高中数学论文:浅谈逆向思维在解题中的体现.doc
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1、正难则反的智慧 浅谈逆向思维在解题中的体现数学问题的解决,有许多是可以从条件出发,进行正面的、顺向的思考而获得结论,这种思考在思维方式上具有定向性、聚合性,强化这种思维定势,在数学解题中有着决定性的作用,这是我们首先应该承认的. 然而,任何事物都有正反两个方面,也有许多问题正面入手困难重重,若改由反面入手却常常能出奇制胜. 千古传诵的“草船借箭”与“司马光砸缸”的历史故事都充分说明了逆向思维的巨大威力,正难则反易,数学问题的解决也是这样.下面就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.一集合中体现为补集思想当题目直接求解较繁、较杂甚至不能求解时,通过先求得问题的反面进而求其补集以达到解决问题之目的.
2、例1. 三个方程x24mx4m3=0,x2(m1)xm2=0,x22mx2m=0中至少有一个方程有实根,试求m的范围.分析:本题从正面入手应分类求解,繁不堪言,若从反面“三个方程均无实数根”思考,在实数范围内除去反面求得的解即为m的取值范围.解:若三个方程都没有实根,则解得三个方程至少有一个方程有实根m的取值范围是或.二. 命题中体现为逆否命题逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的,也就是原命题真,则它的逆否命题也真。在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中,正面判断比较难或者不容易理解,那么不妨跳出思维框架,转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.例2. 的充要条
3、件是 .分析:从正面入手与中至少有一个不等于0, 即或, 或,得到或,这对很多同学而言都有一定的理解障碍,但如果从反面来看,的充要条件是:且能得到且. 那么利用逆否命题即能得到的充要条件是或. 从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.三证明中体现为反证法反证法也是逆否命题的一个应用,即在证明若p则q中转化为证明若非q则非p,通过否定结论后再作为条件推出与题设的矛盾. 特别对于一些有否定词的命题或“至多”“至少”型的命题尤为适宜.例3. 如图:已知在ABC中,BAC=60,线段AD平面ABC,AH平面DBC,H为垂足,求证:H不可能是DBC的垂心. 分析:对于一个不是垂心的点,感觉无从下手
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