眼科病床的合理安排数学建模论文.doc
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1、眼科病床的合理安排摘要某医院眼科门诊每天开放,对眼疾病患者进行诊断并实施住院安排,安排方案的合理性对医院和病人的利益都会产生影响,因此我们针对病床的安排问题建立了相关数学模型描述研究了什么问题.,并进行了分析和讨论。对于问题一,要实现合理的住院安排,需要有合理的评价指标体系。我们从医院和病人两方面进行考虑,建立了病床有效利用指数、病人满意度函数共同作用的双向评价指标体系,实现了对医院病床安排方案的优劣性评价。采用什么方法,得到什么结果对于问题二,以病人等待住院及等待手术时间之和最短为目标,建立动态规划模型,确立了各类病人的入院时间优先级,创立了安排方案,再利用计算机编程对病人住院全过程进行了仿
2、真,最后利用问题一的双向评价指标体系对模型进行了评价,验证了安排方案的合理性。对于问题三,根据统计情况,建立基于概率论的边界优化预测模型,在病人门诊时即可得到病人入住时间区间,使得病人了解了自己的住院时间情况。对于问题四,以病人的满意度指标为决策变量,确定医院手术时间安排需做出相应调整。利用仿真模型对调整的不同策略进行仿真并通过比较病人满意度择取最优策略,得到医院手术最佳调整方案。对于问题五,眼科室分为若干科室,医院为便于管理,需要为各科室按比例分配病床。为求解该比例,我们以所有病人在整个系统内平均逗留时间最短为目标,以各科室床位数与病人平均逗留时间的函数关系、病床总数限制为约束条件,建立基于
3、排队论思想的规划模型,最终求解得到最佳床位比例。关键词 双向评价指标体系 动态规划 计算机仿真 排队论便于文献搜索,体现主题方法,关键词个数3到5个一 问题的重述1.1 基本情况某医院眼科门诊主要进行白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四类手术,患者每天均可来治疗,治疗流程如下图1 入院就诊流程图医院有79张病床,在病床的安排上对全体非急症病人采取FCFS规则。1.2 相关信息白内障患者周一、周三进行手术,术前准备只需1-2天,其中做两只眼的患者一般是周一做一只,周三做另外一只;外伤有空床位即可安排住院,住院后第二天可进行手术;其他眼科疾病术前准备只需2-3天,但是术后观察时间长,根据需要安排手术
4、时间,一般不安排在周一、周三。附录是2008-7-13至2008-9-11时间段内各类病人门诊、住院、手术以及出院的时间概况。数据可分为三部分:第一部分,病人入院时间、手术时间以及出院时间全部已知;第二部分,只知病人入院时间以及手术时间,出院时间未知;第三部分,仅知病人门诊时间,其他未知。1.3 需要解决的问题医院的先到先得安排模型使得越来越多的病人排队等候住院,这就涉及到资源的合理利用,需要解决的问题:(1) 确定合理的评价指标体系,对该医院的病床安排模型进行优劣分析。(2) 根据住院部当前的情况,建立数学模型,使得院方能根据第二天拟出院人数确定具体的病床安排方案,并用问题一中的评价指标体系
5、对该病床安排模型进行评价。(3) 已知医院住院病人及等待住院病人的人数统计情况,建立合适的模型,使得在病人门诊能知道其住院时间区间。(4) 在医院住院部周六、周日不安排手术的情况下,得出问题二的安排方案;并分析医院的手术时间安排是否应该调整。 (5) 一般情况下,医院为了便于管理,在安排病床问题上采取一定的方案,使得各类病人占用病床的比例大致固定。依此方案,建立满足所有病人在系统内的逗留时间(包括等待入院及入院时间)最短的病床比例分配模型。二 模型假设(1) 在建模过程中,只有外伤属于急症,其他眼科疾病不考虑急症。(2) 病床安排时不考虑手术条件的限制。(3) 附录中的数据准确可靠。(4) 白
6、内障双眼病人的手术时间在一周内完成非常重要且合理的假设.。(5) 病人到达医院的相继到达时间间隔独立且服从参数为的负指数分布。(6) 病床的服务时间独立同分布且服从参数为的负指数分布。三 基本符号说明明确清晰地定义变量符号,保持前后文一致.医院病床的有效利用指数病人对医院的满意度函数 第二天拟出院病人数 第一天来看病以及之前没有安排住院的第类病人数 第类病人的术前准备时间 ,表示星期一,依次类推 第类病人可以做第一次手术的日期集合 第类病人出院的概率 闲置的病床数的期望值 第类病人的平均逗留时间 第类病人的平均等待时间 第类病人平均接受服务时间 分配给第类病人的病床数 第类病人排队等待住院的患
7、者数 第类病队列系统的系统负荷四 问题的分析4.1问题一的分析附录数据是在FCFS准则下病人的住院安排方案,但存在不合理情况:(1) 等待的队伍越来越长;(2)有些患者的手术安排不符合医院常规要求,如表1 部分病人诊断、住院、手术及出院时间类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间白内障(双眼)2008-7-172008-7-292008-8-42008-8-162008-8-8白内障2008-7-232008-8-62008-8-11/2008-8-13由表1可以看出白内障患者入院时间距离第一次手术时间都是5、6天,而题目中已说明白内障病人术前准备只需1、2天,术前准备时间的过
