例2. 一批灯泡总共有50个,其中有40个是合格的,剩余的10的均不合格。其中不合格的概率是多少?解:设从40个合格的灯泡中任取3个所占总体的概率,从10个次品中任取3个所占总体的概率,那么事件与是互为对立事件,有,从而所求事件的概
14、率为2.3组合分析公式计算古典概率排列与组合是计算古典概率题目的重要公式,在计算古典概率的题目时也是经常要用到的。基本组合分析公式1、全部组合分析公式的推导原理:乘法原理: 一项工作若需依次经过和两个过程,过程有种方法,过程有种方法,则要完成该项工作一共有种方法。加法原理: 一项工作如果可以通过几种不同的过程来完成例如一项工作有和来完成,过程有种方法,过程有种方法,那么完成这项项工作一共有种方法。这就是加法原理。乘法和加法原理还可以拓广到各个领域,相似类型的问题都会运用到这两个原理。生活中经常会应用这些原理,例如:从宿州到铜陵总共有3种路径可直接到达,1:火车k1 2:飞机k2 3:轮船k3,
15、那么从宿州-铜陵的方法N=k1+k2+k3。2、排列从元素总体中抽取个元素再取出个来进行排列,抽取过程我们不仅要考虑到取出元素的个数也要考虑其排列顺序。这种抽取元素进行排列的情况可以分为两种类型:第一种类型是从总体中有放回的取球若干次,并且取球的过程具有重复性。第二种类型是从总体中无放回取球若干次,每个元素只有一次被抽取的机会,取出的元素不再算入总个数中,也就是说如果有10个球无放回取出一个后计算的时候总体个数就不再是10而是9,那么无放回取球取的个数。(1)从个元素中有放回的取出个元素来进行排列,这种排列方式是有重复性的排列它的总数为。(2)从个元素中无放回的取出个元素来进行排列,这种排列方
16、式叫做选排列它的总数为,当时,称它为全排列,这时。 3、组合组合的定义是从个元素中不考虑顺序的取出个,这种组合方式有。表示的是这种组合具有的所有可能总数,也代表二项展开式(其中)中的系数。可以看出,组合数有以下几种性质:,。如果,把个不同的元素分成个部分,其中第一部分个,第二部分个,第部分个,那么不同的分法有种,上式中的数称为多项系数,因为它是展开式中的系数,当时,称为组合数。(3)如果个元素带下标“1”的有个,带下标“2”有个,带下标“”个,并且,从这个元素中取出个,使得带下标“”的元素有个(),而,这种不同取法的总数有。但是要求。2.4排列与组合学习概率论排列组合是计算相关习题的基础,学习
17、过程中很多问题的解决都离不开排列组合,生活中也有很多利用排列组合的应用,例如学习中常见很多习题都涉及站位问题,可能性排列组合是学习概率统计的基础,也是解有多少种,以及生活中举办画展应该怎样排列方式等等,要求不同排列的可能情况也不同,所以相关的习题题型灵活变化,综合性也很强,掌握解题技巧很重要,解题思路保持清晰用适当的方法解题概率论的问题就会简单很多。具体的方法有一下几种:1、优先安排法对于含有特殊元素(位置)的,特殊问题特殊对待,也就是说先把特殊的元素安排好,然后再对没有特殊要求的元素进行排列。例3:用,这五个数字组成一个三位数,这个三位数中的数字不能重复使用,问这些三位数中是偶数的共有多少个
18、?分析:凡是个位数字是偶数的就一定是偶数,从而这五个数中,是偶数,我们就把这两个特殊的数字放在最后一位。解法:如果个位选,则有种,如果个位选从而也有种,所以总共有种没有重复数字的三位偶数。例4:画展计划展出幅不同的画,其中幅水彩画,幅油画,幅国画,需要排成一行贡人观赏,要求水彩画不能放在两端,并且同一品种的画必须连在一起,现在问不同的排放方式有几种?解:把所有的画作为一个整体,水彩画只放在中间,油画和国画进行全排列,所有的排列可能共种。2、捆绑法遇到那些要求特殊元素必须相邻的问题时通常用“捆绑法”,做法是把相邻元素看成一个整体,再对相邻的元素先自行排列,然后看成一个整体参与其它元素进行排列。解
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