高中数学论文:例说立体几何探索型问题.doc
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1、例说立体几何探索型问题随着教育改革的不断发展和高考改革的逐步深化,尤其是要在中学全面实施素质教育、创新教育的今天,数学“探索型题”越来越受到广大中学教师的重视和命题人员的青睐。近几年来,探索型题目也渗透到了立体几何之中,现在将立体几何中的探索型问题作些简浅的归类。一、条件追溯型这种题目中常用“当满足什么条件时,能得到相应的结论”的语句,需在解题时,假想有了相应的结论,然后执果索因,寻找能使该结论成立的条件。1、追溯两线位置例1.(1998全国)如图,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件_时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的条件即可,不必考虑所有可能的情况).
2、分析:本题要求寻找结论A1CB1D1成立的充分条件,由CC1平面A1C1以及A1CB1D1,容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此,欲使A1CB1D1,只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。显然,CA1在平面A1C1上的射影为A1C1,故当B1D1A1C1时,有A1CB1D1,又由于直四棱柱的上、下底面互相平行,从而B1D1BD,A1C1AC。因此,当BDAC时,有A1CB1D1。由于本题是要探求使A1CB1D1成立的充分条件,故当四边形ABCD为菱形或正方形时,依然有BDAC,从而有A1CB1D1,故可以填:ACBD或四边形ABCD为菱形,或四边形ABCD为正方形中的任一个条件即
3、可。2、追溯点位置例2.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、CD上的点,且BECF(1)当E、F在何位置时,B1FD1E;(2)当E、F在何位置时三棱锥C1CEF的体积取得最大值分析:探求点的位置往往需要引入参数,然后综合已知和结论列出等式、解出参数。而空间向量的引入给点位置的探求带来了方便,至少是运算上的方便。ABCDD1A1B1C1EFxyzG解: (1) 以A为原点,分别以 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BEx,则有B1(a,0,a),D1(0,a,a),E(a,x,0),F(ax,a,0) 恒成立.因此,无论E、F在何位置均有B1FD1E (2)
4、=当时,三棱锥C1CEF的体积最大,这时E、F分别为BC、CD的中点.3、追溯线段长:例3.(2005江西)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AD上移动. (1)证明:D1EA1D; (2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离; (3)AE等于何值时,二面角D1ECD的大小为.分析:第(3)小题就是要求探索线段的长度,解题时也可以设参数,运用空间向量进行解题,或设线段长,通过直角三角形解之。解法一:(1)(2)略(3)过D作DHCE于H,连D1H、DE,则D1HCE, DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x,则BE=2x解法二:以D
5、为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)(1)(2)略(3)设平面D1EC的法向量,由 令b=1, c=2,a=2x,依题意(不合,舍去), .AE=时,二面角D1ECD的大小为.4、追溯线段比值例4(2005浙江)如图,在三棱锥PABC中,ABBC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC.()求证OD/平面PAB; ()当时,求直线PA与平面PBC所成角的大小; ()当取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?解法一:
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