8、长是这个安排方案的一个劣势,除此之外,2008-7-17是星期四,白内障患者手术时间为周一、周三,该患者住院在此时住院是对病床的一种不合理的利用。因此建立一个病床安排方案是必要的,但是何种方案是最优最合理,需要用病床安排评价指标来决策。在该问题中,安排模型方案最优就要使医院和病人都获得最大利益:(1)医院方面,病床的空闲时间最小,病人数量最大;(2)病人方面,等待入院、住院时间最短。根据上面的分析,该问题属于多指标优化模型,要使得医院的效益最优,可考虑病床的有效利用指数。同时病人接受医院的各种服务,又可看作排队系统,涉及到医院的服务效率,也可理解为病人对接受服务时间的满意度,因此使用这两项指标
9、来评价病床安排方案。4.2 问题二的分析已知第二天拟出院病人数,即得到可安排病人入住的数量。白内障患者手术只能在周一和周三进行,且除急症外不安排其他眼科手术。现在住院部对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院,不论是星期几,只要是轮到了该名患者便安排其住院,这样可能导致在手术前(除去术前准备时间),病人需要在医院多住几天,而新来的患者等待住院的时间也会延长,造成等待的病人的增多,等待的时间的增加。这种安排不仅使得病床的利用率降低也使得病人的花费(包括经济以及时间方面)增加,这是对资源的浪费。通过上述分析,可以根据不同的手术准备时间、不同眼病手术安排时间,以等待的冗余时间最短为目标,建立动态规
10、划模型,针对不同的日期给出不同的安排策略,即每类病人安排入院的优先级。然后利用计算机仿真技术对所给第一部分数据中的病人进行入院分配。最后利用问题一中评价指标体系对其进行评价。4.3 问题三的分析已知住院病人及等待住院病人的统计情况,当一个病人来门诊时预测该病人的入院时间区间,这是一个预测的问题,关键点是知道闲置的病床数量以及等待入院的人数。由问题一的分析知医院的FCFS病床安排规则是不合理的,因此我们采用问题二中病床安排规则,对等待住院的所有病人进行住院时间的安排。考虑到每天各类病人中病人的数量有一定的范围,根据同类病人先到先得的原则,可以建立基于概率的边界优化模型,分别给出分配住院时间,从而
11、得到一个时间区间。4.4 问题四的分析在本问中,由于周六、周日不再安排手术,可能需要重新考虑医院的手术时间安排。在问题二所建模型的基础上,加入周六、周日无手术的限制条件,在已知第二天拟出院病人数的情形下重新求解确定第二天应该安排哪些病人住院。故而以病人的满意度指标为决策变量来确定医院的手术时间是否需要做出相应的调整。周末不再安排手术导致周一至周五的手术量增加。由假设,不考虑手术条件的限制,当天已经做好手术准备的病人即可接受手术。通常白内障手术与其他眼科手术(外伤除外)不安排在同一天。故而若需要调整手术时间,则主要改变白内障手术的时间。考虑到病人的心理承受能力,通常白内障双眼手术时间需至少间隔一
12、天;同时根据假设,双眼手术需在同一周内完成。考虑上述限制,可以得到白内障手术时间的安排策略。进一步通过模型二对病人的入院时间进行仿真模拟,通过比较病人的满意度进行择优选取。4.5 问题五的分析由上述四个问题,医院系统可看作是一个排队系统,来看病的患者为顾客,接受的服务为住院治疗,服务台则是病床。在此系统内病人的逗留时间包括等待住院时间以及住院时间。流程如下图:图2 排队系统流程图在本问中,从便于管理的角度出发,医院病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案,故而可以考虑将眼科室根据眼病的类别分为多科室,每个科室工作相互独立,现在需要确认每个科室分配病床的比例。对于每一个科室,可以利用排
13、队论理论建立平均逗留时间与病床数的函数关系,进一步对整个系统以所有病人最短平均逗留时间为目标,病床总数等条件为限制建立规划模型。五 模型的建立和求解5.1 模型一的建立和求解5.1.1 模型一的建立对医院而言,病床是一种重要的资源,能得到合理的利用对医院自身和病人都是有利的。要得到较合理的安排方案,需要从各个方面考虑。(1) 病床的有效利用指数针对医院的先到先得规则,当有空的床位出现时,就安排给先进行门诊的病人(急诊除外),后诊段的病人则等待新的空床位出现。由于手术时间的安排,部分病人在入院后往往需要等待一段时间才能进行手术,无形中造成了病床资源的浪费。在此,引入病床的实际利用率。从医院方面来
