等价无穷小量在近似计算中的应用 毕业论文.doc
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1、I 目目 录录 1 引言 .1 2 等价无穷小量的概念及其重要性质1 2.1 等价无穷小量的概念 .1 2.2 等价无穷小量的重要性质2 2.3 等价无穷小量性质的推广2 3 等价无穷小量的应用5 3.1 求函数的极限5 3.2 等价无穷小量在近似计算中的应用6 3.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限6 3.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 .7 4 等价无穷小量的优势8 4. 1 运用等价无穷小量求函数极限的优 势8 4. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势.9 5 结 论12 参 考 文 献 .13 致 谢.14 1 1 引言 等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之
2、一,但在微积分理论中等价无穷 小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断 广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握 并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则 会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深 刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的. 2 等价无穷小量的概念及其重要性质 这部分在同济大学应用数学系主编的高等数学、华东师范大学数学系的数学分 析、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、张云霞老师的高等数学教学 以及 Song
3、QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods J. Journal of Computer Research and Development 中做了详细的讲解,下面是我对 这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我 对其进行了证明. 2.12.1 等价无穷小量的概念 定义定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过2.11 程中的无穷小量. 如函数, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x0
4、 时的无穷小量.对 2 x 于数列只有一种情形, 即n, 如数列 为n时的无穷小量或称为无穷小数 1 n 列. 注意: 1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限 趋近于0 而又不等于0. 2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数 当x 时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量. 1 x 3)两个(相同类型)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 无穷小量的比较无穷小量的比较2.12 2 1) 若存在正数K和L,使得在某上有,则称与为当时的 0 () o Ux ( ) ( ) f
5、x KL g x fg 0 xx 同阶无穷小量.特别当 则称与是同阶无穷小. 0 ( ) lim(0) ( ) xx f x c c g x ( )f x( )g x 2) 若=1, 则称与是等价无穷小量, 记为. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( )g x 3) 若= 0, 则称是高阶无穷小, 记作=. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( ( )o g x 注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x0 时,与 都是无穷小量, 但它 1 sinx x 2 x 们不能进行阶的比较. 等价无穷小量的重要性质
6、2.2 设 , 等均为同一自变量变化过程中的无穷小, 若 , 且 lim 存在,则 lim=lim () 11111 11111 limlim(.lim.lim.limlim ) 若 ,则 . 性质表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质表明等价无穷小量的传递性. 2.3 等价无穷小量性质的推广 , 且 lim=c(-1),则 +. 1 证明证明 因为 lim= 11 1 limlim() 11 1 11 limlim 11 cc 3 1 lim1 1 c c 所以 +. 而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)”这个条件,千篇一律认为 “,则有 + 在同一变化过程中, ,且存
7、在,则 2( )f x( )x( )g x( )x 1 ( ) lim(1( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) g x f x 1 ( ) lim(1( ) x x 证明证明 因为 1 ( ) ln(1( ) lim(1( )exp(lim) ( ) g x f x f x g x = ln(1( ) ( )1 exp(limln(1( ) ln(1( ) ( )( ) f xx x x g xx = ln(1( ) exp(lim) ( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) x x 故结论得证. 若 , 且 lim存在,则当0 且 lim存在,有 3 AB CD AB
8、 CD AB CD lim=lim. AB CD AB CD 证明证明 因为 , 11 1 AA ABBB AA AB BB 又 ,于是, , limlim1 AA BB lim(1)lim(1)0 AA BB 从而 4 =1, AB AB 即 ABAB 同理可证 .CDCD 故命题得证. 设在自变量的某一变化过程中, 、及、都是无 4 ( )f x( )g x( )h x 1( ) f x 1( ) g x 1( ) h x 穷小量. 若、且存在且,则有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 (
9、) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,则有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,则有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x( )h x 1( ) h x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x . 11 1 lim fgfg hh 证明证明 因为 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff
10、 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因为 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 因为 5 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因为 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 要证成立,只需证,因为 11 1 lim fgfg hh 1 11 lim1 hfg hfg ,fg 11 fg( )h x 1( ) h x 所以结论得证. 性质(1)、(3)的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简 化了计
11、算.但要注意条件“lim =c(-1)”,“ 0”的使用. AB CD 注意 1)需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某 一项做替换,和差的替换是不行的. 2)以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与 差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函 数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义. 3 3等价无穷小量的应用 等价无穷小量的应用在冯录祥老师的关于等价无穷小量量代换的一个注记、王斌 老师的用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨、华东师范大学数学系的数学分 析、盛祥耀老师的高等数学、马振明老师和
12、吕克噗老师的微分习题类型分析、 Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents A. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital LibrariesC. USA Austin Texas: s. n以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的数学分析讲义中都有详细的分析 与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例 题写出来的.请看下面的内容: 求函数的极限3.1 6 在求极限
13、中经常用到的等价无穷小量有xsin xarcsin xtan xtanarcx -1, , ,( 0).ln(1)x x e1 cosx 21 2 x 1 x a lnxax 例例 1 求. 2 0 2tan lim 1 cos x x x 解解 当当0 时,.x1 cosx 21 2 x 2tan x2x 原式= 2 0 2 4 1 2 lim x x x = 8 例例 2 求. 3 0 tansin lim x xx x 解解 原式= 3 0 sin1 cos lim cos x xx xx = (,) 2 3 0 1 2 lim cos x xx xx sin xx1 cosx 2 1
14、2 x = . 1 2 此题也可用洛必达法则做,但不能用性质做. 所以,=0,不满足性质的条件,否则得出错误结论 0. 3 0 tansin lim x xx x 3 0 lim x xx x 等价无穷小量在近似计算中的应用3.2 如:利用等价无穷小,在做近似计算,有时可以起到意想不到的效果, 例例 3 3 6 65 64 求的近似值 解解 因为时,0x .11 n x x n 所以 . 66 651 12.005208 6464 7 故 6 65 62.005175 64的准确值,保留小数点后位可得为 2.0052082.005175)/ 2.0051750.000016相对误差为(这说明计
15、算精度已经很高 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限3.3 例例 4 求极限 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 解解 由于函数的分母中(0),因此只需将函数分子中的与分母 2 sin x 2 xx 2 1x 中的 cosx 和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即: 2 x e , 2244 11 11() 28 xxxo x , 22 1 cos1( 2 xxo x ) . 2 22 e1o() x xx 所以 . 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 4444 2 00 44 2 2 11 ()() 8
16、8 limlim 3 3o() () 1x 2 2 xx xo xxo x x xo x x 1 12 例例 5 由拉格朗日中值定理,对任意的-1,存在,使得x(0,1) .证明.ln(1)ln(1)ln(1 0) 1 x xx x 0 1 lim( ) 2 x x 解解 因 2 2 ln(1)(), 2 x xxo x , 1 1( ) 1 xo x x 所以,根据题设所给条件有 2 2 ( ) ()1 2 xo x xo xx x 即 , 2 22 () 2 x xo x 8 所以, . 2 2 00 1()1 lim( )lim 22 xx o x x x 以上例子能使我们更加深刻的理解
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