毕业设计(论文)-阶的运算及其应用.doc
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1、重庆科技学院毕业设计(论文) 题 目 阶的运算及其应用 院 (系) 数理学院 专业班级 应数普2008-01 指导教师 职称 讲 师 评阅教师 职称 2012年 6 月 4 日 注 意 事 项 1.设计(论文)的内容包括: 1)封面(按教务处制定的标准封面格式制作)2)原创性声明3)中文摘要(300字左右)、关键词4)外文摘要、关键词 5)目次页(附件不统一编入)6)论文主体部分:引言(或绪论)、正文、结论7)参考文献8)致谢9)附录(对论文支持必要时)2.论文字数要求:理工类设计(论文)正文字数不少于1万字(不包括图纸、程序清单等),文科类论文正文字数不少于1.2万字.3.附件包括:任务书、
2、开题报告、外文译文、译文原文(复印件).4.文字、图表要求:1)文字通顺,语言流畅,书写字迹工整,打印字体及大小符合要求,无错别字,不准请他人代写2)工程设计类题目的图纸,要求部分用尺规绘制,部分用计算机绘制,所有图纸应符合国家技术标准规范.图表整洁,布局合理,文字注释必须使用工程字书写,不准用徒手画3)毕业论文须用A4单面打印,论文50页以上的双面打印4)图表应绘制于无格子的页面上5)软件工程类课题应有程序清单,并提供电子文档5.装订顺序1)设计(论文)2)附件:按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文(复印件)次序装订3)其它学生毕业设计(论文)原创性声明 本人以信誉声明:所呈交的毕业设计
3、(论文)是在导师的指导下进行的设计(研究)工作及取得的成果,设计(论文)中引用他(她)人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出,论文中的结论和结果为本人独立完成,不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料.与我一同工作的同志对本设计(研究)所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 毕业设计(论文)作者(签字): 年 月 日重庆科技学院本科生毕业设计 摘要 摘 要无穷小量是伴随微积分产生的,无穷大量则是相对于无穷小量的量,为了表明变量在变化趋势方面的差异,我们引入了无穷量的“阶”的概念.阶的概念与极限过程的概念是不能分离的,简单地说,极限过程即是变量的
4、变化过程,而阶的概念则反映着过程中变量变化的快慢状态,速度的快慢是相对的,只有通过比较,才能比出那个快那个慢.我们用无穷小的阶这个概念来描述在同一自变量的变化过程中,多个无穷小趋向于零的速度.因此,无穷大量与无穷小量的阶,是数学分析中的基本概念.本文首先介绍无穷量的阶的相关概念,然后阐述了阶的比较及其相关性质,最后强调了阶的相关原理在求极限,判断正项级数和广义积分的敛散性中的重要作用,内容丰富,应用广泛.关键词:无穷量的阶 极限运算 敛散性 应用 II重庆科技学院本科生毕业设计 ABSTRACT ABSTRACTInfinitesimal accompany Calculus, of infi
5、nity with respect to infinitesimal amount, in order to show the differences of the variables in terms of trends, we have introduced the infinite amount of order.The concept of the order and the concept of the limiting process can not be separated, simply limiting process is a process of change of va
6、riables, while the order of the concept of process variable change speed state, the pace is relative, only through compared to than the that fast that slow. we use infinitesimal order of this concept to describe the same independent variables change process, more than infinite small tend to zero spe
7、ed. therefore, of infinity and infinite small amount of bands, is a mathematical analysis in the basic concepts,This paper first introduces the relevant concepts of the infinite amount of bands, and then describes the order of comparison and its related properties, finally stressed that the relevant
8、 principles of the order of the Limit, determine an important role in the convergence and divergence of series of positive terms and the generalized integral rich in content and widely used. Keywords: order of Infinitesimal;Limit Operation;Convergence;Application 重庆科技学院本科毕业设计 目录目 录摘 要IABSTRACTII1 绪论