14、考虑,病床的实际利用率越高越好,记之为,定义 (1)其中,是所有病人住院的平均时间,是病人从住院到进行手术之前住院的平均天数,是病人的术前平均准备时间。另外,对于整个医院系统,病床的整体利用率也需要考虑。我们知道,在一定时期内,病床的日使用率、病床周转率、平均病床工作日都是反映医院工作质量的重要指标。为了计算病床的整体利用率,引入病床的日使用率及病床周转率,分别记为和,其定义分别如下 (2) (3)其中表示总的床位数;表示所有病人平均每天使用的床位数,即每天病人的平均住院人数;表示病床每天的平均利用次数。则病床的整体利用率为 (4)由此定义有效利用指数 (5)其中,为待定参数。(2) 病人的满
15、意度函数一般来说,病人对待住院安排问题是有一定的心理承受能力的,超过这个承受的时间,对医院工作的满意度就会急剧下降。病人住院后能及时的进行手术是最好的方案(这里的及时指做好术前准备后),随着手术的拖延,住院时间增加,病人的满意度会下降,并且满意度下降的速度很快,当时间趋于无穷时,满意度趋于0。是门诊到入院时间,是入院到进行手术时间,手术后到出院这段时间所受主要影响为病人的康复情况可以不考虑,因此只考虑门诊到术前这段等待时间 (6)根据经验,可取。病人的满意度和时间的关系的图形趋势如下图3 满意度走势曲线根据满意度函数的规律,可取满意度函数 (7)其中是承受因子,为待定参数。根据经验,当时,这样
16、 (3) 双向评价指标体系的建立综上所述,建立基于病床有效利用率和病人满意度的双向评价指标体系, 评判标准为 (8)当、大于70%时,说明此方案是合理的,特别当,达到85%及以上,说明此方案是优良的。5.1.2模型的应用当前该住院部采取的病床安排模型是FCFS规则(急症除外),现采用双向评价指标体系对该模型进行评价。考察住院部住院人数的变化情况,几乎每天都会有病人出院,然后有新的病人住进来。按照医院现采取的病床安排模型,通过分析数据发现,随着时间的增加,当天医院入住病人数与出院病人数持平,且有病人未能在当天入住,即当到达一定时间后,该住院部会处于满负荷的状态。此时病床的使用率为100%,而病床
17、周转率则与当天出院人数有关。抽取稳定状态下部分数据,求得病床每天的平均利用次数为,。取权值,最终求得,。此时,说明病床的利用率已经大于它本身的承受能力,不利于系统的长期运行。另一方面,病人对现有模型的满意度很低。以上评价结果说明需要对现有安排模型进行改进。5.2模型二的建立5.2.1确定各类病人入院优先级先将白内障患者分为两类:白内障患者(单眼)、白内障患者(双眼);再按准备时间以及病症的类别将病人分类,共分为4类,依次编号,则第1、2、3、4类患者分别为:外伤患者、白内障患者(单眼)、白内障患者(双眼)及其他疾病患者。设第二天拟出院病人数为,第一天来看病以及之前没有安排住院的第类病人数为。不
18、同类别的病人,准备时间不同。外伤患者住院第二天即安排手术,准备时间为1天;白内障患者术前准备时间大约需1、2天;其他患者大致住院以后2-3天内就可以接受手术,即准备时间为2-3天。记第类病人的准备时间为。白内障患者手术时间仅安排在周一、周三,对于做双眼的患者则是周一先做一只,周三再做另一只,同时不与其他眼科手术(急症除外)安排在同一天。故安排床位时还需考虑时间因素,下边用来表示日期。表示星期一,依次类推,表示星期天。对赋值,令定义逻辑运算如下 (9) (10)进而,表示第类病人可以做第一次手术的日期集合为,具体如下,图4 各类病人可以做第一次手术的日期集合(1) 由于外伤患者属于急症,通常在有
19、空余床位的情形下优先考虑分配住院。故在分配时,不需要考虑其他因素,先将个空余床位分给外伤患者。(2) 为了减少病人住院等待手术的冗余时间,采用动态规划的方法,将决策过程分为3个阶段,每一阶段决定哪一类或几类病人分到病床,将类别作为决策变量,累计的量选为状态变量,分步给出病床的分配方案。决策变量:,即任选取一类病人分配病床,分配数为。状态变量:,即从第阶段到第3阶段的决策方案包括的患者类别,其中。状态转移方程: 允许决策集合:指标函数: 最优值函数:表示在状态下确定的类病人安排住院手术时间之和的最小值。则有逆序解法的基本方程: 其中。(3) 模型的求解每一类眼科疾病手术的准备时间为一个区间,为了
20、使冗余时间达到最小,我们以的左端点(即每类疾病最小准备时间)为总目标,右端点为次目标进行求解。通过编程求解得到最优的分配方案如下表:表2 一周各类病人分配优先权星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天224443344322244注:未填的表示不继续安排病人入住。5.2.2分配床位确定了每一类病人的优先级后,对同一类病人采取FCFS规则安排住院。我们利用C+编程,运用计算机仿真技术对第二天病人的床位安排进行了模拟。具体流程如图5所示。仿真模拟选取数据为题中所给的第一部分数据。部分结果如下表。表3 第一部分数据仿真部分结果序号疾病类型门诊时间入院时间手术时间出院时间1外伤2008-7-1320
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