高中数学教学论文:直线与方程中所涉及到的数学思想方法).doc
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1、直线与方程中的数学思想方法摘要 中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体,现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的,数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中,没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。关键词 直线与方程 数学思想方法 所谓数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识,它是数学思维的结晶和概括,是解决数学问题的灵魂和根本策略;而数学方法则是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算和分析,以形成解释、判断和预
2、言的方法,数学思想和数学方法合在一起,称为数学思想方法。数学思想方法对数学教学有着重要的促进和指导作用,它不仅是学生形成良好认知结构的纽带,还是由知识转化为能力的桥梁,是培养学生数学意识,形成优良思维素质的关键,因此我们在教学过程中要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透。在本章的教学与解题中会涉及到这六种数学思想方法:1数形结合的思想数形结合是一个重要数学思想方法,它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,它的显著特点是直观形象,从外形上给人提供若干解决问题的信息,从而活跃人的思维,进一步达到解决问题的目的。数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决
3、定了几何图形的性质。其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数与数之间的联系,即以形作为手段,数为目的;或者是借助于数的精确性和规范、严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的。华罗庚曾说:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想,由形思数,由数想形,利用图形的直观诱发直觉。例1设k、a是实数,要使关于x的方程|2x-1|k(x-a)a对于k的一切值都有解,求:实数a的取值范围。O C(,0) xl2l1y解:在直角坐标系中分别画出l1:y|2x-1|和l2:yk(xa)+a的图象如图所示,其中l2是过点M(a,a)且斜率为k的直线系,l1是折线y
4、2x-1()和y-2x1()。由图形的直观性可知要使原方程对于k的一切值都有解的几何意义是直线l2绕点M(a,a)旋转时都与折线l1相交,则点M必须位于过点C(,0)的两条射线上或射线的上方。 例2已知定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴上,若APB取得最大值,则点P的坐标是( )O P xByAA这样的点P不存在 B(,0)C(,0) D(,0)分析:由A、B两点坐标及位置特点,可以看出动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使APB取得最大值,此题若设P(x,0),用到角公式表示出tanAPB,再求使之取得最大值时的P点坐标,这样显然比较繁。而利用平面几何中的圆外角小于圆周角,设过AB且
5、与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P,(如图)则点P即为所求的点,而|OP|2|OA|OB|6。|OP|,点P (,0),故选D。2化归思想化归是指转化和归结的意思。在教学研究中,使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为化归思想。体现在数学解题中,就是将原问题进行变形,使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题,就这一点来说,解题过程就是不断转化的过程。数学方法论中的化归原则是指把将来解决或待解决的问题,通过某种途径进行转化,归结为已解决或易解决的问题,最终使原问题比较简单就可解答的一种方法,化归的核心内容就是“转化”:将“繁”转化为“简”,将“难”转化为“易”,将“未知
6、”转化为“已知”,将“陌生”转化为“熟悉”。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂、繁琐的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、公式化的简单问题来解决。例3求函数的最小值。yA(0,1)O P(x,0) xB(2,2)A(0,1)分析:此函数的定义域为R,如果从代数的角度考虑比较复杂; 如果借助于两点间的距离公式转化为几何问题,则非常的容易(如图)。解:令A(0,1)、B(2,2)、P(x,0),则问题转化为:在x轴上求一点P(x,0),使得|PA|PB|取得最小值。A(0,1)关于x轴的对称点为A(0,-1),根据对称性:|PA|P A|(|PA|PB|)minAB即该函数的最小值为。3函数、方程
7、、不等式思想函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。函数与方程是研究数量关系及变化规律的数学模型,它能从数量关系的角度准确而清晰的认识、描述、把握现实,不仅将代数的知识串在一起,同时在几何图形、数量关系问题中发挥作用, 是连接基础知识和基本技能的纽带。函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,来分析和研究数学问题中的数量关系,通过建立函数关系或构建函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。方程的思想是分析数学问题中的变量间的度量关系来建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。函数思
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