高中数学论文:对一道习题引发的思考.doc
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1、对一道习题引发的思考 关键词:策略 变式 延拓一、初始问题的提出过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两个交点的纵坐标为,求证:(新教材第二册(上)P119第7题)二、解题策略的研究“问题是数学的心脏”,学习数学的过程与数学解题紧密联系,而数学能力的提高在于解题的质量而不是解题的数量,所以要重在研究解题的方向和策略,要善于从题目的条件和求解(求证)的过程中提取有用的信息,作用于记忆系统中的数学认知结构,提取相关的知识,推动题目信息的延伸,归结到某个确定的数学关系,从而形成一个解题的行动序列,这就是解题方向,题目信息与不同数学知识的结合,可能会形成多个解题方向对于上述命题,通过师生共同探讨,
2、我们可得到如下一些有用信息:(1)由“”,联想到韦达定理中的两根之积,从而形成解题方向一(2)抛物线的焦点弦,常规解决方法是利用抛物线定义进行转化,形成解题方向二(3)直线过焦点,事实上就是直线和抛物线的两个交点与焦点成三点共线,从三点共线的角度又可以形成四个解方向:利用直线方程解决;利用斜率公式解决;利用共线向量解决;利用定比分点公式解决具体证明如下:证法1(利用违达定理)当过焦点的直线斜率不存在时,直线方程为,代入得,故成立当直线斜率存在时,设其方程为:则,代入抛物线方程并整理得,由韦达定理知:得证证法2(利用抛物线定义)记过焦点F的直线交抛物线交于两点P1,P2,并设过P1,P2分别作准
3、线的垂线P1P1,P2P2,P1、P2为垂足由抛物线定义知 | P1P2 |=| P1F |+| FP2 |= | P1P1| + | P2P2|即,两边平方整理得,所以证法3(利用三点共线)(同证法二)由两点式可得焦点弦P1P2所在的直线方程为,而焦点在直线上,则有整理得证法4(利用斜率公式)略证法5(利用共线向量)略证法6(利用定比分点)(同证法二)设F分的比为,则由得,代入并整理得通过引导学生从各种途径,多角度地考虑问题,促使学生主动参与,积极探索、主动思考、主动创造,从而激发了学生的创造创新意识,培养了学生的创造能力三、问题的变式研究对于原命题,在探求原题的多种证法后,不要为一时的收获
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