9、11.1 无穷小量与无穷大量11.2无穷小无穷大阶的比较21.2.1 无穷小量阶的比较31.2.2 无穷大量阶的比较41.3 无穷小量与无穷大量的性质52阶在极限计算问题中的应用62.1有关与的基本运算法则62.2求极限时等价无穷小和等价无穷大的代换73无穷量阶在敛散性讨论中的应用123.1阶在正项级数收敛性问题上的应用123.2阶在广义积分收敛性问题上的应用154结束语185参考文献196致谢20重庆科技学院本科毕业设计 1绪论1 绪论1.1 无穷小量与无穷大量无穷小量、无穷大量分别简称为无穷小、无穷大.在数学分析中,无穷小与极限具有同等的重要地位.一方面,任何类型函数的极限都可以转化为无穷
10、小;另一方面,导数可以表示为两个无穷小之商的极限,定积分可以表示无限多个无穷小之和,数项级数的敛散性也与无穷小有着十分紧密的联系.首先给出无穷小量的定义,如下:定义1 设在某内有定义.若,则称为当时的无穷小量,简称为无穷小.若函数g在某内有界,则称g为当时的有界量.注 1)无穷小不是一个很小很小的数,它是在某个极限过程以零为极限的函数.2)仅仅说某函数是无穷小是不够确切的,必须指出其极限过程才有意义.例如:都是当时的无穷小,但不是时的无穷小.是时的无穷小量,而,为时的无穷小量.又如sinx是时的有界量,是当时的有界量.特别,任何无穷小量也必是有界量.3)可完全类似的定义, ,时的无穷小量与有界
11、量.4)区别“有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的,意味着存在M0,在定义域内每一点,都有.这里“有界”与点无关:而有界是与“点有关”,是在某点的周围(且除去此点)有界,是一种“局部”的有界.既然有“无穷小量”,与之对应的也应有“无穷大量”,那么什么是“无穷大量”? “无穷小量是以0为极限的函数”.那么能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数” ?按已学过的极限的定义,这种说法是不严格的.讲A为函数当时的极限,意味着A是一个确定的数,而“”不具有这种属性,它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”.但是,确实存在着这样的函数,当时,与无限接近.例如,
12、1),当时,与越来越接近,而且只要与0充分接近,就会无限增大;2),当时,也具有上述特性.在分析中把这类函数称为当时有非正常极限.其精确定义如下:定义2(非正常极限)设函数在某内有定义,若对任给的,存在,使得当时有,则称函数当时有非正常极限,记作.注 1) 若“”换成“”,则称当时有非正常极限;若换成 则称当时有非正常极限,分别记作,.2) 关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列当时的非正常极限的定义,都可类似地给出.例如:,当时,; ,当时,.下面给出无穷大量的定义:定义3 对于自变量的某种趋向(或),所有以,或为非正常极限的函数(包括数列),都称为无穷大量.例如,当时是
13、无穷大量;当时是无穷大量.注 1)无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数;2)若为时的无穷大量,则易见为上的无界函数,但无界函数却不一定是无穷大量.例如;在上无界,但.1.2无穷小无穷大阶的比较无穷大量与无穷小量的概念,只反映变量的变化趋势,对于变量的其它性质并未做出任何描述.而在具体的问题当中,除了变量的变化趋势,我们更关心的却是对于这种变化趋势的量的方面的了解.事实上,经常需要比较变量的变化趋势在量的方面的差异,并通过对这些差异的分析,找出它们的内在联系.在这些差异中,最明显的就是变化的“速度”不同,例如,、与当时虽然都是无穷大量,但是它们趋于的“速度”是大不相同的:由于,粗略地说
14、,趋于的“速度”相对于趋于的“速度”是一个无穷大量.相对于亦有这种关系.为了表明变量在变化趋势方面的差异,我们在数学分析中引进无穷量“阶”的概念,其中两个无穷小(大)阶的比较十分重要.1.2.1 无穷小量阶的比较 无穷小量阶的比较(主要对叙述,对其它类似)设当时,均为无穷小量,一般地,有下面定义:定义4 若,则称时为的高阶无穷小量,或称为的低阶无穷小量,记作. 即.例如, ,.定义5 若存在正数和,使得在某上有,则称与为当时的同阶无穷小量.特别当时,与必为同阶无穷小量.注 1)不存在,并不意味着与不全为同阶无穷小量.如,不存在.但,所以与为当时的同阶无穷小量.2)并不是任何两个无穷小都可以进行
15、这种阶的比较.例如:当时,与都是无穷小,但是它们的比或者都不是有界量,所以它们就不能进行阶的比较.定义6 若当时,与是同阶无穷小,则称当时,是的k阶无穷小.定义7 设,若存在常数A0,使得成立,则称是的强函数,记为.显而易见,改变与在有限个点的数值,不影响强函数关系.例如.注 在上面定义中,常数A被称为“大常数”,它们与变量无关.但是,“大常数”可能与参变量有关,例如,在中,“大常数”与参数无关;但在中,“大常数”与参数有关,此时我们可用代替,以表明大常数与参数有关,例如.由上述可知:若与是当时的同阶无穷小量,则一定有:.定义8 若,则称与是当时的等价无穷小量,记作.例如,); ).如同对无穷
16、小量进行阶的比较的讨论一样,对两个无穷大量,也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.1.2.2 无穷大量阶的比较 以下讨论均在同一个自变量的变化过程之下(以为例).定义 9 设 ,1) 若,则称是在下的低阶无穷大, 记为 ; 2) 若(A为不为0的有限数),则称与在下是同阶无穷大,特别,时,称与在下是等价无穷大,记为 () .定义10 设是时的无穷大, 1)若存在,使 (为有限数),则称是时的阶无穷大; 2)若对任意,都有,则称是时的零阶无穷大; 3)若对任意,都有,则称是时的超阶无穷大. 关于无穷大的阶有如下一些结论: 1)当时,是一个比另一个更高阶的无穷大; 2)与是时的等价无穷大;
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